2025-2026学年下学期江苏镇江一中高二数学4月期中测试卷含答案

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1. 双曲线 C:y23−x24=1 ，则双曲线 C 的渐近线方程为( )
A. y=±23x B. y=±233x C. y=±32x D. y=±3x
2. 某地区 7 月 1 日至 7 月 10 日白天的平均气温的折线图如图所示, 则下列判断错误的是 ( )

A. 从 7 月 2 日到 7 月 5 日白天的平均气温呈下降趋势
B. 这 10 天中白天的平均气温大于 26∘C 的有 5 天
C. 这 10 天中白天的平均气温为 26∘C 的频率最大
D. 这 10 天白天的平均气温的极差大于 6∘C
3. 若函数 fx=kx2−lnx 在区间 2,+∞ 上单调递增，则 k 的取值范围为( )
A. 14,+∞ B. 14,+∞ C. 18,+∞ D. 18,+∞
4. 记 2x+12025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025 ,若 fx=a2025+a2024x+⋯+a0x2025 ,则 f2= ( )
A. 1 B. 2 ​2025 C. 4 D. 5 ​2025
5. 若 1,2,3,4,mm∈R 这五个数的平均数等于其中位数,则 m=
A. 0 或 5 B. 0 或 52 C. 5 或 52 D. 0 或 5 或 52
6. 将 4 个不加区分的红球和 2 个不加区分的黄球随机排一行, 则 2 个黄球不相邻的概率为( )
A. 23 B. 25 C. 45 D. 13
7. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,满足 a1=1,nSn=nSn−1+an+1n+1n≥2 ,若 Sm>138 ,则 m 的最小值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 类比排列数 Anr=nn−1n−2⋯n−r+1 ，定义函数 Fxn=xx−1x−2⋯x−n+1 (其中 n∈N∗,x∈R ) ,将右边展开并用符号 fn,k 表示 xk1≤k≤n,k∈N∗ 的系数,得 Fxn=fn,nxn+fn,n−1xn−1+⋯+fn,1x , 以下说法正确的是:( )
A. fn+1,r=fn,r−1−nfn,r
B. fn+1,r=fn,r−1+nfn,r
C. fn+1,r=fn,r−nfn,r−1
D. fn+1,r=fn,r+nfn,r−1
二、多选题
9. 下列各式正确的是( )
A. 已知 C15x+2=C152x−5 ，则 x 的取值为 6 或 7
B. C32+C42+C52+⋯+C20252=C20263−1
C. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
D. 2−x1−x4 的展开式中 x3 的系数为 -14
10. 下列说法正确的有( )
A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 M= "出现奇数点"，事件 N= "出现 3 点或 4 点"，则 M 和 N 相互独立
B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 M= “出现奇数点”，事件 N= “出现 3 点或 4 点”，则 M 和 N 互斥
C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为 0.8 ，乙的中靶率为 0.9 ，则“至少一人中靶”的概率为 0.98
D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么“取出的鞋不成双”的概率是 45
11. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，过点 F 的直线与抛物线交于点 Px1,y1 ， Qx2,y2 ，点 P,Q 在 l 上的射影为 P1,Q2 ,则下列说法正确的是( )
A. 若 x1+x2=6 ，则 PQ=8 B. 以 PF 为直径的圆与 y 轴相切
C. 若 M0,1 ，则 PM+PP1≥2 D. ∠P1FQ1=90∘
三、填空题
12. 现有 7 张卡片,分别写上数字1,2,3,4,5,6,7. 从这 7 张卡片中随机抽取 3 张,所抽取卡片上数字的最小值为 2 的概率是_____.
13. 4 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为_____.
14. 已知函数 fx=xex+1e,x≤0x2−2x,x>0 ，则方程 fx=0 的根为_____. 若函数 y=ffx−a 有三个零点， 则实数 a 的取值范围是_____.
四、解答题
15. 口袋中装有 8 个白球和 10 个红球, 每个球编有不同的号码, 现从中取出 2 个球
(1)正好是白球、红球各一个的取法有多少种?
(2)至少有一个白球的取法有多少种?
(3)两球的颜色相同的取法有多少种?
(注: 结果均用数字作答.)
16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 40 名学生,将其成绩分成六段[40, 50), [50, 60) ...[90, 100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题:
(1)求第四小组的频率 a ；
(2)估计这次考试的中位数(精确到 0.01)；
(3)从成绩是 40∼50 分及 90∼100 分的学生中选两人，记他们的成绩分别为 x,y ，求满足 “ x−y≤10 ”的概率.

17. 已知两个数列 an 与 bn ,满足 a1=0 ,且 an=bn−1,anan+1+1=−2an+1
(1)求证: 1bn 是等差数列.
(2)记 cn=1b2n−122n−1 ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F21,0 ，点 P1,22 在椭圆 C 上.
( 1 )求椭圆 C 的方程；
(2)过坐标原点 O 的两条直线 EF,MN 分别与椭圆 C 交于 E,F,M,N 四点，且直线 OE,OM 斜率之积为 −12 ，求证: 四边形 EMFN 的面积为定值.
19. 已知函数 fx=ex+csx−2,gx=sinx .
( 1 )求证:当 x∈0,+∞ ， gx0
则 G′x=1−csx≥0 ,所以 Gx 在区间 0,+∞ 上单调递增,
所以 Gx>G0=0 ,即 gx0 ,
则 F′x=ex−sinx−1 ,
由 x>0 时, gx−x ,
所以 F′x=ex−sinx−1>ex−x−1 , .4 分
设 ℎx=ex−x−1 ,则 ℎ′x=ex−1 ,
当 x>0 时, ℎ′x>0 ,所以函数 ℎx 在区间 0,+∞ 上单调递增,
故在区间 0,+∞ 上, ℎx>ℎ0=0 ,即在区间 0,+∞ 上, ex>x+1 ,
所以 F′x>ex−x−1>0 ,
所以 Fx 在区间 0,+∞ 上单调递增,
所以 Fx>F0=0 ,即 fx>x , .7 分所以 gx0 在区间 0,+∞ 上恒成立,
设 φx=ex+csx−2+sinx−ax ,则 φx>0 在区间 0,+∞ 上恒成立,
而 φ′x=ex−sinx+csx−a ,
令 mx=φ′x ,则 m′x=ex−csx−sinx ,
由( 1 )知:在区间 0,+∞ 上， ex>x+1>sinx+csx ，
即 m′x=ex−csx−sinx>0 ,所以在区间 0,+∞ 上函数 φ′x 单调递增,
① 当 a≤2 时， φ′0=2−a≥0 ，
故在区间 0,+∞ 上函数 φ′x>0 ，所以函数 φx 在区间 0,+∞ 上单调递增， 又 φ0=0 ,故 φx>0 ,即函数 fx+gx>ax 在区间 0,+∞ 上恒成立; 11 分
② 当 a>2 时， φ′0=2−a ，
φ′lna+2=a+2−sinlna+2+cslna+2−a
=2−2sinlna+2−π4>0 ,
故在区间 0,lna+2 上函数 φ′x 存在零点 x0 ,即 φ′x0=0 ,
又在区间 0,+∞ 上函数 φ′x 单调递增,
故在区间 0,x0 上函数 φ′x