初中比和比例优质学案设计

这是一份初中比和比例优质学案设计，文件包含第9章二元一次方程组章节复习卷培优2025-2026学年沪教版五四制数学六年级下册A4原卷版docx、第9章二元一次方程组章节复习卷培优2025-2026学年沪教版五四制数学六年级下册A5原卷版docx、第9章二元一次方程组章节复习卷培优2025-2026学年沪教版五四制数学六年级下册解析版docx、第9章二元一次方程组章节复习卷培优2025-2026学年沪教版五四制数学六年级下册A4答题卡docx、第9章二元一次方程组章节复习卷培优2025-2026学年沪教版五四制数学六年级下册A5答题卡docx等5份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。
1.理解比和比值的意义、能区分比和比值、熟练地求解比和比值；
2.同时要理清比与除法、分数等概念的联系和区别；
3.理解比的基本性质，并能熟练运用这个性质进行最简整数比的化简和连比的求解；
4.掌握比例尺及其应用；由二项的推得三项的比及性质。
知识点一 比的有关概念
设a、b是两个数或两个量，为了比较a和b,可将a与b相除，叫作a与b的比。记作a:b(b≠0),读作“a比b”,或"a与b的比".其中，a叫作比的前项，b叫作比的后项。前项a除以后项b所得的商叫作比值。

苹果与橙子的个数之比是3:5, 国旗的长与宽之比是3:2,
橙子与苹果的个数之比是5:3. 宽与长之比是2:3.
知识点二 比、分数和除法三者之间的关系
1.比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；
2.比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；
3.比值相当于分数的值和除式中的商。
根据比、分数与除法间的关系，两个数的比也可以写成分数形式.例如，6 ：15 也 可以也写成，
仍读作“6比15”。
注意：求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位。
知识点三 比的基本性质
1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变，即
a:b=am:bm=(a÷n):(b÷n)(b≠0,m≠0,n≠0)。
2.最简整数比是指：比的前项与后项都是整数，且它们互素运算结果中，比一般需要化为最简整数比。
知识点四 比例尺
我们把图上距离和实际距离之比称为这幅图的“比例尺”,也就是
图上距离：实际距离=比例尺
注意：在地图、建筑设计图、房屋平面图中，经常把实际距离缩小后，再画在图纸上，通常把比例尺写成前项是1的比，如1:5000;而在工业设计(零件设计)图等方面，由于机器零件比较小，需要把实际距离扩大后，再画在图纸上，通常把比例尺写成后项是1的比，如200:1.
知识点五 三项的比及其性质
1.举例：已知一种糕点的部分配料是低筋面粉200 g、鸡蛋300 g、细砂糖150 g. 其中，低筋面粉与鸡蛋的比是200:300,鸡蛋与细砂糖的比是300:150.低筋面粉、鸡蛋、细砂糖的比是200:300:150.
像200:300:150这样的比称为三项的比，其中200、300、150都是这个比的项.
2.由两项的比可以推得三项的比：
如果a:b=m:n,b:c=n:k, 那么a:b:c=m:n:k.
3.两项的比的性质可以推广到三项的比的性质：
a:b:c=am:bm:cm=(a÷n):(b÷n):(c÷n) (b≠0,c≠0,m≠0,n≠0).
一．比的意义（共8小题）
1．（2025春•闵行区月考）一个比的后项是12，比值是34，这个比的前项是（ ）
A．3B．4C．16D．9
【分析】设前项是x，根据比的意义求出x的值即可．
【解答】解：设前项是x，
则x：12=34，
解得：x=34×12=9．
故选：D．
【点评】本题考查比的意义，解题的关键是根据比的意义求出比的前项．
2．（2025春•宝山区校级期中）比的（ ）不能为零．
A．前项B．后项C．比值D．无法确定
【分析】两个数相除又叫做两个数的比，由此即可得到答案．
【解答】解：比的后项不能为零．
故选：B．
【点评】本题考查比的意义，关键是掌握两数比的定义．
3．（2025春•虹口区期中）一个比的前项是4，比值是0.5，那么这个比的后项是（ ）
A．2B．8C．0.2D．0.8
【分析】根据“前项：后项＝比值”列式计算即可．
【解答】解：一个比的前项是4，比值是0.5，那么这个比的后项是：4÷0.5＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比的意义，掌握比的意义是关键．
4．（2025春•徐汇区校级月考）比的后项是57，比值是32，那么比的前项是 1514 ．
【分析】根据比的前项等于比例乘比的后面来求解．
【解答】解：由题意可得：比的前项是：32×57=1514．
故答案为：1514．
【点评】本题考查了比例的定义，理解比例的定义是解答关键．
5．（2025春•静安区校级月考）一个比的前项是6，比值是45，那么这个比的后项是 7.5 ．
【分析】由“前项：后项＝比值”，列出算式6÷45即可求解．
【解答】解：根据题意可知，这个比的后项为：6÷45=6×54=7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题主要考查了比的意义，掌握比的意义是关键．
6．（2025春•浦东新区校级月考）要使21：(9−34x)有意义，则x不能等于 12 ．
【分析】由比的后项不能是0，即可解决问题．
【解答】解：9−34x≠0，
∴x≠12．
故答案为：12．
【点评】本题考查比的意义，关键是掌握比的后项不能是0．
7．（2023•新城区校级开学）如图，6个完全相同的小长方形组成一个大长方形，大长方形的长和宽的比是 4：3 ．
【分析】由图可以看出，大长方形的长等于2个小长方形的长，4个小长方形的宽，由此推出小长方形长与宽的比是2：1，因此大长方形长与宽的比是（2+2）：（2+1）或（1×4）：（2+1），再化简即可．
