沪教版（五四制）（2024）六年级下册（2024）二元一次方程组的应用优质导学案

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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 根据实际问题中的数量关系列出二元一次方程组，包括配套问题、几何图形拼接、方案设计、行程工程、数字年龄、销售利润、和差倍分等经典题型。
理解 几何图形中隐含的边长等量关系，能通过设未知数列方程组求解。
熟练 分析行程问题中的速度、时间、路程关系，工程问题中的工作效率关系。
掌握 数字问题中数位表示方法，年龄问题中年龄差不变的性质。
能解决 包含两个等量关系的销售利润、方案选择问题，并讨论解的合理性。
理解 三元一次方程组的定义，掌握代入消元、加减消元以及整体思想求解多元方程组。
体会 方程思想在解决实际问题中的核心地位，能根据问题背景灵活设元、列式。
✨ 核心思想：建模 · 消元 · 分类讨论 · 整体代换
知识梳理 · 核心知识点
☆ 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
审题： 分析题意，找出两个等量关系。
设元： 设两个未知数（通常为所求的量）。
列式： 根据等量关系列出两个方程，组成方程组。
求解： 用代入消元法或加减消元法解方程组。
检验： 检查解是否符合实际意义，并作答。
☆ 常见应用题型及等量关系
配套问题： 根据配套比例（如1张桌子配4把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。
几何图形问题： 根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。
方案问题： 根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。
行程问题： 基本关系：路程=速度×时间。相遇问题：总路程=速度和×时间；追及问题：路程差=速度差×时间；注意同时出发、早出发等情况。
工程问题： 基本关系：工作量=工作效率×时间；常将总工作量看作1，或给出具体数值。
数字问题： 两位数=10×十位数字+个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。
年龄问题： 年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。
分配问题： 如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。
销售利润问题： 售价=进价+利润；利润率=利润/进价；打折、提价、降价后的等量关系。
和差倍分问题： 直接根据“和”、“差”、“倍”、“分”列方程。
图表信息题： 从表格、图形中提取数据，转化为方程组。
古代数学问题： 读懂古文，将文字描述转化为现代数学语言。

☆ 三元一次方程组
定义： 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且一共有三个方程（有时只有两个方程但可求解特定整体）。
解法： 代入消元法（将其中一个方程变形，代入另两个消去一个未知数，转化为二元一次方程组）；加减消元法（通过加减消去一个未知数，逐步降元）；整体思想（将三个方程相加或相减得到整体关系）。
三元一次方程组的解： 同时满足三个方程的未知数的值。
△ 应用题型方法速查表
核心考点 ·17类题型精讲
【考点1】根据实际问题列二元一次方程组（1-3题）
❤ 方法总结
仔细审题，找出两个等量关系，通常涉及人数、天数、产品数量、价格等。
配套问题中常出现“刚好配套”意味着数量成比例，如镜架与镜片2:1，桌子与椅子1:4。
古代问题需准确理解题意，将“盈”“不足”转化为代数式。

1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排x人生产镜架，y人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________．
2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．若要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为________
3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有m人，n辆车，下列四个方程：①3(n−2)=2n+9；②3(n+2)=2n−9；③m3+2=m−92；④m3−2=m+92其中符合题意的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【考点2】根据几何图形列二元一次方程组（4-6题）
❤ 方法总结
观察图形中线段之间的相等关系，如拼接后总长度、宽度关系。
设关键边长（如小正方形边长、小长方形长宽），用含未知数的式子表示其他边长。
利用“无缝隙无重叠”建立方程。

4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为2．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的二元一次方程组为（ ）
A．2y−2=x+2y+2=x−2B．y−2=x+2y+2=x−2
C．2y+2=x+2y−2=x+2D．2y−2=x+2y=x−2
5．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为2a，则小长方形的周长为（ ）

A．110aB．310aC．25aD．45a
6．（22-23七年级下·湖南岳阳·月考）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？

【考点3】方案问题（7-10题）
❤ 方法总结
通常涉及两种或多种方案，需根据总费用、总数量等条件列出方程组。
方案选择往往要求整数解，需讨论非负整数解。
有时需要将总资金约束与整数解结合，求出所有可行方案后再比较。

