2026年沈阳市高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年沈阳市高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
3．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
4．等比数列若则（ ）
A．±6B．6C．-6D．
5．已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B． 且
C． 且D．内的任何直线都与平行
7．设等差数列的前n项和为，且，，则( )
A．9B．12C．D．
8．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )
A．2B．3C．3.5D．4
9．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．240，18B．200，20
C．240，20D．200，18
10．已知集合，则( )
A．B．C．D．
11．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．，B．存在点，使得平面平面
C．平面D．三棱锥的体积为定值
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则______.
14．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.
15．设为数列的前项和，若，则____
16．四边形中，，，，，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知都是大于零的实数．
（1）证明；
（2）若，证明．
18．（12分）已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.
19．（12分）已知数列的各项都为正数，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，其中表示不超过x的最大整数，如，，求数列 的前2020项和．
20．（12分）已知满足 ，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）
21．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，.
求证：平面平面以；
求二面角的大小.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.
【详解】
依题意，函数与函数关于直线对称，则，
即，又，
所以，.
故选：B.
本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.
2．D
【解析】
首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，解得
∴，∴.
故选：D
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
3．D
【解析】
先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】
由，，可得或，
又
所以.
故选：D.
本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.
4．B
【解析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.
【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，，
所以，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以，
故选：B.
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
5．C
【解析】
先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，解得或；即或；
所以由能推出；不能推出；
即是的充分不必要条件.
故选C
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
6．B
【解析】
根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；
B. 且，故，当，不能得到 且，满足；
C. 且，，则相交或，排除；
D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.
故选：.
本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.
7．A
【解析】
由，可得以及，而，代入即可得到答案.
【详解】
设公差为d，则解得
，所以.
故选：A.
本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.
8．C
【解析】
根据表中数据，即可容易求得中位数.
【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为，
故选：C.
本题考查中位数的计算，属基础题.
9．A
【解析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【详解】
样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，
∴抽取的户主对四居室满意的人数为：
故选A．
本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．
10．C
【解析】
解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】
集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，
，
故选C．
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
11．B
【解析】
根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.
【详解】
在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；
在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；
在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；
在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：B
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.
12．C
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.
【详解】
由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，
侧棱长为，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为，
由正弦定理可得，解得，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，
所以，
该几何体外接球的表面积为：.
故选：C
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
则
因为
即,化简可得
解得
故答案为:
本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.
14．
【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．
【详解】
由是单位向量．若，，
设，
则，，
又，
则，
则，
则，
又，
所以，（当或时取等）
即的取值范围是，，
故答案为：，．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
15．
【解析】
当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.
【详解】
当时，，即，
当时，，
两式相减可得，
即，
即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.
16．
【解析】
在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.
【详解】
，
如图，在中，由正弦定理可得，
即，故当时，取到最小值为.
故答案为：.
本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）答案见解析．（2）答案见解析
【解析】
（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.
（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1）
两式相加得
（2）由（1）知
于是，
．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
18．t＝1
【解析】
把变形为结合基本不等式进行求解.
【详解】
因为
即，当且仅当，，时，上述等号成立，
所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）4953
【解析】
（Ⅰ）递推公式变形为，由数列是正项数列，得到，根据数列是等比数列求通项公式；
（Ⅱ），根据新定义和对数的运算分类讨论数列的通项公式，并求前2020项和．
【详解】
（Ⅰ）∵，∴，∴
又∵数列的各项都为正数，∴，即．
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴．
（Ⅱ）∵，∴，．
∴数列的前2020项的和为．
本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
20．见解析
【解析】
选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.
【详解】
选择①时：,，故.
根据正弦定理：，故，故.
选择②时，，，故，为钝角，故无解.
选择③时，，根据正弦定理：，故，
解得，.
根据正弦定理：，故，故.
本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．（1）；（2）是定值，.
【解析】
（1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程；
（2）设AB的方程为，，,，求出AT方程，联立直线方程得D点的坐标，同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算即可.
【详解】
（1）设动点M的坐标为，由知∥，又在直线上，
所以P点坐标为，又，点为的中点，所以，，，
由得，即；
（2）
设直线AB的方程为，代入得，设，，
则，，设，则，
所以AT的直线方程为即，令，则
，所以D点的坐标为，同理E点的坐标为，于是，
，所以
，从而，
所以是定值.
本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.
22．证明见解析；.
【解析】
推导出，，从而平面，由此证明平面平面以；
以为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.
【详解】
解：，，为的中点，
四边形为平行四边形，.
,，即.
又平面平面，且平面平面，
平面.
平面，
平面平面.
，为的中点，
.
平面平面，且平面平面，
平面.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面的一个法向量为，
，，，，
设，则，，
，
，
，
在平面中，，，
设平面的法向量为，
则，即，
平面的一个法向量为，
，
由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为.
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.
发芽所需天数
1
2
3
4
5
6
7
种子数
4
3
3
5
2
2
1
0