【解答】解：长方形长与宽的比是：（2+2）：（2+1）＝4：3
答：大长方形的长和宽的比是4：3．
故答案为：4：3．
【点评】本题考查了比的意义，关键是根据题意弄清小长方形长与宽的比，再看大长方形长、宽与小长方形长、宽之间的关系．
8．（2025春•崇明区期中）一种药水，由药粉和水按照3：200的质量比配制而成．
（1）用水120g，需要多少药粉？
（2）用药粉48g，可配制成多少药水？
（3）要配置这种药水1015g，需要多少药粉？
【分析】（1）设需要a克药粉，根据药粉和水的比为3：200列式求解即可；
（2）设可配制成b克药水，根据药粉和水的比为3：200列式求解即可；
（3）设需要c克药粉，根据药粉和水的比为3：200列式求解即可．
【解答】解：（1）设需要a克药粉，由题意，得：
a：120＝3：200，
解得a＝1.8．
答：需要1.8克药粉；
（2）设可配制成b克药水，由题意，得：
48：b＝3：（200+3），
解得b＝3248；
答：可配制成3248克药水；
（3）设需要c克药粉，由题意，得：
c：1015＝3：（200+3），
解得c＝15．
答：需要15克药粉．
【点评】本题考查了比的意义，根据比的意义列出算式是解答本题的关键．
二．比的基本性质（共8小题）
9．（2025秋•浦东新区校级月考）若ab=1528，则a、b的值分别是（ ）
A．a＝15，b＝28B．a＝28，b＝15
C．a=1528，b=1D．无法确定
【分析】根据ab=1528，得a=1528b，但无法得出a、b的值，即可作答．
【解答】解：∵ab=1528，
∴a=1528b，
故a，b满足这一数量关系，但具体数值无法确定，
故选：D．
【点评】本题考查了比值，根据比的基本性质作答是解题的关键．
10．（2025春•嘉定区校级月考）把4：5的前项增加8，要使比值不变，后项应（ ）
A．增加8B．增加10
C．扩大4倍D．扩大5倍
【分析】4：5的前项增加8，前项变为：4+8＝12，前项扩大到原来的12÷4＝3倍，要使比值不变，后项也应扩大到原来的3倍，5×3＝15，也可以用后项加上15﹣5＝10，据此求解即可．
【解答】解：4+8＝12，12÷4＝3，5×3﹣5＝15，
答：如果把4：5的前项增加8，要使比值不变，后项应增加10．
故选：B．
【点评】本题考查了比的性质的运用，掌握比的前项和后项同时乘上或除以相同的数（0除外），比值不变是关键．
11．（2025春•虹口区期中）一个比值不为零的比，当它的后项变为原来的一半，前项不变，则它的比值（ ）
A．扩大为原来的2倍
B．缩小为原来的一半
C．和原来一样
D．扩大，但不能确定扩大多少
【分析】先设原比为a：b，再根据题意进行解题即可．
【解答】解：设原比为a：b，其比值为ab（b≠0），
当它的后项变为原来的一半，前项不变时，
此时新的比值为ab2=a×2b=2×ab，
因此新比值是原比值的2倍，即扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点评】本题考查比的基本性质、比的意义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12．（2025春•虹口区校级月考）如果ab：bc：ca＝12：9：15，那么a：b：c＝ 20：12：15 ．
【分析】根据比的基本性质解答即可．
【解答】解：∵ab：bc：ca＝12：9：15，
∴abbc=ac=129=6045，abca=bc=1215=3645，
∴a：b：c＝60：36：45＝20：12：15．
故答案为：20：12：15．
【点评】本题考查了比的基本性质，根据题意得出ac=129，bc=1215是解答本题的关键．
13．（2025春•虹口区校级月考）已知比的前项是2，后项是5，若比的前项加上4且比值不变，则比的后项加上 10 ．
【分析】根据比的性质来计算即可．
【解答】解：根据题意，得2：5＝（2+4）：x，
解得x＝15．
15﹣5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了比的基本性质，解题的关键是掌握比的基本性质．
14．（2025春•闵行区校级月考）已知1a：1b：3c=23：12：34，则a：b：c＝ 3：4：8 ．
【分析】先求出等式的倒数的比，再进行化简即可．
【解答】解：∵1a：1b：3c=23：12：34，
∴a：b：c3=32：2：43，
∴当1a：1b：3c=23：12：34时，
则a：b：c＝3：4：8，
故答案为：3：4：8．
【点评】本题主要是利用比的基本性质，熟练掌握比的基本性质是解决本题的关键．
15．（2025春•浦东新区校级期中）如果3x＝2y＝6z≠0，那么x：y：z＝ 2：3：1 ．
【分析】根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，即可得到结论．
【解答】解：根据比例的性质“内项之积等于外项之积”可得：
x：y：z=63：62：66=2：3：1
故答案为：2：3：1．
【点评】本题考查了比的性质．熟练掌握该知识点是关键．
16．（2025春•上海校级期中）根据下列条件，求a：b：c．
（1）a：b＝1：6，b：c＝4：5；
（2）a：b=115：34，a：c＝0.3：0.5．
【分析】（1）根据比的性质，将两个比中b的值化为相同的数12，由此即可得；
（2）化简两个比，将两个比中a的值化为相同的数，由此即可得．
【解答】解：（1）∵a：b＝1：6，b：c＝4：5，
∴a：b＝（1×2）：（6×2）＝2：12，b：c＝（4×3）：（5×3）＝12：15，
∴a：b：c＝2：12：15，
即24：15：40的值为2：12：15；
（2）∵a：b=115：34
=65：34
=(20×65)：(20×34)
＝24：15，
a：c＝0.3：0.5
＝（0.3×10）：（0.5×10）
＝3：5
＝（3×8）：（5×8）
＝24：40，
