2025-2026学年下学期江苏南通高三数学4月大联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期江苏南通高三数学4月大联考试卷含答案，文件包含解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练原卷版docx、解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上指定位置, 在其他位置作答一律无效。
3. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={−2,1,a},B=−1,a2 ，若 A∪B 中含有 4 个元素，则 a=
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知五个数 x1,x2,x3,x4,x5 的极差为 4,方差为 2,则 2x1,2x2,2x3,2x4,2x5 的
A. 极差为 4 , 方差为 2 B. 极差为 4 , 方差为 4
C. 极差为 8 , 方差为 4 D. 极差为 8 , 方差为 8
3. 已知复数 z 满足 z=21−1z ,则 z=
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
4. 已知 a=b=1,c=3 ,且 a+b+c=0 ,则 cs⟨a,c⟩=
A. 22 B. 32 C. −22 D. −32
5. 已知圆锥的体积为 83π ，侧面积是底面积的 3 倍，则其底面圆的半径为
A. 2 B. 2 C. 3 D. 22
6. 若直线 y=ax+a 是曲线 y=ex+1 的一条切线，则 a=
A. -e B. 1e C. e D. e2
7. 已知函数 fx=sinx+θ+csx+2θθ0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 为右顶点, P 是 C 上一点. 若 PF2=PA=12PF1 ,则 C 的离心率为
A. 2 B. 5 C. 6 D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知随机变量 ξ∼N0,1,fx=Pξ≤x ,则
A. f0=0.5 B. fx 是增函数
C. f−x=1−fx D. Pξ≤x=1−2fx
10. 数列 an 的前 n 项和记为 Sn,a1=15 ,且 2an+1+SnSn+1=0,n∈N∗ ,则
A. a2=−155 B. 1Sn 为等差数列
C. S12=−2 D. an 中有最大项也有最小项
11. 已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点， P 是 C 上一点， AB 是圆 D:x2+y−32=1 的一条直径, 则
A. PA≥PF−2 B. △FAB 的面积最大值为 10
C. cs∠AFB 的最小值为 45 D. PA⋅PB≥1
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2x−x5 的展开式中, x4 的系数为_____▲_____.
13. 已知 A,B 两点在函数 fx=4xx>0 的图象上, C,D 两点在函数 gx=2xx>0 的图象上,且 AD 平行于 x 轴, AC 和 BD 平行于 y 轴. 若线段 BD 的长度是线段 AC 长度的 12 倍，则线段 AD 长度为_____▲_____.
14. 记 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sinC−B=2sinA , 2acsB=3bcsA,c=5 ，则 △ABC 的面积为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知数列 an 为正项等比数列,公比 q>1 ,前 n 项和为 Sn,a4+a3−a2−a1=2 .
(1)当 q=3 时，记集合 A=m∈N∗∣Sm0 .
(1)当 a=2 时，求 fx 的极值;
(2)讨论函数 gx=fx+x2−1 的单调性.
17. (15 分)
如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是梯形， AB//CD ， AD⊥CD ， E 为矩形 CC1D1D 两条对角线的交点，且 BE// 平面 AA1D1D .
(1)证明: AB=12CD ；
(2)若 AB=AD=2 ，直线 A1B 与平面 ABE 所成角的正弦值为 105 ，求 AA1 ；
(3)平面 ABE 将该四棱柱分成上、下两部分， 求上、下两部分的体积之比.

18. (17分)
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 23 ，过点 D0,−4 的直线 l 与 E 交于 A,B 两点， M 为 AB 的中点， O 为坐标原点. 设 l 的斜率为 k ，直线 OM 的斜率为 k′ ， kk′=−14 .
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若 △OAB 为直角三角形，求 k 的值；
(3)直线 l 交 x 轴于点 P ，点 A 关于 x 轴的对称点为 C ，直线 BC 交 x 轴于点 Q ， 探究: OP⋅OQ 是否为定值?
