2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 077-高考真题集训8 平面解析几何（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 077-高考真题集训8 平面解析几何（教用），共13页。试卷主要包含了［2023·全国甲卷，多选 双曲线C，多选 抛物线C，已知双曲线C，已知A和P为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．［2024·全国甲卷（理）·5，5分］已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）
A. 4B. 3C. 2D. 2
【答案】C
【解析】设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,F1(0,4)，F2(0,−4)，P(−6,4)，则c=4,|PF1|=6，|PF2|=62+(−8)2=10，
由双曲线的定义知2a=|PF2|−|PF1|=10−6=4，所以a=2,
所以双曲线的离心率e=ca=42=2.
2．［2023·全国甲卷（理）·8，5分］已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A. 55B. 255C. 355D. 455
【答案】D
【解析】∵e=1+b2a2=5，∴b2a2=4，
∴ba=2.
易知与圆相交的渐近线方程为y=bax,即y=2x,即2x−y=0.
由已知得，圆心坐标为(2,3)，半径r=1，∴ 圆心到直线2x−y=0的距离d=|2×2−3|22+(−1)2=55，∴|AB|=2r2−d2=2×12−(55)2=455,故选D.
3．［2023·全国甲卷（理）·12，5分］设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26=1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2=35，则|OP|=（ ）
A. 135B. 302C. 145D. 352
【答案】B
【解析】由椭圆方程知a=3,b=6，则c=a2−b2=3.设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a，即m+n=6，所以2mn=36−(m2+n2)①.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得，
|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=cs∠F1PF2,即m2+n2−122mn=35②.将①代入②得m2+n2=21,所以mn=36−212=152.
因为在△F1PF2中，OP为边F1F2上的中线，
所以|OP|2=14(PF1+PF2)2=
14(PF12+2PF1⋅PF2+PF22)=
14(m2+n2+65mn)=
14×(21+65×152)=152,
所以|OP|=302.
4．（2025·全国Ⅱ卷·11，6分）多选 双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M=5π6,则（ ）
A. ∠A1MA2=π6
B. |MA1|=2|MA2|
C. C的离心率为13
D. 当a=2时，四边形NA1MA2的面积为83
【答案】ACD
【解析】不妨设以F1F2为直径的圆与渐近线y=bax交于M,N.易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，A1(−a,0),A2(a,0).
对于A，由|OA1|=|OA2|,|OM|=|ON|，得四边形MA1NA2是平行四边形，
则∠NA1M+∠A1MA2=π ，又∠NA1M=5π6，
所以∠A1MA2=π6，A正确；
对于B，由x2+y2=c2,y=bax,得x1=a,y1=b,x2=−a,y2=−b,
不妨取M(a,b)，
又A1(−a,0),A2(a,0)，所以MA2⊥A1A2，
所以cs∠A1MA2=|MA2||MA1|，
即csπ6=|MA2||MA1|，
所以|MA2|=32|MA1|,B错误；
对于C，在Rt△MA1A2中，∠A1MA2=π6，|MA2|=b，|A1A2|=2a，所以tanπ6=2ab，则ba=23，
所以离心率e=ca=1+(ba)2=1+(23)2=13,C正确；
对于D，当a=2时，由C知ba=23，
所以b=26，
则四边形NA1MA2的面积为2×12|A1A2|⋅|MA2|=22×26=83,D正确.
故选ACD.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·10，6分）多选 抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点.过P作⊙A：x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则（ ）
A. l与⊙A相切
B. 当P，A，B三点共线时，|PQ|=15
C. 当|PB|=2时，PA⊥AB
D. 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】由题意知l的方程为x=−1，A(0,4)，⊙A的半径r=1，
显然圆心A到l的距离d=1=r，故l与⊙A相切，故A正确.
当P,A,B三点共线时，易知P(4,4),
∴|PA|=4,易得|AQ|=1,则|PQ|=|PA|2−|AQ|2=16−1=15,故B正确.