∴a：b：c＝24：15：40，
即a：b：c的值为24：15：40．
【点评】本题考查了比的性质，熟练掌握比的性质是解题关键．
三．最简整数比（共5小题）
17．（2025秋•浦东新区期末）把1.2：35化成最简整数比，结果是（ ）
A．2：1B．1：2C．6：5D．5：6
【分析】将比中的小数和分数转化为整数，然后化简比例．
【解答】解：∵1.2：35=65：35
=(65×5)：(35×5)
＝6：3
＝（6÷3）：（3÷3）
＝2：1，
∴最简整数比为2：1，
故选：A．
【点评】本题考查了比的性质及化简方法，解题的关键是掌握“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”，并灵活运用该性质将小数和分数转化为整数，进而化简为最简整数比．
18．（2025春•宝山区期末）下列说法正确的是（ ）
A．0.4：25化成最简整数比是1
B．3厘米：3米的比值是1100
C．如果a：b＝16：17，那么a＝16，b＝17
D．如果a：b＝5：8，则（a+2）：（b+2）＝7：10
【分析】根据比和比值的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据比和比值的定义逐一判断如下：
A、0.4：25=0.4：0.4=1：1，故该选项错误，不符合题意；
B、3厘米：3米＝3厘米：300厘米=1100，故该选项正确，符合题意；
C、如果a：b＝16：17，那么a和b的值不一定是16和17，故该选项错误，不符合题意；
D、如果a：b＝5：8，那么（a+2）：（b+2）不一定是7：10，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比和比值的定义，解题的关键是掌握相关概念．
19．（2025春•宝山区校级期末）化成最简整数比：1.5千克：100克＝ 15：1 ．
【分析】先将单位化成统一单位，再进行化简即可．
【解答】解：1.5千克：100克＝1500克：100克＝15：1．
故答案为：15：1．
【点评】本题考查最简整数比，掌握单位的换算是解题的关键．
20．（2025春•闵行区月考）把下列各比化简成最简整数比：
（1）1千克：75克；
（2）0.21：0.35；
（3）415：825；
（4）75：2.1：112．
【分析】（1）单位不一样先化成单位统一的，再同时除以1000和75的最大公约数，进而化简可得到结果；
（2）先把小数都化成分数，找到分母最小公倍数，把分数化成整数，再找整数的最大公约数，进而化简即可；
（3）将比转化成除法，然后将分数除法转化成乘法，求出结果，然后写成比的形式即可；
（4）先把比的每一项都化成分数形式，再找到三个分母的最小公倍数，同时扩大公倍数即可得到答案．
【解答】解：（1）1千克：75克
＝1000：75
＝（1000÷25）：（75÷25）
＝40：3；
（2）0.21：0.35
＝（0.21×100）：（0.35×100）
＝21：35
＝（21÷7）：（35÷7）
＝3：5；
（3）415：825
=415×258
=56
＝5：6；
（4）75：2.1：112
=75：2110：32
=(75×10)：(2110×10)：(32×10)
＝14：21：15．
【点评】本题主要考查了最简整数比，解决本题的关键是要会准确的找到最小公倍数和最小公约数．
21．（2025春•闵行区期中）化为最简整数比：15min：1.5h：1h15min．
【分析】先把单位都换算成min，用有理数的除法化简即可．
【解答】解：15min：1.5h：1h15min
＝15min：90min：75min
＝1：6：5．
【点评】此题主要考查了最简整数比，解答此题要注意：化简比结果是一个最简比．
四．化简比（共4小题）
22．（2025春•普陀区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．3小时：1.5小时的比值是2小时
B．100克和1000千克的比值是110
C．如果a÷b=25，那么a：b＝2：5
D．3比4可以写作34，读作四分之三
【分析】根据化简比的法则判断即可．
【解答】解：A、3小时：1.5小时的比值是2，故不符合题意；
B、100克和1000千克的比值是110000，故不符合题意；
C、如果a÷b=25，那么a：b＝2：5，故符合题意；
D、3比4可以写作34，读作三比四，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了化简比，熟练掌握化简比的法则是关键．
23．（2025春•浦东新区校级期中）求比值：0.6小时：1小时20分钟＝ 920 ．
【分析】把小时化成分钟，再求比值即可．
【解答】解：∵0.6小时＝36分钟，1小时20分钟＝80分钟，
∴0.6小时：1小时20分钟=36：80=920，
故答案为：920．
【点评】本题主要考查了求比值，掌握比值的计算是解题的关键．
24．（2025春•虹口区校级月考）求比值：14：18= 2 ；1小时40分钟：1.4小时＝ 2521 ．
【分析】根据化简比的知识点进行解题即可．
【解答】解：14：18=14×8：18×8＝2：1＝2；
1小时40分钟：1.4小时＝100分钟：84分钟=2521．
故答案为：2；2521．
【点评】本题考查化简比，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
25．（2025春•嘉定区校级月考）求比值．（写出过程）
（1）21%：6.3；
（2）1.25：45；
（3）48min：0.4h．
【分析】（1）把百分数化为小数，再求比值即可；
（2）把小数化为分数，再求比值即可；
（3）把小时化为分钟，再求比值即可．
【解答】解：1）21%：6.3＝0.21：6.3＝21：630=130；
（2）1.25：45=54：45=54×54=2516；
（3）48min：0.4h＝48min：24min＝2．
【点评】本题考查了化简比，掌握分数和小数的互化是解答本题的关键．