7．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．已知A型机器人每台每天可分拣22万件；B型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买A型和B型机器人各几台？
8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
(3)若A型车每辆租金1000元/次，B型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费．
9．（2024七年级下·上海·专题练习）“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？
10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为40cm×10cm．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板______块和座板______块．
方案二：裁切靠背板______块和座板______块．
方案三：裁切靠背板______块和座板______块．
【任务二】确定搭配数量
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
【考点4】行程问题（11-14题）
❤ 方法总结
分清是相遇还是追及，是否同时出发，有无提前出发。
若两次不同条件，可分别列方程，注意速度、时间、路程的关系。
对于往返问题，注意上坡下坡速度不同，可设上坡、下坡路程。

11．（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距40km的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发1h，那么乙出发2h后，他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5h后，两人相距5km，则甲由A地到B地需要________h
12．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹；2名熟练分拣员和3名新手分拣员一天能分拣140件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在5小时内送完所有包裹；若将速度提高15千米/小时，行驶3小时后，还剩85千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
13．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为20km/h，下坡时速度为35km/h，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（ ）
A．300kmB．210km C．200kmD．150km
14．（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间．
【考点5】工程问题（15-18题）
❤ 方法总结
基本关系：工作量=工作效率×时间，常将总工作量设为1或具体数值。
若两队合作，注意实际工作时间可能有变化（中途离开、速度变化）。
可设原计划每天完成量，根据时间与进度列方程。

15．（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路．
(2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程．
16．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的78．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间?
17．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工16m，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？
18．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服150套，在规定的期限内只能完成订货量的45．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服200套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了25套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？
【考点6】数字问题（19-22题）
❤ 方法总结
两位数 = 10×十位数字 + 个位数字；三位数类推。
交换数位、加写0相当于扩大10倍，需准确表示。
比例问题可设内项、外项，利用比例基本性质列方程。

19．（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________．
20．（24-25六年级下·上海·月考）一个比例，第一项与第二项的比值为225，且两个外项之和为37，差为13，则该比例为______．
21．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个3×3的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和”
(1)如图①所示幻方，求x的值；
(2)如图②所示幻方，求a，b的值；
(3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整．
22．（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答）
【考点7】年龄问题（23-26题）
❤ 方法总结
年龄差不变是核心，即过去、现在、将来两人年龄差相等。
用现在年龄表示过去或将来年龄，建立等量关系。
常设现在年龄，根据“当我像你这么大时”等语句列方程。

23．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁
24．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁．
25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（ ）
A．9岁，7岁B．10岁，6岁C．12岁，7岁D．12岁，6岁
26．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是77岁，88岁，99岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的13时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的12时又为奶奶贺米寿.小花多少岁时将为奶奶贺白寿？
【考点8】分配问题（27-30题）
❤ 方法总结
涉及两种或多种物品、人员的分配，根据总量和部分量关系列方程。
纸盒配套问题中，注意每个竖式、横式纸盒所需不同材料数量。
有时需分类讨论剩余材料情况。

27．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？
28．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？
（续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．）
29．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒．
(1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数；
(2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？
(3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论．
30．（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装500g和小瓶装250g两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算）
【考点9】销售、利润问题（31-33题）
❤ 方法总结
基本公式：售价 = 进价 + 利润；利润 = 进价×利润率；打折后的价格 = 原价×折扣。
注意单价和数量的乘积等于总价。
优惠方案比较：需计算两种不同优惠下的实际花费。
31．（25-26六年级上·上海普陀·月考）某同学在A,B两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元．
(1)这种复读机和书包的单价各是多少元？
(2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：A超市所有商品打八折销售，B超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？
32．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息：
(1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价．
(2)恰逢“618”活动，乙商品降价20%销售，已知乙商品的成本为15元，求此时的盈利率．
33．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某5A景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票．
网络提示购票信息有如下4条：
A．成人票：全价票，每张80元；
B．学生票：是全价票的一半；
C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠；
D．若退票，将扣除购票款的10%．
(1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？
(2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元．
【考点10】和差倍分问题（34-36题）
❤ 方法总结
直接根据“比...多/少”、“是...的几倍”等文字列方程。
可设两个未知数，将倍数关系、和差关系转化为方程。
注意单位统一。

