2026年辽宁省大连市中考一模数学模拟卷（含解析）

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1. 全国两会大幕开启，“乡村振兴”再次成为高热度话题，会前，615万人次参与的网络调查选出2024年全国两会十大热词，“乡村振兴”位列第三将615万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：615万，
故选：B．
2. 冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法等知识，根据运算法则逐项进行判断即可．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意；
故选：D
4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把横坐标加2，纵坐标加1即可得出结果．
【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是．
故选：D．
本题考查点的平移中坐标的变换，把向上（或向下）平移h个单位，对应的纵坐标加上（或减去）h，，把向右上（或向左）平移n个单位，对应的横坐标加上（或减去）n．掌握平移规律是解题的关键．
5. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）

A. B. y随x增大而增大
C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象得：y随x增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四象限，
∴，
即B，C，D错误，A正确；
故选：A．
本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键．
6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，
故选：C．
7. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设清酒斗，根据清酒、醑酒分别消耗的谷子总量等于持有的30斗谷子来列方程．
【详解】∵设清酒斗，共换得5斗酒，
∴醑酒的数量为斗，
∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，持粟30斗，
∴斗清酒花费斗谷子，斗醑酒花费斗谷子，
∴可列方程为，
故选：A．
9. 如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设交于点O，根据题意得到平分，再根据平行线的性质，易证四边形是菱形，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：设交于点O，
由作图依据可得：平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
故选：C．
本题考查了尺规作图，角平分线的作法，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键．
10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键．
运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解；
【详解】解：在中，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点在上时，，即，，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意；
当点在上时，如图所示，，即，
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
故选：A ．
二.填空题（共5小题）
11. 要使式子有意义，则的取值范围是_____________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到结果．
【详解】解：由题意得，要使式子有意义，需满足，
解不等式得，
解不等式得，
因此的取值范围是且．
12. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________．
【答案】36
【解析】
【分析】根据三视图可判断这个几何体是三棱柱，再根据三棱柱的侧面特点计算，即可得出答案．
【详解】解：通过观察该几何体的三视图可知，该几何体为三棱柱，三棱柱有三个侧面，每个都是长方形，所以这个几何体的侧面积是：．
13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到△的位置，使，则旋转角的度数为________．

【答案】##56度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、等腰三角形的性质．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数．
【详解】∵，
∴
∵在平面内绕点旋转到的位置，
等于旋转角，，
∴，
，
旋转角为．
故答案为：．
14. 音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围．
【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上，
．
．
喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，
，即：．
．
故答案为：．
15. 如图，点是轴上一点，点，分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为2.5，得出，求得答案即可．
【详解】解：∵轴，
、的横坐标相同，
设，，，则，
，
∵的面积为，
∴，
．
故答案为：．
三.解答题（共8小题）
16. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】先由因式分解进行整理，然后除法变为乘法进行化简，再合并同类项即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
17. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元
(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【答案】（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．
【解析】
【分析】（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．
答：该档次蛋糕每件利润为18元．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，
整理得：x2﹣16x＋48＝0，
解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是四档次的产品．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．
18. 为了加强学校体育工作，促使学生积极参加体育锻炼，促进学生身心健康发展，教育部和国家体育总局颁发了《学生体质健康标准》，某校体育老师为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分时制）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息：
.这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图：
.这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如下表：
.按照初二测试成绩把学生成绩分为三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级，其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小涵同学初一测试的成绩为80分，初二测试的成绩为95分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点；
（2）写出表中的值，_____；
（3）全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有_____人；
（4）若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点．
【答案】（1）见详解 （2）87.5
（3）304人 （4）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了统计图、中位数、利用样本估计总体等知识，正确理解题意，由题意获取所需信息是解题关键．
（1）分析统计图，从中标记出小涵对应的点即可；
（2）结合题意将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义求解即可；
（3）根据“学生总人数等级学生占比”，即可求得答案；
（4）根据体质健康增长率的定义，可知在统计图中靠近左上角的点符合题意，即可获得答案．
【小问1详解】
解：将小涵同学初一测试的成绩和初二测试的成绩在图中用“○”圈出对应的点，如下图所示；
【小问2详解】
初二测试的成绩，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级，
其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88，
将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在10和11位的是87，88，
则初二测试成绩的中位数．
故答案为：87.5；
【小问3详解】
（人），
即全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有304人．
故答案为：304；
【小问4详解】
根据“体质健康增长率”，
则标记8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点，如下图所示：
．
19. 阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题．
（1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答；
（2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案
【小问1详解】
解：∵，可知，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由，
∴，即，
则 ；
【小问3详解】
解：依题意，∵，，，
∴
∴，即
∵
∴．
20. 如图，为了测量小河对岸一座小山BC的高度，某测绘小组先在斜坡上的D处，测得小山顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度．斜坡AD的坡度i1：3（坡面的垂直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示），然后在A处测得小山顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求小山BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
【答案】m
【解析】
【分析】作DF⊥BC于F，根据坡度可得AE=6 m，再根据锐角三角函数列式计算即可．
【详解】解：作DF⊥BC于F，
则四边形DECF为矩形，
∴，，
∵AD的坡度，
∴，
在Rt△BDF中，，
则，
在Rt△BAC中，，
则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
答：小山BC的高为m．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
21. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证；
（2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
22. 定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
（1）如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
（3）抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】（1）点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析
（2）或或
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断；
（2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案；
（3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可；
②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
当时，，当时，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点为直线上的点的“共圆点”；
【小问2详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
如图，，
∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，
∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得：
或或，
综上：的坐标为：或或
【小问3详解】
解：①如图，
∵抛物线为，
∴对称轴为直线，此时，
∴，
设，则，
∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
∴，
∴，
解得：，（舍去），，
∴；
②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点，
∴平移后的抛物线为：，
∴平移后的对应点，
如图，∵关于轴的对称点，连接，
∴，
当三点共线时，，
此时周长最短；
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键．
23. 【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．
（1）【理解定义】
如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”．
（2）【运用定义】
如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”．
（3）【拓展提升】
如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长．
【答案】（1）是 （2）见解析
（3）1或
【解析】
【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断；
（2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明；
（3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，
∴为等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；
【小问3详解】
解：由翻折可知，，，，
∴是等腰三角形，
又∵是的“奇妙分割线”，
∴为直角三角形；
①当时，，
∵
∴，
∴，
如图，过点A作交的延长线于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，
如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由①可知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴；
③当时，不存在满足题意的图形，舍去；
综上，的长为1或．
平均数
中位数
方差
初一测试
72.0
71.5
99.7
初二测试
86.8
88.4