19. (17 分)
一盒子中共有 5 个大小质地完全相同的小球, 其中 3 个红球, 2 个黑球. 从盒子中一次随机取出两个球,如果取出的球是黑球,则将它放回盒子中; 如果取出的球是红球,则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入袋中. 重复进行上述操作 n 次后，盒子中黑球的个数记为 Xn .
(1)求恰好 2 次操作后，袋中小球的颜色全部相同的概率；
(2)求随机变量 X2 的分布列;
(3) 证明: EXn154 . 8 分
若 ∠AOB 为直角时,有 OA⋅OB=0 ,即 x1x2+y1y2=0 ,
所以 1+k2x1x2−4kx1+x2+16=0 ,
即 151+k21+4k2−32k21+4k2+4=0 ,解得 k=±19 ,符合; 10 分
若 ∠OAB 或 ∠OBA 为直角时,不妨设 ∠OAB 为直角,
则 kOE⋅k=−1 ,即 y1x1⋅y1+4x1=−1 ,
所以 x12=−y12−4y1 .
又 x124+y12=1 ，联立方程组解得 y1=−23 或 y1=2 (舍去)，
所以 x1=±253 ，
所以 k=y1+4x1=±5 ,符合.
综上, k=±19 或 k=±5 . 12 分
(3)由直线 l 的方程 y=kx−4 ，知 P4k,0 .
因为点 C 为点 A 关于 x 轴的对称点,所以 Cx1,−y1 ,
所以直线 BC 的方程为 y+y1y2+y1=x−x1x2−x1 ,
令 y=0 ,得点 Q 的横坐标为 xQ=x1y2+x2y1y1+y2 , 14 分
因为 y1=kx1−4,y2=kx2−4 , 所以 xQ=2kx1x2−4x1+x2kx1+x2−8=120k1+4k2−128k1+4k232k21+4k2−8=−k ,
所以 OP⋅OQ=4k⋅−k=4 为定值. 17 分
19. (17 分)
(1)设“恰好 2 次操作后袋中球的颜色全部相同”为事件 A ，根据操作的规定，
事件 A 发生即 “恰好 2 次操作后袋中 5 个球的颜色都为黑色”, 2 次操作,
其中 1 次取出 1 红 1 黑，另一次取出 2 红. 2 分
所以 PA=C31C21C52×C22C52+C32C52×C41C52=950 . 4 分
(2)操作 2 次后， X2 的可能取值为2,3,4,5， 5 分
PX2=2=C22C52×C22C52=1100, 6 分
PX2=3=C31C21C52×C32C52+C22C52×C31C21C52=24100, 7 分
PX2=4=C32C52×C42C52+C22C52×C32C52+C31C21C52×C21C31C52=57100, 8 分
PX2=5=C32C52×C11C41C52+C31C21C52×C22C52=18100, 9 分
所以 X2 的分布列为
10 分
(2)记执行上述操作 n 次后，盒子中黑球的个数为 Xn ，
设 PXn=k=pk,k=2,3,4,5 ,
则 p2+p3+p4+p5=1,EXn=2p2+3p3+4p4+5p5 , 11 分
则 PXn+1=2=C22C52p2=110p2 ,
PXn+1=3=C31C21C52p2+C32C52p3=610p2+310p3,
PXn+1=4=C32C52p2+C21C31C52p3+C42C52p4=310p2+610p3+610p4,
PXn+1=5=C22C52p3+C11C41C52p4+C52C52p5=110p3+410p4+p5,
13 分
所以,
EXn+1=15p2+95p2+910p3+65p2+125p3+125p4+12p3+2p4+5p5
=65p2+95p3+125p4+3p5+2p2+p3+p4+p5
=352p2+3p3+4p4+5p5+2p2+p3+p4+p5
=35EXn+2,
15 分
所以 EXn+1−5=35EXn−5 ,
又 EX1=2×C22C52+3×C21C31C52+4×C32C52=165 ,
所以 EX1−5=−95≠0 ,
所以 EXn−5 是以 −95 为首项, 35 为公比的等比数列,
所以 EXn−5=−95×35n−1 ,
所以 EXn=5−95×35n−1