五．比的应用（共9小题）
26．（2025春•普陀区校级月考）一杯糖水，糖与水的比是1：16，糖与糖水的比是（ ）
A．1：8B．1：16C．1：17D．1：32
【分析】根据一杯糖水，糖与水的比是1：16，可以得到糖与糖水的比．
【解答】解：∵一杯糖水，糖与水的比是1：16，
∴糖与糖水的比是：1：（1+16）＝1：17，
故选：C．
【点评】本题考查比的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的比．
27．（2025秋•闵行区校级期中）学校摄影社和绘画社联合招新，已知同时参加两个社团的学生人数是摄影社招生总人数的12，同时是绘画社招生总人数的35，那么绘画社招生总人数是摄影社招生总人数的（ ）
A．56B．34C．23D．45
【分析】通过设同时参加两个社团的人数为C，摄影社招生总人数为P，绘画社招生总人数为A，根据题意建立等式，求解A与P的比值．
【解答】解：∵同时参加两个社团的学生人数是摄影社招生总人数的12，同时是绘画社招生总人数的35，
∴设同时参加两个社团的人数为C，摄影社招生总人数为P，绘画社招生总人数为A．
∵C =12P，且C =35A，
∴12P=35A，
∴AP=1235=12×53=56，
∴绘画社招生总人数是摄影社招生总人数的56．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．
28．（2025春•松江区期中）两个盛有同样质量盐水的水杯，第一个杯中盐与水的质量比为2：5，第二个杯中盐与水的质量比为1：3，现将两个杯子中的盐水全部倒入一个空杯中，则新杯中盐与水的质量比是（ ）
A．15：41B．15：56C．3：8D．13：15
【分析】设两个水杯中盐水的质量为a，根据第一个杯中盐与水的质量比为2：5，则第一个杯中盐的质量为27a，水的质量为57a，根据第二个杯中盐与水的质量比为1：3，则第二个杯中盐的质量为14a，水的质量为34a，计算新杯中盐与水的质量比即可．
【解答】解：设两个水杯中盐水的质量为a，
∵第一个杯中盐与水的质量比为2：5，
∴第一个杯中盐的质量为27a，水的质量为57a，
∵第二个杯中盐与水的质量比为1：3，
∴第二个杯中盐的质量为14a，水的质量为34a，
∴新杯中盐与水的质量比为（27a+14a）：（57a+34a）＝15：41．
故选：A．
【点评】本题考查了比的应用，解题的关键是表示出混合后盐和水的质量．
29．（2025春•徐汇区校级期中）如图，阴影部分面积S1占小圆面积的34，阴影部分面积S2占大圆面积的78，则S1与S2的比值为 3：7 ．
【分析】设空白百分的面积为s，则阴影部分面积S1＝3s，阴影部分面积S2＝7s，据此可得则S1与S2的比值．
【解答】解：设空白百分的面积为s，
∵阴影部分面积S1占小圆面积的34，阴影部分面积S2占大圆面积的78，
∴S1＝3s，S2＝7s，
∴S1与S2的比值为3：7．
故答案为：3：7．
【点评】本题考查了比的应用，正确表示S1、S2是解答本题的关键．
30．（2025春•徐汇区校级期中）已知一列快车从A地到B地需要行驶3小时，慢车经同一个轨道需要行驶5小时，则快车和慢车的速度之比为 5：3 ．
【分析】设从A地到B地的路程为s，然后根据速度＝路程÷时间进行计算，即可解答．
【解答】解：设从A地到B地的路程为s，
∴v快v慢=s3s5=53，
∴快车和慢车的速度之比为5：3，
故答案为：5：3．
【点评】本题考查了比的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
31．（2025春•闵行区校级月考）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 411 ．
【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为x+y，B号正方形的边长为2x+y，E号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，根据图1中长方形的周长为8，求得x+y＝1，即可得出正方形A的周长，由图2求得FG＝2x+3y，根据图2中长方形的周长为13求得MN=132−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为2FG+2MN，计算即可得到答案．
【解答】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，
则A号正方形的边长为x+y，B号正方形的边长为2x+y，
E号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，
由图1中长方形的周长为8，可得，2（x+y+2x+y）+2（x+y+y）＝8，
解得：x+y＝1，
∴正方形A的周长为4（x+y）＝4；
如图，
FG＝x+y+2x+y+y﹣x＝2x+3y，
∵图2中长方形的周长为13，
∴FG+FM=132，
∴FM=132−FG=132−(2x+3y)=132−2x−3y，
∴MN=FM−FN=132−2x−3y−(x+y)=132−3x−4y，
∴没有覆盖的阴影部分的周长为：2FG+2MN=2(2x+3y)+2(132−3x−4y)=13−2(x+y)=11，
∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为411．
故答案为：411．
【点评】此题考查比的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
32．（2025春•浦东新区校级期中）将6本同样厚度的书整齐的叠放在书桌上，它们的高度为14厘米．如果再将15本这样相同厚度的书叠放在书桌上，那么它们的高度为多少厘米？（用比例的知识解决）
【分析】设一本书的高度为x厘米，根据一本书的高度相同列出比例方程求解即可．
【解答】解：设它们的高度为x厘米．
