解三角形与平面向量、三角函数综合问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份解三角形与平面向量、三角函数综合问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)求角的大小；
(2)若，求的最小值及的面积.
【答案】(1)
(2);
【详解】（1）由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
例2．（2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若点D是BC边上一点，，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为在的内，
所以
则，
可得，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以.
（2）因为，所以.
由（1）可知，
则.
如图，设，
则.
在中，，即，
在中，由正弦定理得，
可得
，
又因为，所以，
又，故，
即，
可得，即，
故，故为锐角，
又，为锐角，则，
所以的值为.
例3．（25-26高三上·山东威海·期中）在中，内角的对边分别为，且的面积为．
(1)若是的角平分线，，求的周长；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)19．
(2)．
【详解】（1）在中，由三角形的面积公式可得，
所以，所以，
因为，所以．
因为是的角平分线，所以，
所以，所以，
由余弦定理可知：，
所以，
所以，整理得，
解得或（舍去），
所以，所以的周长为19．
（2）由题意知，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以当，即时，的最大值为1，此时有最小值，
所以的最小值为．
例4．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，且，
由正弦定理得，
化简得，因为，
所以，又，
所以；
（2）根据题意，在中，边上的中线长为，
得，
两边平方得
化简，故有，
解得（舍去）或.
在中，，
又，故为直角三角形，
在中，，所以，
又，
所以根据正弦定理得
，
解得.
变式1．（25-26高三上·福建南平·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心．
(1)当时，求；
(2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）；
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点，
则为向量在向量上的投影向量，
设与的夹角为，所以．
（2）构造向量，因为（其中为向量的夹角），
所以，
于是，
即
当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有，
即，不等式得证．
（3）如图，令，由，
得，化简得．
由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有，
代入上式得，所以．
又是的外接圆的半径，故，
于是有，
由（2）结论可知，，故，
从而，于是，当且仅当时，等号成立，
因此的最大值为．
变式2．（24-25高一下·福建三明·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，所以，
同理可得，所以点O是的垂心，
又因为，所以，
在中，因为，即，
由余弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以的周长的最大值为.
变式3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
(1)求角；
(2)若，且，求外接圆半径R
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
根据余弦定理，得
化简得，
∵，，
（2）令是的中点，则,
，
，，
由（1）知，，
所以外接圆半径.
变式4．（24-25高一下·安徽六安·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且.
(1)求C；
(2)若G为内一点且，求长度的最大值；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得，
即，得，所以，
又，所以．
（2）如图，设是的中点，因为，
所以，
所以是的中点．
因为，
所以．
由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，所以，得，
所以，即长度的最大值为．

（3）因为，所以，
由正弦定理知
.
又为锐角三角形，所以得，
所以，所以，
所以，
所以，
即的周长的取值范围为．
考点二 解三角形与三角函数的图像与性质综合问题
例1．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由图知：，解得：，；
又，即，则，；
由，得，又，则；
故的解析式为：.
（2）因为，即，又，解得；
所以，则或（舍去）；
在中，由正弦定理知：，故；
；
则，
故的周长为.
例2．（25-26高二上·云南大理·期末）已知函数.
(1)求的最大值以及取得最大值时自变量构成的集合；
(2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为，
所以当时，取到最大值，
此时，解得.
所以取得最大值时，自变量构成的集合.
（2）
因为，可得.
因为，，可得，解得.
由题可知.
设，则，
由正弦定理得，，
即，，解得①.
又，即，
化简得②. 由①②解得，.
所以的面积为.
例3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
令，
解得，即的单调递增区间为．
（2）由（1）可得，则，
因为，所以，则，解得，
由正弦定理，可得，
因为，
所以，
所以．
例4．（2026·陕西渭南·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.
(2)
【详解】（1），
，
所以的最小正周期，
令，，解得，，
所以的最小正周期为，单调递增区间为，.
（2）已知，则，
即；
因为三角形是锐角三角形，所以，则，
在这个区间内，解得，
依据余弦定理，可得，
即，解得或；
当时，，
此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况；
当时，，
此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且，
∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件;
根据三角形面积公式，可得，
所以的面积为.
变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）将函数的图象横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象.
(1)求函数的解析式，并写出的单调递增区间；
(2)已知的内角，，的对边分别为，，，若，，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以将其图象上点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，得.
所以.
由，得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）得，所以.
因为，所以为锐角，所以.
由正弦定理，得，
所以.
易知，
由余弦定理的推论，得，即，.
解得，或（舍去）.
所以.
变式2．（25-26高三上·天津·月考）已知．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题意有：，
所以，
令，解得，
所以的单调递减区间；
（2）由，即，
又，所以，
所以，即，
由余弦定理得：，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的面积的最大值为.
变式3．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，而，则，
由恒成立，得，即，，
因此，解得，而，则，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，，而，解得，
由，解得，
由余弦定理得，
由正弦定理，得．
变式4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称轴：
(2)求函数的单调递减区间；
(3)设的内角的对边分别为且，若，求.
【答案】(1)最小正周期为；对称轴为
(2)
(3)
【详解】（1），
则最小正周期是；
令，解得：，
所以函数的对称轴为
（2）由于；
令，解得：；
所以的单调递减区间为
（3），则，
，，所以，
所以，，因为，由正弦定理得， ①
由余弦定理得，即 ②，
由①②解得：，．
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