34．（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的65，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是3:4，学校合唱队原来有多少名同学？
35．（2025七年级下·全国·专题练习）某景点的门票价格如下表：
(1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？
(2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人．
36．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架A型无人机和2架B型无人机一次可配送货物220千克，2架A型无人机和3架B型无人机一次可配送货物380千克．
(1)求1架A型无人机和1架B型无人机一次分别可配送货物多少千克；
(2)已知1架A型无人机的单次租金为150元，1架B型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架A型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元．
【考点11】几何问题（37-39题）
❤ 方法总结
通常涉及长方形、正方形等图形的边长、周长、面积关系。
通过不同摆放方式得出两种测量结果，列出方程组。
注意整体相加消元求解。

37．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ cm．
38．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，长方形ABCD是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形EFGH铺成的（既不重叠，又无缝隙），且AD=75cm，CD=45cm，则小正方形EFGH的边长是______cm．
39．（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两种无盖的长方体小盒如图1所示，它们的各个面是如图2的正方形或长方形的硬纸片．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？
【考点12】图表信息题（40-42题）
❤ 方法总结
从表格或图形中读取已知数据，找出未知量之间的关系。
幻方问题常利用各行、各列、对角线之和相等列方程。
九宫格可设中间量作为辅助。

40．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则x=___________．
41．（2025七年级上·上海·专题练习）在下面3×3的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等．
(1)如图1，则m=________，n=________
(2)如图2，则a=________（用含b的代数式表示）
(3)如图3，则a=________，b=________
42．（22-23七年级上·上海静安·月考）在下面3×3的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等．
(1)如图1，则m=________，n=________
(2)如图2，则a=________（用含b的代数式表示）
(3)如图3，则a=________，b=________
考点13】古代问题（43-46题）
❤ 方法总结
读懂古文，将“盈不足”“合伙购物”等转化为现代数学语言。
注意古时的度量单位（如钱、两、斤、尺）与现代单位的换算（有时不须换算）。
常见的题型：牛羊值金、分银、买物、幻方等。

43．（23-24九年级下·上海·月考）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（ ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+2y=82x+5y=10C．5x−2y=105y−2x=8D．5x−2y=85y−2x=10
44．（24-25六年级上·上海·月考）《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是______人，羊的价格是______钱．
45．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为______．
46．（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？
【考点14】开放型问题（47题）
❤ 方法总结
条件不足时，可先写出一般解，再补充一个条件使解唯一。
答案不唯一，但需满足实际意义。

47．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距5km的两地相向而行，经过10min相遇．
(1)甲、乙两人的速度各是多少km/h？请至少写出满足条件的两组解；
(2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题．
【考点15】其他问题（48-50题）
❤ 方法总结
如车辆租用、拆建校舍、足球联赛积分等，关键是找到题中的两个等量关系。
对于积分问题，胜、平、负场数满足总数和得分方程。

48．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下：
观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆；
观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆．
某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元．
(1)求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？
(2)当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因．
49．（25-26六年级上·上海闵行·月考）某区投入一笔资金改善某中学办学条件，计划拆除一部分旧校舍，另建一批新校舍．拆除旧校舍每平方米需500元，建造新校舍每平方米需2000元．计划在年内拆除的旧校舍面积与建造的新校舍面积共1000m2，在实施中为了扩大绿化面积，拆除的旧校舍的面积比原计划增加了320，建造的新校舍的面积为原计划的910，结果实际拆除的旧校舍和建造的新校舍的总面积和原计划相等．
(1)原计划拆除旧校舍和建造新校舍各多少平方米？
(2)已知绿化1m2需300元，如果将在实际完成的拆、建工程中比原计划节约的资金用来增加绿化面积，那么可增加绿化面积多少平方米？
50．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准．
(1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场；
(2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场．
【考点16】三元一次方程组的定义及解（51-54题）
❤ 方法总结
解三元一次方程组的基本策略：消元通过代入或加减消去一个未知数，转化为二元一次方程组。
整体加减法：将三个方程相加或相减，得到整体关系，如求 x+y+z 的值。
对于只有两个方程的三元一次方程组，通常可求出某个整体的值。

