重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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这是一份重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），文件包含重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题原卷版docx、重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题意的．
1. 复数在复平面内对应的点在（）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知，，且在上的投影的数量为，则（）
A. B. C. D.
3. 内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．已知，，，则（）
A. B. C. 或 D. 或
4. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则 x 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则
（）
A. B.
C. D.
6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）
A 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
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C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
7. 我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由 3 个不同的纯
音合成的，其函数为，则（）
A. B. 的最大值为 6
C. 的最小正周期为 D. 在上单调递增
8. 设的内角的对边分别为，且，为
的平分线且与 BC 交于点 D，，则面积的最小值是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题意的．全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分．
9. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（）
A. 函数的周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
10. 已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，（）
A. 若，则
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B. 若是边长为 2 的正三角形，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，的中线长为 1，则的最大值为
11. 一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则
，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量
的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，
则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满
足，现在设，则下列说法正确的是
（）
A. 若，则存在实数使得 B.
C. D.
三、填空题；本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知，则 ________.
13. 如图，在⊙C 中，弦，则 ________．
14. 已知函数在区间上是增函数，且在
上恰好取得一次最大值，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设函数．
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（1）求函数的定义域和单调区间;
（2）求不等式的解集．
16. 在同一平面内的三个向量，若 .
（1）若，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
17. 青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角
，半径米，学校计划在弧上选一点，并在点处修建一个小型的服务站、从
服务站向半径、分别作通道、，与线段、分别垂直相交于、，这样就形成了
一个四边形区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅.
（1）设，将四边形面积表示成的函数；
（2）如果你是学校绿化设计师，点选在何处时，可使四边形的面积取得最大值？并求出这个
最大值.
18. 已知 a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且．
（1）求 A；
（2）若，且的面积为，求 b，c．
（3）在（2）的条件下，设的重心为，过点的直线与边，分别交于，，求证：
的值为一个常数．
19. 已知 O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向
量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量相伴函数为，向量的相伴函数为 .若
与垂直时，求与平行的单位向量；
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（2）设函数相伴特征向量为，函数
的相伴特征向量为，求出的面积；
（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，角 A，B，C 所对的边分别为
，若点 G 为该的外心，求的最小值.
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