2026年天津市和平区九年级第二学期数学中考一模试卷含答案

这是一份2026年天津市和平区九年级第二学期数学中考一模试卷含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．预计到2025年12月，中国高铁营业里程将突破5万公里，位居世界第一，超过世界上其他国家高铁运营里程的总和．将数据50000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．的值等于（ ）
A．1B．C．D．
7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
9．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，D是边上的点．按以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点M，与边相交于点N；
②以点D为圆心，以长为半径画弧，与相交于点H；
③以点H为圆心，以长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；
④作射线，与相交于点E．
若，，，则的长为（ ）
A．20B．15C．10D．
11．如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．平分
C．D．
12．如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论：
①当时，；
②矩形面积的最大值为；
③有两个不同的值满足矩形的面积为．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．
14．计算的结果为______．
15．计算的结果为______．
16．若直线向下平移个单位长度后经过点，则的值为______．
17．如图，中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为，，连接，．
（1）的长为______；
（2）的长为______．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________．
三、解答题
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
20．已知抛物线（a，b，c是常数，），顶点为P．
（1）当，，时，
①求顶点P的坐标；
②填空：将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ；
（2）抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
①填空：当时，则x的值为 ；
②填空：顶点P的坐标为 ．
21．已知分别与相切于点，为半径，连接．
（1）如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数；
（2）如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径．
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，．
23．已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限．
（1）填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ；
（2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S．
①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接．
（1）当点D落在该抛物线上时，
①求抛物线的解析式；
②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标；
（2）点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．观察立体图形，确定每一列正方体的最高层数即可得出主视图．
【详解】解：由图知，从正面看，该几何体共有2列，
左边一列有2层，右边一列有1层，
∴其主视图为．
2．【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．据此对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A. 不是中心对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D. 是中心对称图形，符合题意．
3．【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是掌握科学记数法的表示规则．
科学记数法的表示形式为，要求，为整数，按规则改写即可得到答案．
【详解】解：∵科学记数法要求满足，
∴对进行改写，可得，
∴答案选C．
4．【答案】C
【分析】利用算术平方根的估算方法，通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，确定的范围，再计算的取值范围.
【详解】解：，，且
，即
不等式三边同时减1，得
即
因此的值在5和6之间．
5．【答案】B
【分析】根据有理数加减法，乘除法的运算法则，分别计算每个选项的结果，即可判断出正确选项．
【详解】解：对于A选项，∵ ，∴ A计算错误；
对于B选项，∵ ，∴ B计算正确；
对于C选项，∵ ，∴ C计算错误；
对于D选项，∵ ，∴ D计算错误．
综上，正确选项为B．
6．【答案】A
【分析】先将、的值代入原式，再按照先乘除后加减的运算顺序计算即可．
【详解】解：
．
故选A．
7．【答案】D
【分析】将各点代入解析式求出、、的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上，
∴，
，
∵
∴．
故选D．
8．【答案】D
【分析】利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分得到结果，用到平方差公式与分式约分的知识点．
【详解】解：．
9．【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可．
【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：
；
故选A．
10．【答案】B
【分析】先由作图可得，，然后证明，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由作图可得，，
∵，
∴
∴
∴
解得．
11．【答案】A
【分析】由等腰三角形性质推出，由旋转的性质可知，，，再结合角的和差，角平分线的判定定理，以及平行线的判定分析判断，即可解题．
解题的关键在于熟练掌握平行线的判定，旋转的性质以及等腰三角形的性质．
【详解】解：，，
，
由旋转的性质可知，，，故C选项正确，不符合题意；
，
，
即，故A选项不正确，符合题意．
，
平分，故B选项正确，不符合题意；
，
，故D选项正确，不符合题意．
12．【答案】C
【分析】过点作，根据锐角三角函数的定义可以求出，，从而可知；设，把矩形的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的性质求出矩形面积最大值；当矩形面积为时，可以得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即可．
【详解】解：如下图所示，过点作，
，，
，
，
正方形的边长为，
，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论①正确；
设，由①可知，
则，，
矩形的面积为，
整理得：，
，且，
当时，矩形面积有最大值，最大值为，
故结论②正确；
当矩形面积为时，
可得：，
解得：，(舍去)，
只有一个值满足矩形的面积为，
故结论③错误．
综上所述，结论正确的个数有2个．
13．【答案】
【分析】用列表法与树状图法求解即可.
【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，
其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正
所以概率是，
故答案是.