由题意得x15=146，
解得x＝35，
答：它们的高度为35厘米．
【点评】本题主要考查了比的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．
33．（2025春•宝山区月考）有一自助餐厅，规定每人每次用餐费：男士交30元，女士交20元，儿童交10元．某一天前来用餐的男士与女士的人数比是2：9，女士与儿童的比是3：7，一天共收到用餐费9450元．求这一天用餐的男士、女士、儿童的人数．
【分析】先根据比的基本性质求出男士、女士与儿童的人数比为2：9：21，然后根据“男士用餐费+女士用餐费+儿童用餐费＝用餐费总金额”列式计算即可．
【解答】解：规定每人每次用餐费：男士交30元，女士交20元，儿童交10元．
∵3：7＝9：21，
∴男士、女士与儿童的人数比是2：9：21，
∴这一天用餐的男士人数为：
94502×30+9×20+21×10×2=42（人），
这一天用餐的女士人数为：
94502×30+9×20+21×10×9=189（人），
这一天用餐的儿童人数为：
94502×30+9×20+21×10×21=441（人），
答：这一天用餐的男士有42人，女士有189人，儿童有441人．
【点评】本题考查了比的应用，利用比的基本性质求出男士、女士与儿童的人数比为2：9：21是解题的关键．
34．（2025春•闵行区校级月考）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5：6，中型车与小型车之比是4：11，小型车的通行费总数比大型车多270元．
（1）这天通过收费站的大型车、中型车和小型车各有多少辆？
（2）这天的收费总数是多少？
【分析】（1）本题先确定大型车：中型车：小型车＝10：12：33，然后列方程330k﹣300k＝270，求解出k＝9，然后即可求解；
（2）由（1）得到的大型车90辆，中型车108辆，小型车297辆，根据大型车30元，中型车15元，小型车10元，即可求解总费用；
【解答】解：（1）大型车：中型车＝5：6，中型车：小型车＝4：11，统一中型车比例的最小公倍数12，
∵大型车：中型车＝10：12（原比例×2），中型车：小型车＝12：33（原比例×3），
∴大型车：中型车：小型车＝10：12：33，
设大型车数量为10k，中型车12k，小型车33k，
∴小型车总费用为10×33k＝330k（元），
大型车总费用为30×10k＝300k（元），
∴330k﹣300k＝270，
解得k＝9，
∴大型车数量为10k＝10×9＝90（辆），中型车的数量为12k＝12×9＝108（辆），小型车的数量为33k＝33×9＝297（辆）；
（2）大型车收费：90×30＝2700元，
中型车收费：108×15＝1620元，
小型车收费：297×10＝2970元，
这天的收费总数是：2700+1620+2970＝7290元；
【点评】本题考查了比和比例的应用和一元一次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键．
六．比例尺（共5小题）
35．（2025春•浦东新区期中）一种零件长200cm，该零件在设计图上的长是5mm，那么该幅设计图的比例尺是（ ）
A．40：1B．400：1C．1：400D．1：4000
【分析】依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】解：因为5mm＝0.5cm，
所以这幅设计图的比例尺为0.5：200＝1：400．
故选：C．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
36．（2025春•徐汇区校级月考）在比例尺1：300000的地图上，乐乐家与小明家之间的距离为1.2厘米，则他们两家的实际距离是 3.6 千米．
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺即可求解．
【解答】解：1.2÷1300000=360000（厘米），
360000厘米＝3.6千米．
故他们两家的实际距离是3.6千米．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了比例尺，比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：＝图上距离与实际距离的比．”
37．（2025秋•长宁区期末）小宁同学在绘制《学校校园平面图》时，经测量得知校园内A、B两点间距离为150米，他考虑画一条5厘米的线段来表示，那么小宁同学绘制的《学校校园平面图》的比例尺是 1：3000 ．
【分析】根据比例尺是图上距离与实际距离的比计算即可．
【解答】解：校园内A、B两点间距离为150米，150米＝15000厘米，
∵图上距离为5厘米，
∴比例尺是：5：15000＝1：3000．
故答案为：1：3000．
【点评】本题考查的是比例尺，熟知比例尺＝图上距离与实际距离的比是解题的关键．
38．（2025春•徐汇区校级月考）在一张比例尺1：200000的上海市区的地图上，如果测得A与B两地的距离是3厘米，求A、B两地的实际距离是多少千米？
【分析】根据比例尺和图上距离，计算实际距离即可．
【解答】解：一张比例尺1：200000的上海市区的地图上，如果测得A与B两地的距离是3厘米，
3÷1200000=600000厘米＝6千米，
答：A、B两地的实际距离是6千米．
【点评】本题考查了比例尺，正确进行计算是解题关键．
39．（2025春•闵行区校级月考）在比例尺是1：200的平面图上，量得本班教室的长是4.5厘米，宽是3厘米，那么本班的实际占地面积是多少平方米？
【分析】根据比例尺，先求出教室实际的长和宽，根据长方形面积公式，即可解答．
【解答】解：由题意可得：
∴教室实际长为：4.5×200＝900（cm）＝9（m），实际宽为3×200＝600（cm）＝6（m），
∴教室面积为：9×6＝54（m2），
答：本班的实际占地面积是54平方米．
