重庆市杨家坪中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 模相等的两个共线向量是相等向量 B. 若 ， ，则
C. 零向量没有方向 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【详解】对于 A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故 A 错误，
对于 B，若 ，则 和 可以是任意向量，不一定平行，故 B 错误，
对于 C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故 C 错误；
对于 D，若 ，由向量相等的定义知 一定共线，所以 D 正确.
2. 在 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ，所以 ，
，所以 ，
所以 .
3. 将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，再向右平移 个单位，得到的图
象与下列哪一个函数图像相同（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移伸缩得出三角函数解析式.
【详解】将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，得出 ，
再向右平移 个单位，得到 .
4. 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列条件中能确定三角形有两解的是（ ）
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
【答案】A
【解析】
【分析】若 有两解，需满足 为锐角，且满足 ，可验证 ABD，根据余弦定理计算可
验证 C.
【详解】如图所示．
若 A 为锐角，且 有两解，则 ．
对于 A，若 ， ， ，
此时 ，此时 有两解，满足题意；
对于 B，若 ， ， ，
此时 ，此时 没有两解，不满足题意；
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对于 C，若 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
则 ，唯一，所以三角形有唯一解，不满足题意；
对于 D，若 ， ， ，
此时 ，此时 没有两解，不满足题意.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用辅助角公式化简，再应用二倍角余弦公式计算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 .
6. 在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ， ，
所以
又因为 三点共线，
所以
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7. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， 的面积
，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由 ， 可求出 ，再由余弦定理可求出 ，从而可求出 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，得 ，
因为 ，
所以由余弦定理得 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
8. 已知平面向量 、 、 满足： 与 的夹角为锐角. ， ， ，且 的最小值为
，向量 的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因 ，则 ，
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由 最小值为 ，且由二次函数分析可知，当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 ，
又 与 的夹角为锐角，则 ，此时 ，所以 ，
设 ，又 ，
所以 ，
因 ，故 .
故选：C
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知向量 ， ，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 或 2
D. 若 ，则 与 的夹角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标关系，垂直的坐标关系，模长的坐标公式及夹角的坐标公式，逐一求解即可
判断．
【详解】对于 A：若 ，则 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B：若 ，则 ，解得 ，故 B 正确；
对于 C：若 ，则 ，即 ，解得 或 ，
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故 C 正确；
对于 D：若 ，则 ， ，所以 ，
又 ，则 ，所以 与 的夹角为 ，故 D 错误．
10. 下列值为 的式子有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据半角公式 可求得 ，进而可判断 A；根据两角和的正切公式可判断 B；
根据倍角公式可判断 C；根据辅助角公式可判断 D.
【详解】对于 A，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 A 不符合题意；
对于 B，因为 ，
所以 ，
所以
，故 B 符合题意；
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对于 C，
，故 C 不符合题意；
对于 D，
，故 D 符合题意.
11. 已知 为 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为等腰三角形
C. 若 ，则点 的轨迹经过 的内心.
D. 若 ，则 为 的垂心
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 作出辅助线，得到各个三角形面积之间的关系，求出面积比值；B 推出 的角平分线与
垂直， 为等腰三角形；C 设 的中点为 ，得到 三点共线；D 得到 ⊥ ，
⊥ ， ⊥ .
【详解】A，过点 作 ，分别交 于点 ，
则四边形 为平行四边形， ， ，
因为 ，故 ，即 ，
不妨设 ，故 ，
因为 ， 为 的中点，所以 到 的距离为 到 的距离的 ，
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所以 ，则 ，
则 ，A 正确；
B， ，该向量为 方向上的单位向量之和，位于 的平分线上，
又 ，即 的角平分线与 垂直，则 为等腰三角形，B 正确；
C，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，设 的中点为 ，
则 ，
则 ，则 三点共线，
点 的轨迹经过 的重心，C 错误；
D， ，则 ，则 ⊥ ，
同理可得 ⊥ ， ⊥ ，则 为 的垂心，D 正确.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
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12. 已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量 在向量 上的投影向量公式 求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
13. 已知 ， ， ，若 、 、 三点共线，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据向量共线可得 ，即可根据正切的二倍角公式求解.
【详解】 ,由于 、 、 三点共线，故 共线，
因此 ，故 ，
则
14. 筒车发明于隋代，在唐朝得到广泛应用和推广，至今仍在农业生产中发挥着作用.假定水流速度稳定的
条件下，筒车上每个盛水筒做匀速圆周运动，将筒车抽象成一个圆，筒车的半径为 4 米，筒车中心到水面
距离为 2 米；筒车按 的速度逆时针方向旋转.规定：盛水筒 对应的点从水中浮现（即 ）时开
始计算时间，且以筒车中心 为坐标原点，过点 的水平直线为 轴建立平面直角坐标系 .设盛水筒
从点 运动到点 所经过的时间为 （单位：s），且此时点 .距离水面的高度为 （单位：m，在水面下则
为负数）.则 第二次到达最高点需要的时间为______.
