2026年天津市第二十一中学九年级数学中考一模试卷含答案

这是一份2026年天津市第二十一中学九年级数学中考一模试卷含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）．
A．B．C．D．
2．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离千米，其中用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
5．估计﹣1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
6．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．分式化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，等腰的顶角，若将其绕点C顺时针旋转，得到，点在边上，交于E，连接．则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．平分D．
10．已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72°B．△ADB∽△ABCC．CD：AD=2：1D．∠ABC=3∠ACB
11．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．B．C．D．
12．小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图象上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．计算：__________．
14．计算的结果等于__________．
15．不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为_________．
16．如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 ___．
17．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
三、解答题
19．解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是________．
20．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
（1）直接写出该二次函数的顶点D的坐标为______
（2）求该二次函数的表达式；
（3）若，直接写出x的取值范围_______．
21．如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F．
（1）若，求的度数
（2）若，，，求的长．
22．项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
23．已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______；
③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．

（1）如图①，当时，求点P的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设．
①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）已知，，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，
①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______．
（3）已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看到的图形如下：
故选A．
2．【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
3．【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将这个数用科学记数法表示为：．
故选C．
4．【答案】A
【详解】解：
．
5．【答案】C
【分析】由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
6．【答案】B
【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论．
【详解】解：．，故本选项错误；
．，故本选项正确；
．，故本选项错误；
．，故本选项错误；
故选．
7．【答案】A
【分析】首先画出反比例函数，利用函数图象的性质得到当时，，，的大小关系．
【详解】解： 反比例函数，
反比例函数图象在第二、四象限，
观察图象：当时，
则．
故选A．
8．【答案】B
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．
【详解】解：
故选B．
9．【答案】D
【分析】依据等腰三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的判定及角平分线的定义分析即可．
【详解】解：由旋转可知，
，
故A正确；
等腰的顶角，
，
由旋转可知，
，
在等腰中，
，
，
，
故B正确；
等腰的顶角，
，
由旋转可知，
，
，
平分，
故C正确；
等腰的顶角，
，
由旋转可知，
，
故D错误；
故选D．
10．【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝72°，（A正确）
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABD＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，（B正确）
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，（D正确）
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD＋DB＞AB，AD＝DB
∴2AD＞AB
∴2AD＞CD，（C错误）
故选C
11．【答案】C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选C．
12．【答案】B
【分析】根据待定系数法可得的值；画出图象，根据一次函数和二次函数的增减性即可解答；利用图象，可得函数与直线的交点情况；根据函数图象，分类讨论即可解答．
【详解】解：输入x的值为时，输出y的值为1，
，
解得，
输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6，
，
解得，
故①正确；
画出函数图象，如下：
当时，，
所以当时，这个复杂函数y随x的增大而减小，故②错误；
如图，函数的顶点为，
所以小明设计的函数与直线有两个公共点，则；
故③错误；
令，解得，
令，解得，（舍去），
当时，则，
此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意；
当时，则，
此时复杂函数的最小值在或处取到，都为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意；
当时，则，
此时复杂函数的最小值和最大值都由决定，不符合题意；
当时，则，
此时复杂函数的最小值在处取到，为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意；
当时，则，
此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意；
综上，当图象对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是或，故④错误；
所以小华的说法中正确的个数是1个．
13．【答案】-1
【分析】根据立方根和算术平方根的定义分别计算，再作减法．
【详解】解：.
14．【答案】3
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：原式=（）2-（）2
=6-3
=3，
故答案为3．
15．【答案】/0.5
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下
共4种等可能结果，两次摸到的球中，其中一个红球、一个黄球的情形有2种，
则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为.
16．【答案】y=x-1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案．
【详解】解：直线y＝﹣x+1与关于x轴对称的直线的函数表达式为-y=-x+1，
即y=x-1．
17．【答案】120°/120度；75°/75度
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．
18．【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
19．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
（4）
【分析】（1）直接解不等式①即可解答；
（2）直接解不等式①即可解答；
（3）在数轴上表示出①、②的解集即可；
（3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
．
（3）解：把不等式和的解集在数轴上表示出来：