【点评】本题考查了比例尺，解题的关键是掌握比例尺等于图上距离和实际距离之比．
1．（2025春•虹口区校级月考）45：56的比值是（ ）
A．2425B．24：25C．158D．815
【分析】由比的基本性质，即可求解．
【解答】解：45：56=（45×30）：（56×30）＝24：25=2425．
故选A．
【点评】本题考查化简比，关键是掌握比的基本性质．
2．（2025春•虹口区校级月考）河南“许昌人”遗址发现的微型鸟雕像入选了2020年度“世界十大考古发现”．这只鸟雕像的身长与身高的比是7：4，身长比身高多0.9厘米，这只鸟雕像的身长是（ ）厘米．
A．1.4B．2.1C．2.8D．3.5
【分析】先根据身长比身高多0.9厘米，身长比身高多了7﹣4＝3份，求出一份的；再乘7，就是这只鸟雕的身长．
【解答】解：0.9÷（7﹣4）＝0.3（厘米），
0.3×7＝2.1（厘米），
故选：B．
【点评】本题考查了比的应用，解题的关键是求出其中1份是多少厘米．
3．（2025秋•奉贤区期末）小华在某游乐园APP的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是1：1000，那么排队区域的实际长度约 25 米．
【分析】设实际长度为x厘米，根据比例列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设实际长度为x厘米，
∵图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是1：1000，
∴2.5x=11000，
∴x＝2500，
∴实际长度为2500cm＝25m，
故答案为：25．
【点评】本题考查的是比例尺，熟知比例尺＝图上距离与实际距离的比是解题的关键．
4．（2024秋•金山区期末）第七届中国国际进口博览会（同称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为2.6厘米．那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 52 千米．
【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，由此即可计算．
【解答】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为x千米，
∴2.6：x＝1：20，
∴x＝52，
答：小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为52千米．
故答案为：52．
【点评】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．
1．（2025春•杨浦区校级期中）一个比的前项是15，比值是114则这个比的后项是 12 ．
【分析】首先设这个比的后项是x，可得：15x=114，解方程求出x的值即为比的后项．
【解答】解：设这个比的后项是x，由题意列出
15x=114，
∴x＝12．
∴一个比的前项是15，比值是114则这个比的后项是12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了比的定义，解题的关键是正确运算．
2．（2025春•宝山区月考）一个比为8：15，如果后项增加60，要使比值不变，那么比的前项应该增加 32 ．
【分析】比的后项扩大了几倍，比的前项也扩大相同的倍数，就能保证比值不变．依据比的性质，即比的前项和后同时乘或除以一个不等于零的数，比的大小不变，即可求解．
【解答】解：∵8：15的后项增加60，变成15+60＝75，
∴后项扩大了75÷15＝5倍，
∴前项也应扩大5倍，比值不变，即变成8×5＝40，
∴一个比为8：15，如果后项增加60，要使比值不变，前项应增加：40﹣8＝32，
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了比的性质，解答此题的关键是：看比的后项扩大了几倍，比的前项也扩大相同的倍数，就能保证比值不变．
3．（2025春•徐汇区校级月考）求最简整数比：
（1）42：36＝ 7：6 ；
（2）0.75吨：400千克＝ 15：8 ；
（3）23：56：89= 12：15：16 ；
（4）3.5：825：2.4＝ 175：16：120 ．
【分析】（1）同时除以6即可化简出结果；
（2）先化为同一单位，再同时除以50即可化简出结果；
（3）同时乘以18即可化简出结果；
（4）同时乘以50即可化简出结果．
【解答】解：（1）42：36＝（42÷6）：（36÷6）＝7：6，
故答案为：7：6；
（2）0.75吨＝750千克，
即750：400＝（750÷50）：（400÷50）＝15：8，
故答案为：15：8；
（3）23：56：89=(23×18)：(56×18)：(89×18)=12：15：16，
故答案为：12：15：16；
（4）3.5：825：2.4=(72×50)：(825×50)：(125×50)=175：16：120，
故答案为：175：16：120．
【点评】本题考查的是最简整数比，熟练掌握方法是解答本题的关键．
4．（2025春•普陀区校级月考）化简比：
（1）12：13：16= 3：2：1 ；
（2）120分：1.2小时：1小时20分钟＝ 15：9：10 ．
【分析】（1）按照比的化简计算即可；
（2）先将单位统一，然后再按照比的化简计算即可．
【解答】解：（1）12：13：16=3：2：1；
故答案为：3：2：1；
（2）120分：1.2小时：1小时20分钟
＝120分：72分：80分
＝15：9：10．
故答案为：15：9：10．
【点评】本题考查了化简比，掌握基本知识点是解题关键．
5．（2025春•闵行区期末）学校合唱队现有女生43人，男生20人，合唱队还要录取女生 7 人，才能使女生人数与男生人数之比为5：2．
【分析】合唱队还要录取女生x人，根据题意可得：（43+x）：20＝5：2，即可求解．
