2026年天津市河东区九年级第二学期数学中考一模试卷含答案

这是一份2026年天津市河东区九年级第二学期数学中考一模试卷含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，第二等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．计算的结果等于（ ）
A．B．C．3D．4
2．如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．估计的值在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
4．下列4个汉字中，从数学角度看可以看作轴对称图形的是（ ）
A．马B．工C．枚D．速
5．因为鸡蛋（这里指的是蛋白加蛋黄的煮全蛋）是最适合人体吸收比例的食物，所以在日常天然饮食中，鸡蛋是优质蛋白质的重要来源．某市为了增强中小学生体质，全面实施“每日一蛋”营养改善计划，某市每天需要向各学校供应新鲜鸡蛋约个，将用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
6．计算的值等于（ ）
A．B．C．D．0
7．若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．计算的结果正确的是（ ）
A．1B．C．D．
10．如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
12．平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示．
有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③存在两个的值，使得的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
13．不透明袋子中装有19个球，其中有4个红球、5个黄球、10个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________．
14．计算的结果为________．
15．计算：的结果等于______．
16．将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）．
17．如图，在中，，，，点是边上的中点．
（Ⅰ）线段的长为________；
（Ⅱ）点在外，满足，且，连接，射线交于点，则的面积为________．
三、解答题
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且．
（Ⅰ）线段的长为________；
（Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）
__________________________________________________________________________________________．
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（4）原不等式组的解集为________．
20．为了解某校学生每周参加体育活动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每周参加体育活动的次数的众数为________，中位数为________；
（2）求统计的这组学生每周参加体育活动的次数的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生每周参加体育活动的次数是5的学生人数约为多少？
21．已知，，过点，且与边切于点，点是上一点．
（1）如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小；
（2）如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长．
22．天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，．
23．已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小海从体育馆回家的速度为________；
③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
24．在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上．
（1）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
（2）将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设．
（i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围；
（ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（，，为常数，，）．
（1）当，，时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标；
②若点，点在线段上，且，线段与抛物线的对称轴的交点为，点，分别为线段，上的动点，当取得最小值为时，求点的坐标．
参考答案
1．【答案】B
【详解】解：．
2．【答案】A
【分析】根据正方体的主视图进行判断即可．
【详解】解：它的主视图是．
3．【答案】B
【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得到结果．
【详解】解：，
，即，
不等式三边同时加2，得，
即，
的值在4到5之间．
4．【答案】B
【详解】解：∵“马、枚、速”沿任何直线对折后，直线两旁的部分都不能完全重合，
∴ 它们都不是轴对称图形；
∵“工”沿过图形中心的竖直直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，
∴“工”是轴对称图形．
5．【答案】A
【分析】根据科学记数法的定义，确定出和即可求解．
【详解】解：．
6．【答案】C
【分析】本题考查特殊锐角三角函数值的计算，只需代入特殊角的三角函数值，化简即可得到结果．
【详解】解：,
代入原式．
7．【答案】C
【分析】根据点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将各点纵坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上，
∴ 将值分别代入解析式得，，，
∵，
∴．
8．【答案】A
【分析】本题中物价为固定不变的量，根据题意分别用表示出两种情况下的物价，利用物价相等即可列出方程，准确理解题意找到等量关系是解题关键.
【详解】解：设人数为人，根据“每人出8钱，会多出3钱”，可得物价为，
又根据“每人出7钱，又差4钱”，可得物价为，
物价固定不变，两个代数式相等，
列方程为 ．
9．【答案】D
【详解】解：原式
．
10．【答案】D
【分析】根据题意得到，设，则，求出，证明，再根据相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：由作图可知，，
，，
设，则，
（负值舍去），未给出具体边长，无法判断，选项A错误；
，
，选项B错误；
，选项C错误；
，
．
11．【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质与角平分线的性质，解题的关键是发现旋转后是的角平分线．先由旋转角度关系证得，再过点作于点，由角平分线性质得到，设，在中用勾股定理列方程求解．
【详解】解：在中，
，
，
由旋转的性质得，，
绕点旋转得到，
，
，
，即是的角平分线，
过点作于点，
，
，
是的角平分线，，
(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
，即．
故选C．
12．【答案】C
【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解．
【详解】解：当时，，
，
，
则，且，
四边形是平行四边形，
在平行四边形中，，
则，故①正确；
，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
走完用时（秒），
过点作，如图所示：
在中，，则，
，则由勾股定理可得，
当时，，则，
当时，的最大面积为；
当时，过点作，过点作，如图所示：
，，
在中，，则，
，
，则由勾股定理可得，
，
在平行四边形中，，则，
在中，，，则，
由勾股定理可得，
则，
，
由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小，
当时，有最大值，为；
综上所述，当时，的最大面积为，故②正确；
由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达，
点，总共运动时间为秒，
由②的判定过程可知，当时，的最大面积为，
，
解得；
当时，，
解得或；
综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误；
则题中正确结论是①②，共2个．
13．【答案】
【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
【详解】解：总球数为个，绿球有个，
随机取出个球是绿球的概率为．
14．【答案】
【详解】解：原式．
15．【答案】4
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：
=（）2-（）2
=6-2
=4.