（4）解：由图可知原不等式组的解集是．
20．【答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）由表格数据可知二次函数图象对称性可得图象顶点．
（2）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（3）利用二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：由表格数据可知二次函数的对称轴为直线，
二次函数图象对称性可得图象顶点为，
（2）解：设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得：，
该二次函数的表达式为；
（3）解：令，则，
解得或，
令，则，
解得或，
∵
∴二次函数的开口向下，
结合函数图象可知，当或时，．
21．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）如图所示，连接，根据圆周角定理，切线长定理及四边形内角和定理得到，，再证明，即可求解；
（2）根据题意，结合（1）的计算，由勾股定理得到，，，，再证明，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵所对圆周角为，所对圆心角为，
∴，
∵，分别与相切于点B，D，
∴，，即，
在四边形中，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，分别与相切于点B，D，点是直径延长线上一点，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
22．【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
23．【答案】（1）①0.4；2；1．②0.2．③．
（2）
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）①根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可；
②根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可；
③利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式；
（2）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可．
【详解】（1）解：①小明从宿舍到文具店过程中的速度为：，
当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：,
由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为,
小明从自习室返回宿舍过程中的速度为：，
当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：．
②由①可知小明从自习室到宿舍的骑行速度为．
③当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：，
将代入，得，
解得，
∴，
当时，由图象可知，小明离宿舍的距离始终为0.8，
∴，
当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：，
将和代入，得，
解得，
∴
综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：．
（2）设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：，
将和代入，得，
解得，
∴，
∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明，
∴，
解得，
此时离宿舍的距离为：，
答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是．
24．【答案】（1）点P的坐标为；
（2）①，t的取值范围是；②．
【分析】（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出；
（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，
又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；②分重叠部分为四边形和三角形两种情况，分别由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形为直角三角形，进而求得重叠部分面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作轴，垂足为H，则．
，
．
．
在中，，
，．
点P的坐标为．
（2）解：①由折叠知，，
，．
又∵，
．
四边形为菱形．
．可得．
点，
．
∴．
在中，．
，
，其中t的取值范围是．
②当重叠部分为四边形时，即
由①知，为等边三角形，
∵四边形为菱形，
∴,
∴三角形为直角三角形，，
∴，,
∴，
∵，
∴．

当重叠部分为三角形时，即
由折叠知，，
，．
又∵，
．
四边形为菱形．
．
∴．
点，
．
∴．
在中，．
∴，其中t的取值范围是．
∴，,
∴，
∵，
∴．
综上，当时，求S的取值范围为．
25．【答案】（1）
（2）①；②
（3）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；
②先求得直线的函数表达式为，进而可设直线的函数表达式为，由折叠性质，可画图分析，当时，只有当直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，联立方程组，令求得m值即可解答；
（3）如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则，利用等腰直角三角形的判定与性质，结合平行线的性质得到，则可得，当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为；求得，则有，，再求得直线的函数解析式为，设，求得直线的函数解析式为，设直线的函数解析式为，联立方程组推导出，进而利用二次函数的性质求得的最大值，列方程求解即可．
【详解】（1）解：将，代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为H，

令，解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，，
∵对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②对于函数，图象开口向下，对称轴为直线，
当时，，则，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
∴直线的函数表达式为，
∵直线，
∴设直线的函数表达式为，
由折叠性质，画图如下，
由图知，当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象在C处相交，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，但直线 与直线重合，不满足直线；
当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象无交点；
当时，只有直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，
联立方程组，得，
由得，
∴直线的函数表达式为，
故当与函数w图象只有两个公共点时，直线的函数表达式为；
（3）解：如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则，
∵，，轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为；
由得，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，则，
∴，，
∵，，
∴直线的函数解析式为，
设直线的函数解析式为，
设，代入中，得，
∴直线的函数解析式为，
∵，
∴设直线的函数解析式为，
联立方程组，整理得，
∴，则，
∵轴，
∴，
∵，
∴时，取最大值，
∴，
解得或（不符题意，舍去）．x
…
0
1
2
y
…
3
4
3
0
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．
图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算
……
交流展示
……
小明离开宿舍的时间
5
10
40
75
小明离宿舍的距离
0.8
第一次\第二次
红
黄
红
红红
红黄
黄
黄红
黄黄