51．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组：x+y+2z=52x+y+z=13x+2y+z=−2
52．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组：x−2y=113x+4y=8
（2）解方程组：3x−y+z=42x+3y−z=12x+y+z=6
53．（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组3x+2y+z=9①2x+3y+4z=11②，虽然解不出x、y、z具体数值，但可以解出，x+y+z的值.
(1)小川的方法：②×3−①×2整理可得：y=____________；
①×3−②×2整理可得：x=____________；∴x+y+z=4
小渝的方法：①+②：______________________；∴x+y+z=4.
(2)已知3x+y+2z=9①x−3y−z=3②，试求解x+y+z的值.
54．（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择．
信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与15%补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与20%的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算）
信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表）
(1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？
(2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？
(3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？
【考点17】创新及压轴题（1-4题）
❤ 方法总结
综合应用各类知识，常以阅读材料、新定义形式出现。
整体思想、换元法、消元法是解决复杂方程组的有力工具。
对于非负整数解的个数问题，可用枚举或数列求和解决。
1．（24-25六年级下·上海·月考）阅读下列材料：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变）
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组：13x+5y+9z=9252x+4y+3z=320
上述方程组可变形为：5(x+y+z)+4(2x+z)=9254(x+y+z)−(2x+z)=320
设x+y+z=a，2x+z=b，上述方程组可化为：5a+4b=925①4a−b=320②
①+4×②得：a= ，即x+y+z= ．
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元．
阅读后，细心的你，可以解决下列问题：
(1)上述材料中，a= ；
(2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题．
A．整体 B．数形结合 C．分类讨论
(3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：
根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元．
2．（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离50km，到B地的距离是100km．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为0.6元/km·t，运送罐头的运价为0.5元/km·t：铁路运送水果的运价为0.5元/km·t，运送罐头的运价为0.3元/km·t．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元．
(1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？
(2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
4．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程x+y+z=1999的非负整数解的个数．
随堂检测 · 精选练习
题1 古代问题：和尚分馒头（根据人数和馒头数列方程组）。
题2 古代问题：甲乙持钱（根据钱数转移列方程组）。
题3 纸杯叠放高度问题（利用高度与个数的线性关系列方程组）。
题4 商品价格变化问题（根据原价和调价后的总价列方程组）。
题5 盐水混合浓度问题（根据溶质质量不变列方程组）。
1．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组：
___________．
2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，那么可列出方程组是______．
3．（24-25六年级下·上海金山·期末）小丽在超市帮妈妈买回一袋纸杯，她把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小丽把30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________cm．
4．（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价20%，乙商品提价70%，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了50%，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元．
5．（24-25六年级下·上海·期末）甲乙两个杯子中分别装有不同浓度的200克和300克的盐水．第一次将甲杯中的一半盐水倒入乙杯，混合均匀后再将此时乙杯的一半倒回甲杯．此时甲乙两个杯子中的盐水浓度分别为12%和10%，则原来甲杯中的盐水浓度为_______．
课后巩固 · 针对性练习
题1 古代“共买物”问题（盈不足模型）。
题2 几何图形拼接求面积比（根据长方形宽列方程）。
题3 幻方中的方程组（利用行和、列和相等）。
题4 大小长方形放置问题（根据图形边长关系列方程组）。
题5 古代“索子量竿”问题（绳长与竿长的二元一次方程组）。
题6 四种练习本购买问题（总本数与总价列方程组）。
题7 头盔采购与利润问题（单价、总价、利润计算）。
题8 面包牛奶价格与折扣问题（原价与折后价列方程组）。
题9 研学租车方案（载客量与租车数量关系，讨论整数解）。
题10 刀鱼馄饨礼盒销售（单价与预算刚好花完的方案）。
题11 长方形由正方形组成（利用边长关系列方程组）。
题12 客车载客与租金方案（三元一次方程组与最优选择）。
题13 烟花采购方案（单价、箱数与燃放时间，求最长时长）。
※ 复习建议 本专题涵盖大量实际应用，建议先熟练掌握基本题型（配套、行程、工程、数字），再攻克方案设计、图表、古代问题等综合题型。对于三元一次方程组，重点掌握消元技巧和整体求值方法。务必养成检验解的实际意义的习惯。
1．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问人数和物品的价格各是多少？如果设有x人，物品的价格是y元，那么根据题意可列方程组为（ ）
A．8x−3=y7x+4=yB．8x+3=y7x−4=yC．3x−8=y4x+7=yD．3x+8=y4x−7=y
2．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（ ）