∵|PB|=2,∴P点的横坐标为1，
∴P(1,±2)，
当P的坐标为(1,2)时，B(−1,2),又A(0,4),∴PA=(−1,2),AB=(−1,−2),
∴PA⋅AB=1−4=−3≠0,
当P的坐标为(1,−2)时，B(−1,−2),又A(0,4),∴PA=(−1,6),AB=(−1,−6),∴PA⋅AB=1−36=−35≠0，
综上，PA⋅AB≠0，∴PA与AB不垂直，故C错误.
由题意知抛物线的焦点为F(1,0)，由抛物线的定义知|PB|=|PF|,
若|PA|=|PB|,则|PA|=|PF|，∴P点在线段AF的垂直平分线上，
易得该垂直平分线的方程为y=14x+158，
联立y=14x+158,y2=4x,消去y得4x2−196x+225=0，Δ=(−196)2−4×4×225>0,∴ 该方程有两个根，分别设为x1,x2,则x1+x2=1964>0,x1x2=2254>0,∴ 该方程有两个正根，∴ 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个，故D正确.
6．（2024·新课标Ⅰ卷·11，6分）多选 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于−2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a−2,可得y2=16(x+2)2−(x−2)2(−20)上两点.
（1） 求C的离心率;
（2） 若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.
【解析】
（1） 因为点A(0,3),P(3,32)在椭圆C上，
所以0a2+9b2=1,9a2+94b2=1,
又a>b>0,所以a=23,b=3,
所以c=a2−b2=3，
所以e=ca=12.
（2） 由（1）可知椭圆的方程为x212+y29=1，
由A(0,3),P(3,32)可知|AP|=352，直线AP的斜率kAP=3−320−3=−12，
则直线AP的方程为y=−12x+3.
设点B的坐标为(x0,y0)，点B到直线AP的距离为h，
则h=|x0+2y0−6|5，
易得△ABP的面积为12|AP|⋅h=9，
所以|x0+2y0−6|=12①，
因为点B在椭圆上，所以x0212+y029=1②，
联立①②,解得x0=0,y0=−3或x0=−3,y0=−32.
当x0=0,y0=−3,即B(0,−3)时，直线l的斜率为32+33−0=32，则直线l的方程为y=32x−3，
当x0=−3,y0=−32,即B(−3,−32)时，直线l的斜率为32+323+3=12，则直线l的方程为y=12x.
综上所述，直线l的方程为y=32x−3或y=12x.
11．［2023·全国乙卷（理）·20，12分］已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为53，点A(−2,0)在C上.
（1） 求C的方程；
（2） 过点(−2,3)的直线交C于P,Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
【解析】
（1） 设椭圆C的半焦距为c(c>0),由题意知ca=53,b=2,
又a2=b2+c2,所以a=3,c=5.
故C的方程为y29+x24=1.
（2） 证明：易知直线PQ的斜率存在且小于0，又直线PQ过点(−2,3)，所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,kb>0)的离心率为22，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
（1） 求椭圆E的方程；
（2） 设O为坐标原点，点M(x0,y0)(x0≠0)在椭圆E上，直线x0x+2y0y−4=0与直线y=2,y=−2分别交于点A，B，设△OAM与△OBM的面积分别为S1，S2，比较S1S2与|OA||OB|的大小.
【解析】
（1） 由题意得2a=4，所以a=2,又e=ca=22，所以c=2,则b2=a2−c2=2，
故椭圆E的方程为x24+y22=1.
（2） 联立x0x+2y0y−4=0,x24+y22=1,消去x，得(4−2y0yx0)2+2y2=4，
整理得(2x02+4y02)y2−16y0y+16−4x02=0①，
又x024+y022=1，所以2x02+4y02=8,16−4x02=8y02，
故①式可化简为8y2−16y0y+8y02=0，即(y−y0)2=0，所以y=y0，
所以直线x0x+2y0y−4=0与椭圆相切，M为切点.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
易知，当x1=x2时，y0=0,由对称性可知，S1S2=|AM||BM|=1=|OA||OB|.
当x1≠x2时，不妨设x2