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【答案】20
【解析】
【分析】设盛水筒 从点 运动到点 所经过的时间为 （单位：s），点 P 的坐标为 ，进而求得
，进而可求得点 P 距离水面的高度为 关于时间 的函数解析式，
进而求解即可.
【详解】设盛水筒 从点 运动到点 所经过的时间为 （单位：s），点 P 的坐标为 ，
终边 对应的角 ，经过的时间为 ，盛水筒 M 从点 运动到点 ，
其终边 对应的角为 ，即： ，
，
又筒车中心 距离水面的高度为 2 米， .
当 ，即 时，点 到达最高点，
此时 ，得 ，
当 ，即 时，点 P 第一次到达最高点；
当 ，即 时，点 P 第二次到达最高点.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数 的部分图象如下图所示.
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（1）求 的解析式及单调减区间；
（2）若对任意 ，有 ，求实数 的最小值.
【答案】（1） ，单调递减区间为 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象得到 ， ，代入特殊点的函数值得到 ，确定函数解析式并求出单调递减区间；
（2）先求出 时，函数的值域，并转化为 ，从而求出答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ，设函数的最小正周期为 ，则 ，解得 ，
又 ，故 ，解得 ，则 ，
将 代入上式可得， ，即 ，
又 ，故 ，故 ，解得 ，
所以 ；
令 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， ；
【小问 2 详解】
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，则 ， ，
所以 ，
对任意 ，有 ，只需 ，
即 ，故 的最小值为 .
16. 如图，在梯形 中， ， ， ， 、 分别为 、 的中点，
且 ， 是线段 上的一个动点.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 取得最小值时 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；
（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.
【小问 1 详解】
由 分别为 的中点，则 ， ，
由图可得 ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
，
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故 ，故 ，
由图可得 ，
，
，
故 ，则 取到最小值 1.
17. 已知 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且
；
（1）求角 的大小；
（2）设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由正弦定理将条件变为 ，化简后用余弦定理即可；
（2）首先需列出 ，代入已知条件即可得出 .
【小问 1 详解】
在 中，由正弦定理及 得：
，化简可得： ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 .
【小问 2 详解】
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是 的角平分线，则 ，
由 可得
，
因为 ， ，即有 ，故 .
18. 已知向量 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，函数 ；
（i）当 取最小值时，求与 垂直的单位向量 的坐标.
（ii）讨论 的零点个数.
【答案】（1）
（2）（i） 或 ；（ii） 个
【解析】
【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求解；
（2）（i）利用换元法来求最小值，再利用向量的垂直关系来求解坐标即可；
（ii）利用换元法先解一元二次方程，再解三角方程，即可结合定义域得到解的个数.
【小问 1 详解】
由 ，根据向量平行的坐标条件： ，
展开整理得： ，
【小问 2 详解】
（i）当 时， ， .
由 ,
令 ，由 得 ，且 ，
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代入得： ,
令 ，该二次函数的对称轴为 ，定义域为 ，开口向下，
所以最小值在 处取得，此时 ，结合 ，
得 ，则 ， ，
即 ，设单位向量 ，
则由 ，则 ，又由 ，
联立解得 或 ，
即 或 ；
（ii） 的零点满足 ，代入 得 ，
解得 或 ，
当 时， ，在 内有 2 个不同解，即 和 ；
当 时， ，因为 ，
所以 只有唯一解；
综上， 共 3 个零点.
19. 已知平面四边形 的两条对角线交于内部一点 ，且 ， .
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（1）判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）若 ， ，求四边形 的面积；
（3）若 ，且 ，求 的周长.
【答案】（1）是， 为定值
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算，结合向量的数量积可求得定值；
（2）利用第一问结论，结合数量积运算和面积公式即可求解；
（3）利用向量的数量积运算，结合余弦定理，可求解各边，即可求周长.
【小问 1 详解】
由 ，可得：
，
即 ，
又由 ，两式相加得： ，
又因为 ，
所以有：
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，
故 为定值 ；
【小问 2 详解】
设 与 的夹角为 ，则： ，
因为 ，所以 ，
则四边形面积公式为 ；
【小问 3 详解】
设 ， ， ， ，代入 可
得：
，
则 ，
再由余弦定理得：
由 ，且 ，故 ，
即 ，代入 ，可得 ，
所以 ，
故 周长为 .
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