A．14B．15C．16D．17
3．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（ ）
A．2x+3=−3+4yx+2y+4y=2+3B．2x+3+2=2−3+4y3+x+2y=2−3
C．2x+x+2y=2−3x+2y−3=2+4yD．3+x+2y=2−32−3+4y=2x+x+2y+4y
4．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得到的二元一次方程组为_____．
5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺．
6．（25-26七年级上·重庆·自主招生）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本．
7．（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
(1)A、B两种头盔的单价各是多少元？
(2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？
8．（24-25六年级下·上海闵行·期末）乐乐五月份在一家超市买了8袋面包和4瓶牛奶，共花了104元，六月份超市打折促销，面包打七折，一瓶牛奶的价格比五月份降低了40%，如果乐乐六月份以46.1元的价格购买了5袋面包和3瓶牛奶，求五月份一个面包和一瓶牛奶的价格．
9．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人．
(1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？
(2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案；
(3)若租一辆A型车需要1000元，一辆B型车需1200元，怎样租车费用最少？
10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出A，B两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出A礼盒8个、B礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出A礼盒6个、B礼盒10个，总计收入1800元；
(1)A，B两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（A，B都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7个正方形组成，正方形A的边长为3cm，正方形B的边长为5cm．求此长方形的面积．
12．（24-25八年级上·山西运城·月考）综合与实践
为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车1辆，乙种客车2辆，那么每次满载可运送125人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，那么每次满载可运送210人．
(1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？
(2)若该校有307名师生参加研学活动，研学中心安排了8名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少1辆），丙种客车每次满载可运送30人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若甲种客车每辆需租金1600元，乙种客车每辆需租金1300元，丙种客车每辆需租金800元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
13．（24-25七年级下·浙江金华·月考）解答：
类型
核心等量关系
常用设元技巧
配套问题
生产总量满足配套比例
设生产人数或天数
几何图形
边长和、差、倍关系
设边长，根据图形列方程
行程问题
s=vt，相遇、追及条件
设速度、时间，注意单位统一
工程问题
工作量 = 工效 × 时间
可设工效或时间，常把总量看作1
数字问题
数位表示，如 10x+y
设数位上的数字
年龄问题
年龄差不变，过去/未来年龄关系
设现在年龄，用差表示
销售利润
售价 = 进价 + 利润；利润率公式
设进价、售价或数量
和差倍分
直接根据文字描述列等式
设未知数直接翻译
三元一次方程组
三个未知数的三个方程
代入或加减消元，注意整体法
①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米
由题得：x+y=340______=20
②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天
由题得：m+n=20______=340
信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是50元．
信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共需支付120元．
购票人数
1～40
41~89
90及以上
门票单价/元
48
45
42
1
6
2
x+2y
2x+3y
能效等级
标价（元）
冰箱A
1级
6000
冰箱B
2级
5000
洗衣机A
1级
4000
洗衣机B
2级
2400
微波炉A
1级
900
微波炉B
2级
600
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甲
乙
丙
丁
用钱金额/元
第一次购买件数
5
4
3
1
1882
第二次购买件数
9
7
5
1
2764
素材1
某体育用品商场销售A、B两款足球．该商场3月份购进20个A款足球和40个B款足球共需4400元；4月份购进10个A款足球和30个B款足球共需花费3000元．

素材2
该商场决定5月份再购进一批A、B款足球（A、B两款足球都需要购买），另购进C款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球．
问题解决
任务1
（1）求该商场购进A款、B款足球的单价分别为多少元？
任务2
（2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进A、B、C款足球各多少个？（写出所有的购买方案）
设计烟花采购方案
为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长
素材1
已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元．
素材2
某烟花厂提供产品信息如下：
（1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发．
（2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发．
（3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为40s）
素
材
3
（1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花．
（2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间．
问题解决
任务1
确定单价
求A、B型烟花每箱多少元？
任务2
确定方案①
若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？
确定方案②
若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？．