16．【答案】2
【分析】根据“左加右减”即可得到答案．
【详解】解：将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第（三）第二、第一象限，则，
即可，
则的值可以是．
17．【答案】1；
【分析】（Ⅰ）根据等腰三角形性质得出，解直角三角形得出，再根据中点定义，求出结果即可；
（Ⅱ）延长，，交于点G，连接，证明，得出，证明，得出，证明，得出，证明，得出，证明，根据，即可得出答案．
【详解】解：（Ⅰ）∵在中，，，
∴，
∴，
∵点是边上的中点．
∴；
（Ⅱ）延长，，交于点G，连接，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】2；见详解
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与无刻度的直尺作图，解题的关键是利用网格特征构造垂直平分线和利用对称性构造切线．
（Ⅰ）取中点，由且得是的垂直平分线，从而；
（Ⅱ）作中位线，连接交得圆心，延长交横格线于点，直线为切线，射线与的交点即为所求点．
【详解】解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，
点,C,D均在格点上，
,
,
是的垂直平分线
，
又,
．
（Ⅱ）1：确定圆心
作的中位线，点在上，点在上，连接与的交点即为圆心；
2：作圆的切线
延长交横格线于点，此时，作直线，则即为圆的切线；
3：确定点
射线交直线于一点，则此点即为所求作的点．
19．【答案】（1）
（2）
（3）作图见详解
（4）
【分析】分别解不等式组中的一元一次不等式，再用数轴表示出不等式解集，最后由不等式组解集求法即可得到答案．
【详解】（1）解：，
移项得，
；
（2）解：，
移项得，
；
（3）解：在数轴上分别表示不等式①②的解集，如图所示：
（4）解：由（3）可知，原不等式组的解集为．
20．【答案】（1）50，34，4，3
（2）平均数是
（3）120人
【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，样本估计总体，中位数、众数，平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用本周参加体育活动的次数次的人数除以占比求出总人数，再结合中位数、众数的定义进行作答即可．
（2）运用平均数的公式进行列式计算，即可作答．
（3）根据样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：，，
统计的这组学生每周参加体育活动的次数的众数为，
排序后位于第25、26位的数据为3、3，所以中位数为；
（2）解：，
这组数据的平均数是；
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加体育活动的次数是5的学生占，
根据样本数据，估计该校1200名学生中，每周参加体育活动的次数是5的学生占，
有（人），
估计该校学生每周参加体育活动的次数是5的学生人数约为120人．
21．【答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案．
（2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在中，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，，
与切于点，
．
，，
，
，，
，
；
（2）解：连接，，，
与切于点，
，
，点为中点，
，
点在上，
，
，
，
，
，
为等边三角形．
在中，
，，
．
．
22．【答案】58米
【分析】设，得到，，故，求出，即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，，
设，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
又，
解得；
；
答：桥塔塔顶到水面的距离约为58米．
23．【答案】（1）①；②；③
（2）
【分析】（1）结合函数图象求出各阶段速度即可解决①②，再由待定系数法分段求解即可解决③；
（2）由待定系数法求出爸爸运动的函数表达式，结合，数形结合求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
小海从家到便利店的速度为；
小海从便利店到体育馆速度为；
①当时，由于，则；
当时，由于，则；
当时，由于，则；
②小海从体育馆回家的速度为；
③当时，；
当时，设，
将、代入解析式得，
解得，
；
综上所述，当时，小海离家的距离关于时间的函数解析式为；
（2）解：设，
将、代入解析式得，
解得，
；
当时，设，
将、代入解析式得，
解得，
；
如图所示：
当时，
联立，解得；
当时，
联立，解得；
当时，
在时，；在时，；
综上所述，当时，的取值范围是．
24．【答案】（1），
（2）（i），；（ii）
【分析】（1）连接交于点，根据等腰三角形的性质得到，求出，进而得到，再根据正方形的性质的长，即可求出；
（2）（i）根据平移的性质证明四边形是矩形，进而得到和是等腰直角三角形，则，；当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，列出关于的不等式组，即可得出的取值范围；
（ii）分3种情况讨论：①当时；②当时；③当时，先确定四边形与重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出与的关系式，结合，列出关于的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：连接交于点，
∵等腰的顶点，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（i）由平移的性质得，，四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵等腰，，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵点是的中点，，
∴，
由（1）得，，
由平移的性质得，，，
∵当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，
∴，
解得，
综上，，；
（ii）①当时，四边形与重叠部分为四边形，
由（i）得，四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
令，则，
解得，
∴；
②当时，四边形与重叠部分为五边形，
∵，
∴，
由平移的性质得，，四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
由（i）得，是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
同理①的方法可得，，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值5；当和时，取得最小值4，
此时，满足题意；
∴；
③当时，四边形与重叠部分为，
∵，
∴，
由平移的性质得，，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
令，则，
解得或，
∴；
综上，的取值范围为．
25．【答案】（1）抛物线顶点的坐标为
（2）①点的坐标为；②点的坐标为
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将二次函数化为顶点式进行判断即可；点在第二象限，过点作轴于点，
（2）①求出抛物线解析式为，证明，得到点的坐标为，根据点在抛物线上，得到，解得，，即可得到答案；
②求出，根据题意，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，则，即，点在直线上，为等边三角形，，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，，
该抛物线的解析式为，
，
该抛物线顶点的坐标为；
（2）解：①点在抛物线上，
，即，
又，点，
，，，
抛物线解析式为，
如图，点在第二象限，过点作轴于点，
，
，
，
，
，又，
，
，，
，
，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
整理得，，
解得，，
，
，不合题意，舍去，
，
点的坐标为；
②点和点为抛物线与轴的两个交点，
，，解得，，
点为抛物线与轴的交点，
，
，
点在线段上，且，
，
根据题意，点与点关于直线对称，点与点G关于轴对称，
则，
∵取得最小值为，
∴，
点在直线上，为等边三角形，
∴，，，
∴，
，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴
点的坐标为．
小海离开家的时间
2
9
14
30
小海离家的距离
________
0.6
________
________