【解答】解：合唱队还要录取女生x人，
（43+x）：20＝5：2，
2（43+x）＝20×5，
86+2x＝100，
2x＝14，
x＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了比例的应用，解题的关键是掌握比例的性质．
6．（2025春•杨浦区校级期末）某一齿轮组合需要由齿轮A齿数（NGA）＝35，齿轮D齿数（NGD）＝42，拟定齿轮A与齿轮D的转速比要达到24：5，先需要增加两个齿轮（如图所示），若设齿轮B齿数（NGB）＝a；齿轮C齿数（NGC）＝b，则a与b的比值为 4 ．
【分析】设齿轮A与齿轮D的转速分别为24m，5m，齿轮B和齿轮C的转速为n，根据“齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系”求得a，b的值，即可获得答案．
【解答】解：根据题意，可设齿轮A与齿轮D的转速分别为24m，5m，齿轮B和齿轮C的转速为n，
则有35×24m＝an，bn＝42×5m，
整理可得a=35×24mn，b=42×5mn，
所以，a：b=35×24mn：42×5mn=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了反比例的应用，解题关键是结合‌齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系解题．
7．（2025春•嘉定区校级月考）如图，阴影部分面积是大圆面积的38，是小圆面积的23，大圆面积与小圆的比是 169 ．
【分析】根据题意得出大圆的面积×38=小圆的面积×23，进而解答即可．
【解答】解：∵阴影部分面积是大圆面积的38，是小圆面积的23，
∴大圆的面积×38=小圆的面积×23，
∴大圆面积与小圆面积的比是2338=23×83=169．
故答案为：169．
【点评】此题考查了比的应用，解题的关键是得出大圆的面积×38=小圆的面积×23．
8．（2025春•松江区期中）眨眼可以润滑眼球和减轻眼疲劳．人在正常情况下每分钟眨眼约20次，与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是5：2．玩电脑游戏时每分钟眨眼约 8 次．
【分析】根据题意进行列式计算即可．
【解答】解：设玩电脑游戏时每分钟眨眼约x次，
20：x＝5：2，
5x＝40，
x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查比的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
9．（2025秋•青浦区校级期中）裴秀的《禹贡地域图》18篇是按照“一分为十里，一寸为百里”的标准绘制而成．“一分为十里”中，一分=13厘米，十里＝5000米，那么这幅图纸的比例尺为 1：1500000 ．
【分析】根据比例尺＝图上距离与实际距离的比即可求解．
【解答】解：∵一分=13厘米，十里＝5000米＝500000厘米，
∴这幅图纸的比例尺为13：500000＝1：1500000．
故答案为：1：1500000．
【点评】本题考查了比例尺，比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．
10．（2025秋•闵行区校级期中）如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.8厘米，那么A、B两地的实际距离是 18 千米．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离求解即可．
【解答】解：设实际距离为x厘米，
根据题意，得1：1000000＝1.8：x，
解得：x＝1800000，
∴A、B两地的实际距离是18千米，
故答案为：18．
【点评】本题考查比例性质，熟知比例尺＝图上距离：实际距离是解答的关键．
11．（2025春•嘉定区校级月考）《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为5：1，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜多少千克？（请用比例的方法解答）
【分析】铜和锡的质量之比为5：1，那么铜的质量占鼎的55+1，据此列比例解答即可．
【解答】解：设这个鼎含铜x千克，根据题意得：
x180=55+1，
6x＝900，
x＝150，
答：这个鼎含铜150千克．
【点评】本题考查比的应用，理解题意是解题的关键．
12．（2025春•虹口区期中）国庆节来临之际，小华想用一张A4彩纸制作一面国旗，用于布置班级的墙面．已知国旗的标准长宽比为3：2，一张标准的A4纸长为297mm，宽为210mm．求他利用这张A4纸可以做出最大的国旗的长和宽．
【分析】根据题意分两种情况进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
分两种情况进行比较：
（1）当长为297mm时，此时的宽为297÷3×2＝198（mm）；
（2）当宽为210mm时，此时的长为210÷2×3＝315（mm），315＞297，故不符合题意；
则只有（1）符合题意．
答：这张A4纸可以做出最大的国旗的长为297mm，宽为198mm．
【点评】本题考查比的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
13．（2025春•宝山区月考）一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B＝1：2，B：C＝12．而在（2）中相应的比例是A'：B'＝1：3，B'：C'＝1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．
【分析】设大长方形的长为x厘米，宽为（28﹣x）厘米，进而得到D，D′的长，进而算出x，y，即可得解．
