湖南省部分重点高中2025-2026学年高一下学期4月阶段检测试题 数学（含解析）

这是一份湖南省部分重点高中2025-2026学年高一下学期4月阶段检测试题 数学（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 5C. 3D.
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在平行四边形中，是上靠近点D的三等分点，F，G分别是，的中点，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形
7. 湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
8. 若直线与函数的图象从左至右交于点A，B，直线与的图象从左至右交于点M，N，则当t变化时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 不等式对一切实数x恒成立的充要条件是
C. 函数在区间上存在零点
D. 若，，，则的最小值为4
10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ）
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为
11. 已知点O为所在平面内一点，满足（其中），则（ ）
A. 当时，直线过边的中点
B. 当，时，与的面积之比为
C. 若，且，则
D. 若，且，则，满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：____________．
13. 已知两个非零向量和，若，则实数______．
14. 在中，，，则实数的最小值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数k的值．
16. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点．

（1）设和交于点G，求的值；
（2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围．
17. 在中，内角所对的边分别是，且，．
（1）求角；
（2）若，平分交于点，求的长；
（3）在第（2）问的条件下，若点为边的中点，求的值．
18. 已知函数，定义域为．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量．
（1）若复向量，求；
（2）若复向量，且与平行，求z；
（3）若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
1. 【答案】A
【详解】由题知集合分别表示函数的定义域与值域，
所以，，
所以
2. 【答案】B
【详解】由复数，可得，则
3. 【答案】B
【详解】，，故.
4. 【答案】B
【详解】.
5. 【答案】C
【详解】在平行四边形中，，，因此.
已知是上靠近的三等分点，因此；
是中点，是中点，则.
.
，其中方向与相反，长度为的一半，
则，
所以.
6. 【答案】D
【详解】，化简得.
根据正弦定理得，.
因为在中，进而，故.
因为，所以，进而，解得.
所以为直角三角形.
7. 【答案】A
【详解】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点：
根据速度和路程关系，可得：球员从出发走的路程，
足球从向运动后剩余的路程.
在中，已知，，
由余弦定理：，
可得
则，解得或，
所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒.
8. 【答案】B
【详解】当时，，所以A，B分别与M，N重合，因此，
所以式子没有意义，因此不符合题意，
，
当时，函数图象如下图所示：
当时，函数图象如下图所示：
因此，
由直线与函数的图象从左至右交于点A，B，
设，显然有，
于是有，
即，且，
因为直线与的图象从左至右交于点M，N，
所以设，显然有，
于是有，
即，且，
因为，
所以，
因为，
所以，即，
所以的取值范围为.
9. 【答案】ACD
【详解】对于A，由函数的定义域为，
令，得，则函数的定义域为，故A正确；
对于B，由对一切实数x恒成立，
则，解得，
所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，故B错误；
对于C，因为函数在上连续，且，
则，根据零点存在性定理，
函数在区间上存在零点，故C正确；
对于D，由，，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为4，故D正确.
10. 【答案】AD
【详解】由图可得，解得，
且有，则，即，
则，解得，
又，则，故；
对A：由上知，，故A正确；
对B：令，则，
则或，
即或，
则或，故B错误；
对C：当时，，
由不是函数的对称轴，
故不是函数的对称轴，故C错误；
对D：当时，，
令，
由B得，或，
由函数在区间上至少有10个零点，
则，解得，
故实数t的最小值为，故D正确.
11. 【答案】AC
【详解】对于A，设的中点为，当时，，
即三点共线，直线过边的中点，A正确；
对于B，如图，延长至点，使，延长至点，使，
连接，设线段的中点为，连接并延长至点，使，
连接，则四边形是平行四边形，
所以，又时，，
所以，即三点共线，且，
根据同底等高三角形面积相等，则，
即与的面积之比为，B错误；
对于C，由于，且时，，
故点为的外心和重心，故为等边三角形，则，
由可得，
故，C正确；
对于D，因为，且，
由，得，
所以，即，D错误．
12. 【答案】
【详解】解：
．
13. 【答案】
【详解】由，得，则，
而向量和均为非零向量，因此，
所以.
14. 【答案】##
【详解】在中，，可得.
两边平方得：，又.
所以，即.
所以，所以.
由，根据正弦定理可得，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故实数的最小值为.
15. 【答案】（1）
（2）
（1）由，得，
即，则，
所以，则，
又，则.
（2）由，得，
则，
即，解得.
16.
【答案】（1）2； （2）.
（1）在直角梯形中，，，，，连接，
则，四边形为平行四边形，，，
以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，

则，令，则，
，由在上，得，
因此，解得，即，则，
所以的值为2.
（2）由（1）得，由点F在边上，设，
则，，而，
因此，
所以的取值范围为.
17. 【答案】（1） （2） （3）
（1）
解：因为，所以，
又，
所以，即，
因为，所以，即，
因为，所以
（2）
解：因为，，
所以，由余弦定理得，即
因为，
所以，解得，
因为平分交于点，
所以，即
所以，即.
（3）
解：因为点为边的中点，所以，
所以
，
由（2）知，，，
所以，
所以，即
18. 【答案】（1）; （2） （3）
（1）
由
，
从而函数的最小正周期.
（2）
由，即，则，
令，，则，
则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图
，解得，即实数a的取值范围；
（3）
将函数的图象向右平移个单位长度
得
函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
得
当，则，可得，
从而；
当，则，可得，
从而，
当，，
当，，
由对任意的，总存在，使得成立，
则或
解得或，
实数m的取值范围为．
19.
【答案】（1）
（2）
（3）是定值且该定值为，理由见解析
（1）
由题意得；
（2）
设，
则，
得，
又，
，
若与平行，则，即，
整理得，所以，，
所以；
（3）
设与的夹角为，则
，
由题意知，
，，
所以，所以，
因为，所以，
即是定值，且该定值为．