2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 051-高考真题集训6 平面向量与复数（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 051-高考真题集训6 平面向量与复数（教用），共13页。试卷主要包含了［2024·全国甲卷，［2023·全国乙卷等内容，欢迎下载使用。
1．［2024·全国甲卷（文）·1，5分］设z=2i，则zz=（ ）
A. −2B. 2C. −2D. 2
【答案】D
【解析】依题意得，z=−2i，故zz=−2i2=2.故选D.
2．（2024·北京卷·2，4分）若复数z满足zi=−1−i,则z=（ ）
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
【答案】C
【解析】z=i⋅(−1−i)=−i+1=1−i，故选C.
3．［2024·全国甲卷（理）·1,5分］若z=5+i,则i(z+z)=（ ）
A. 10iB. 2iC. 10D. 2
【答案】A
【解析】∵z=5+i,∴z=5−i，∴i(z+z)=10i,故选A.
4．（2024· 新课标Ⅰ卷·2,5分）若zz−1=1+i,则z=（ ）
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
【答案】C
【解析】由已知可得z=(1+i)⋅(z−1)，即z⋅i=1+i，故z=1i+1=1−i，故选C.
5．（2024· 新课标Ⅰ卷·3,5分）已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b−4a),则x=（ ）
A. −2B. −1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】解法一：因为b=(2,x),a=(0,1),所以b−4a=(2,x−4)，所以b⋅(b−4a)=4+x(x−4)=0，即(x−2)2=0，故x=2，故选D.
解法二：因为b⊥(b−4a),所以b⋅(b−4a)=0,即b2=4a⋅b，所以4+x2=4x，即(x−2)2=0，故x=2，故选D.
6．（2023· 新课标Ⅰ卷·2，5分）已知z=1−i2+2i,则z−z=（ ）
A. −iB. iC. 0D. 1
【答案】A
【解析】z=1−i2+2i=(1−i)(2−2i)(2+2i)(2−2i)=−i2,所以z=i2，所以z−z=−i2−i2=−i，故选A.
7．［2023·全国甲卷（文）·2，5分］5(1+i3)(2+i)(2−i)= （ ）
A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i
【答案】C
【解析】5(1+i3)(2+i)(2−i)=5(1−i)4−i2=5(1−i)5=1−i.故选C.
8．［2023·全国乙卷（理）·1，5分］设z=2+i1+i2+i5,则z=（ ）
A. 1−2iB. 1+2iC. 2−iD. 2+i
【答案】B
【解析】z=2+i1+i2+i5=2+ii=1−2i，所以z=1+2i.故选B.
9．［2023·全国甲卷（文）·3，5分］已知向量a=(3,1)，b=(2,2)，则cs⟨a+b，a−b⟩=（ ）
A. 117B. 1717C. 55D. 255
【答案】B
【解析】因为a=(3,1)，b=(2,2)，所以a+b=(5,3),a−b=(1,−1)，所以cs⟨a+b,a−b⟩=5−334×2=1717，故选B.
10．［2023·全国乙卷（文）·6，5分］正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=（ ）
A. 5B. 3C. 25D. 5
【答案】B
【解析】解法一：以E为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
可知D(−1,2)，C(1,2)，故ED=(−1,2)，EC=(1,2)，所以EC⋅ED=1×(−1)+2×2=3.故选B.
解法二：取CD的中点F（图略），
则EC⋅ED=(EF+FC)⋅(EF+FD)=(EF+FC)⋅(EF−FC)=EF2−FC2=|EF|2−|FC|2=22−12=3.故选B.
11．（2024· 新课标Ⅱ卷·3,5分）已知向量a,b满足|a|=1，|a+2b|=2,且(b−2a)⊥b，则|b|=（ ）
A. 12B. 22C. 32D. 1
【答案】B
【解析】∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=4,
即|a|2+4a⋅b+4|b|2=4.①
∵(b−2a)⊥b,∴(b−2a)⋅b=0,
∴|b|2−2a⋅b=0,即2a⋅b=|b|2.
代入①得|a|2+6|b|2=4,
又|a|=1,∴|b|=22.故选B.
12．［2023·全国甲卷（理）·4，5分］已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cs⟨a−c，b−c⟩=（ ）
A. −45B. −25C. 25D. 45
【答案】D
【解析】由题知a+b=−c,∴(a+b)2=(−c)2,∴a2+2a⋅b+b2=c2,将|a|=|b|=1,|c|=2代入，得a⋅b=0，∴⟨a,b⟩=π2.分别以a,b的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则a=(1,0),b=(0,1),则c=−a−b=(−1,−1),则a−c=(2,1)，b−c=(1,2),∴cs⟨a−c,b−c⟩=2×1+1×222+12×12+22=45，故选D.
13．（2024·天津卷·10，5分）已知i是虚数单位，复数(5+i)(5−2i)=_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】7−5i
【解析】(5+i)(5−2i)=5+5i−25i+2=7−5i.
14．（2025·天津卷·10，5分）i为虚数单位，则|3+ii|=_ _ _ _ _ _ .
【答案】10
【解析】3+ii=−i(3+i)i⋅(−i)=1−3i,所以|3+ii|=12+(−3)2=10.
15．（2024·天津卷·14，5分）已知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC.若BE=λBA+μBC，其中λ ，μ 为实数，则λ+μ=_ _ _ _ _ _ ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF⋅DG的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】43； −518
【解析】解法一：由DE=2EC,得CE=13BA，所以BE=BC+CE=13BA+BC，可得λ=13,μ=1，所以λ+μ=43.
由题意可知|BC|=|BA|=1,BA⋅BC=0，
因为F为线段BE上的动点，所以设BF=kBE,k∈[0,1]，
则AF=AB+BF=AB+kBE=(13k−1)BA+kBC，
又因为G为AF的中点，所以DG=DA+AG=−BC+12AF=12(13k−1)BA+(12k−1)BC，
可得AF⋅DG=[(13k−1)BA+kBC]⋅[12(13k−1)BA+(12k−1)BC]=12(13k−1)2+k(12k−1)=59(k−65)2−310，
又因为k∈[0,1]，所以当k=1时，AF⋅DG取得最小值，为−518.
解法二：以B为坐标原点，AB,BC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(−1,0),B(0,0),C(0,1),D(−1,1),E(−13,1)，
易得BA=(−1,0),BC=(0,1),BE=(−13,1)，
又因为BE=λBA+μBC=(−λ,μ)，
所以−λ=−13,μ=1,所以λ=13,μ=1,所以λ+μ=43.
易得BE所在直线的方程为y=−3x,
因为点F在线段BE:y=−3x,x∈[−13,0]上，所以设F(a,−3a),a∈[−13,0]，
又因为G为AF的中点，所以G(a−12,−3a2)，
易得AF=(a+1,−3a),DG=(a+12,−3a2−1)，
则AF⋅DG=(a+1)22+(−3a)(−3a2−1)=5(a+25)2−310，
又a∈[−13,0]，所以当a=−13时，AF⋅DG取得最小值，为−518.