【解答】解：设大长方形的长为x厘米，宽为（28﹣x）厘米，
∵在（1）中小长方形面积的比是：A：B＝1：2，B：C＝1：2．
∴A，B的长之比为1：2，A，C的面积比为1：4，
∴则C，D的宽之比为1：2，A，C的长之比为1：4，
∴D的宽为23x，D的长为45(28−x)，
∵在（2）中的面积比是A′：B′＝1：3，B′：C′＝1：3．
∴A′，B′的长之比为1：3，A′，C′的面积比为1：9，
∴则C′，D′的宽之比为1：3，A′，C′的长之比为1：9，
∴D′的宽为34x，D′的长为910(28−x)，
由题意可得：
(34x−23x)：[910(28−x)−45(28−x)]=1：3，
解得x＝8，则大长方形的宽为20厘米，
∴大长方形的面积为：8×20＝160平方厘米．
【点评】本题考查了比的基本应用，能够读懂题意是解题关键．
14．（2025•徐汇区校级开学）如图，在梯形ABCD中，点E是AD边的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是13：7．求梯形的上底AB与下底CD的长度之比．
【分析】连接AC，设S乙＝S△CDE＝7x，则S△ACE＝S△CDE＝7x，S△ADC＝14x，S甲＝13x得到S△ABC＝6x，又因为△ABC和△ADC同高，则它们底的比就是它们的面积比，求出答案即可．
【解答】解：如图，连接AC，
由题意可得：
∴设S乙＝S△CDE＝7x，则S△ACE＝S△CDE＝7x，S△ADC＝14x，
∴S甲＝SACE+S△ABC＝13x，
∴S△ABC＝13x﹣7x＝6x，
∵△ABC和△ADC同高，
∴设高为h，
则S△ABC=12AB⋅ℎ，S△ADC=12CD⋅ℎ，
∴S△ABCS△ADC=12AB⋅ℎ12CD⋅ℎ=ABCD=6x14x=37，
∴梯形的上底AB与下底CD的长度之比为3：7．
【点评】本题考查的是比的应用，掌握两个三角形的高相等，面积之比即是两底之比是解题的关键．
15．（2024秋•徐汇区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长28cm、宽20cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
问题1：依题可知正中央的长方形的长宽之比为 7：5 ；正中央的长方形面积是封面面积的 34 ．
请依据问题1的数量关系解决问题：
解：设正中央的长方形长宽分别为 7x cm、 5x cm．（依题意列方程求解．）
问题2：你还有其他的设法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．）
解：设上、下边衬的宽度是 7m cm，则左、右边衬的宽度是 5m cm．（依题意列方程求解．）
【分析】由封面长28cm、宽20cm，得正中央的长方形的长宽之比为7：5，故设正中央的长方形长宽分别为7xcm、5xcm．列方程为7x•5x=34×28×20，再计算即可．由正中央的长方形的长宽之比为＝7：5，得上、下边衬与左、右边衬的宽度比＝7：5．设上、下边衬的宽度是7acm，则左、右边衬的宽度是5acm．列方程为：（28﹣7a×2）（20﹣5a×2）=34×28×20，再计算即可．
【解答】解：问题1：依题可知正中央的长方形的长宽之比为28：20＝7：5，
正中央的长方形面积是封面面积的34．
故答案为：7：5，34．
解法1：设正中央的长方形长宽分别为7xcm、5xcm．
故答案为：7x、5x．
列方程为：7x•5x=34×28×20，
∴x＝23，
∴正中央的长方形长宽分别为143cm、103cm．
∴上、下边衬=12（28﹣143）＝（14﹣73）cm，
左、右边衬=12（20﹣103）＝（10﹣53）cm．
问题2：依题可知正中央的长方形的长宽之比为＝7：5，
故上、下边衬与左、右边衬的宽度比＝7：5．
解法2：设上、下边衬的宽度是7acm，则左、右边衬的宽度是5acm．
故答案为：7a，5a．
列方程为：（28﹣7a×2）（20﹣5a×2）=34×28×20，
∴a＝2−3（a＝2+3舍去），
∴上、下边衬的宽度是（14﹣73）cm，则左、右边衬的宽度是（10﹣53）cm．
【点评】本题考查了比的应用，一元一次方程组的应用，理解题意并正确列出方程是解题关键．
16．（2025春•徐汇区校级期中）我国著名的农民数学家于振善爷爷曾遇到这样的问题：一张地图A，它的实际土地面积是48公顷，需要求出其中一块不规则部分B的实际土地面积．于振善爷爷想了一个方法，他找来一块厚薄均匀、质地相同的木板，将这张地图画在上面，并将画有这张地图的木板锯下来，称得木板质量是320克．他又将这张地图中的不规则部分也锯下来，称得木板质量是40克，这样其中不规则部分的实际土地面积就算出来了，是6公顷．
（1）根据题意，把表格填完整．
（2）分别算一算木块A和B的“木板质量”和“实际土地面积”的比值．
计算过程：
你的发现： 比值相等，为203 （用语言表述或式子表示）．
（3）如果当时将同一块木板上的另一块不规则图形锯下来后，称得木板质量为96克．那么这块不规则图形的实际土地面积是多少公顷？
【分析】（1）根据题中信息，把数据填入表格；
（2）分别用木块A、B的“木板质量”和除以“实际土地面 积”，求出比值，比较两个比值的大小，发现规律；
（3）根据“木板质量：实际土地面积＝面积为公顷的木板的质量”，列式解答即可．
【解答】解：（1）如下表，
故答案为：40，48；
（2）木板A：320：48=32048=203，
木板B：40：6=406=203，
∴我的发现是：比值相等，为203，
故答案为：比值相等，为203；
（3）这块不规则图形的实际土地面积是x公顷，
96：x=203
解得：x＝14.4，
答：这块不规则图形的实际土地面积是14.4公顷．
【点评】本题考查了比的应用，根据比的意义求出木板质量与实际土地面积的比值是解题的关键．
木板质量
320克
40 克
实际土地面积
48 公顷
6公顷
木板质量
320克
40克
实际土地面积
48公顷
6公顷