14．【答案】
【分析】将同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
【详解】解：原式
．
15．【答案】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式得到，进一步计算即可．
【详解】解：
16．【答案】
【分析】先求出平移后的解析式，再将点坐标代入解析式即可求出的值．
【详解】解：直线向下平移个单位长度后的解析式为，
平移后的直线经过点，
将点代入，
可得：．
17．【答案】5；
【分析】（1）首先在中利用勾股定理求出的长，然后根据旋转的性质得出，，从而判定为等边三角形，即可求出的长；
（2）由等边三角形的性质得出，进而求出，过点作交的延长线于点，构造含角的直角三角形，利用勾股定理即可求出的长 ．
【详解】解：（1）在中，，，,
由勾股定理得：，
由旋转的性质可知：，
∴是等边三角形，
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作交的延长线于点D，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴ ，
∴，
在中，由勾股定理得：．
18．【答案】；先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点
【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度；
（2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M．
【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为，
根据勾股定理得： ；
（2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点．
19．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
（4）
【分析】分别求出每一个不等式的解集并在数轴上表示出来，然后结合图形并根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式①，得；
（2）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
把系数化为，得：，
∴解不等式②，得；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：原不等式组的解集为．
20．【答案】（1）①；②
（2）①或；②
【分析】（1）配方即可求解顶点坐标；再根据“左加右减，上加下减”求解平移后的函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求解函数解析式，然后当解方程即可求解值，再配方即可求解顶点坐标．
【详解】（1）解：①当，，时，抛物线为，
配方得，，
∴顶点P的坐标为；
②向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为，即；
（2）解：由表格可得，；；
代入，则，
解得
∴抛物线表达式为
①当时，则，解得或；
②，
∴顶点为．
21．【答案】（1）
（2）
【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解；
（）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵分别与相切于点，
∴，，
∴，
∵
∴；
（2）解：如图，过点作于，连接，
∵分别与相切于点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴的半径为．
22．【答案】
【分析】延长交于点，延长交于点，在和中，可构造和，进而计算可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，
则根据题意可知，，，，，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
解得：，
∴．
答：拱顶距离水面的竖直高度为．
23．【答案】（1）①见详解；②20或65；③；
（2）能，追上时兄妹俩离公园还有．
【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；
②理解题意，从图形中获取准确信息利用公式进行计算即可；
③理解题意，从图形中获取准确信息，求函数解析式即可；
（2）求出相关解析式，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：①小华去书店的速度为，
2分钟时小华离家的距离为；
由图可知18分钟时，小华离家的距离为；
52分钟时，小华离家的距离为；
填表如下：
②小华去公园的过程中：，
小华从公园返回的过程中：，
综上，当小华离家的距离为时，他离开家的时间为20或65；
③由①得小华去书店的速度为，
∴当时，；
由图可知，当时，；
当时，，
综上，；
（2）解：哥哥的速度：100，妹妹的速度：200
妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6，妹妹迟2，即到达书店；
妹妹在书店停留15，离开书店的时间：．
哥哥在23时的位置：18离开书店，到23走了，
距离为．
设妹妹离开书店后经过追上哥哥：
解得，
此时总时间为，
小于哥哥到达公园的30，能追上．
此时离家距离：，离公园还有．
答：能，追上时兄妹俩离公园还有．
24．【答案】（1）；
（2）①（​）；
②
【分析】（1）可先计算、长度，再利用直角三角形的边角关系求的度数；根据是等边三角形，结合的度数，所以可通过构造直角三角形，利用等边三角形性质和坐标平移的思路求D点坐标；
（2）①将重叠部分的面积转化为等边的面积减去的面积；可先确定平移后各点的坐标，再结合的角度，利用三角函数求出的边长，进而得到其面积，同时根据重叠部分为四边形的条件确定t的取值范围；
②因为已知t的取值范围，所以需先分析在该范围内S的表达式的变化情况，再根据函数的性质求S的取值范围．
【详解】（1）解：∵，，
在中，，​，，
∴，
，
且是等边三角形，轴，
∴，
又∵D在第二象限，
∴D的横坐标为​，纵坐标与E相同为，即；
（2）解：①等边的面积为​，
平移后，，
当重叠部分为四边形时，满足在y轴右侧、在y轴左侧，
即，解得​；
∵ 交y轴于，为直角三角形，，，，
∴​​，
∴重叠面积（​）；
②当时，重叠部分面积随的变化分为四个阶段：
当时，如图所示，重叠部分为，
面积，随的增大而增大。
，，
∴；
当时，重叠部分为四边形，
面积，随的增大而增大。
，，
∴；
当时，重叠部分为四边形，
面积，随的增大而减小。
，
，
∴；
当时，重叠部分由腰线和斜边围成，
面积，随的增大而减小。
，，
∴；
∴的取值范围为．
25．【答案】（1）①②
（2）
【分析】 （1）①先根据平移得，再把，分别代入，解得，即；
②算出，则，证明，再求出直线的解析式为，依题意得，解得，，又因为抛物线上的点E的横坐标为m，且，故，故把代入，得；
（2）根据二次函数的图象性质，得，，，过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，，再证明，则，又因为的最小值为，即，再结合勾股定理列式计算，得，解得．
【详解】（1）解：①依题意，抛物线与y轴相交于点C，
∴，
∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，点D落在该抛物线上，
∴，
把，分别代入，
得，
解得，
∴，
②由①得，，，
∴，
连接，与y轴相交于点，如图所示：
当时，则，
即，
解得，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
即
∵
∴，
∵，
∴
∴
∴
设直线的解析式为
把，代入，
得，
解得，
∴，
依题意得，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，，
∵抛物线上的点E的横坐标为m，且，
∴，
故把代入，得，
即；
（2）解：∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点，
∴，
∴，
令，则，
解得；
∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，
∴，，
∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，
∴射线的解析式为
过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，，

∵轴，，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵的最小值为
∴
∵，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴，（舍去）
x
…
0
1
2
…
…
3
0
m
0
…
小华离开家的时间/
2
6
18
52
小华离家的距离/
600
小华离开家的时间/min
2
6
18
52
小华离家的距离/
200
600
600
1800