【数学】湖南部分学校2025-2026学年高一下学期4月学情测试试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】湖南部分学校2025-2026学年高一下学期4月学情测试试题（学生版+解析版），共2页。试卷主要包含了 下列几何体中是十面体的是， 方程的复数根为， 已知集合，且，则的取值集合为， 已知复数满足，则， 已知，，均为单位向量，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列几何体中是十面体的是（ ）
A. 七棱锥B. 八棱锥C. 七棱柱D. 八棱台
【答案】D
【解析】七棱锥是八面体，八棱锥､七棱柱均是九面体，八棱台是十面体.
故选项D正确.
2. 方程的复数根为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】方程的复数根为
.
3. 已知非零向量的夹角为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题设，得，
因为，所以，
故“”是“”的必要不充分条件.
4. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，所以.
5. 已知集合，且，则的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
当时，.
当时，，则，得或.
故的取值集合为.
6. （ ）
A. B. C. -1D. 1
【答案】A
【解析】
.
7. 已知的内角的对边分别为的外接圆半径为，且，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 无法确定的
【答案】C
【解析】由正弦定理得，得，
得，且为锐角.
由，得，得.
当时，由，得，得，得.
当时，，由，
得，得.
综上，的形状是钝角三角形.
8. 如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】设为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，
则四边形OEBD为正方形，
设，在中, ，
即，解得，则，
，
当且仅当与重合时等号成立，所以的最小值为.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 的虚部为
B. 的共轭复数为
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】AC
【解析】由，得，
所以的虚部为的共轭复数为，A正确，B错误；
，则为纯虚数，
在复平面内对应的点位于第一象限，C正确，D错误.
10. 已知，，均为单位向量，则（ ）
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A：，则，A正确.
对于B：由，得，所以.
所以，因为，所以，B错误.
对于C：向量在向量上的投影向量为
，C正确.
对于D：设，
当时，取得最小值，为，D错误.
11. 已知函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之积不大于1（若的图象与的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称与是一组“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】ACD
【解析】对于A，由，得，
令，易得是增函数，
且，
所以只有一个零点，且，A符合题意；
对于B，的图象如图1所示，
由图可知的图象与的图象有2个交点，
设这2个交点的横坐标为.
因为，
所以，得，B不符合题意；
对于C，易得与均为偶函数，的图象如图2所示，
由图可知的图象与的图象有4个交点，
这4个交点的横坐标从小到大依次为，易得，
所以，从而，C符合题意；
对于D，的定义域为，的定义域为，在上均单调递减，
的图象如图3所示，由图可知的图象与的图象有2个交点，
设这2个交点的横坐标为.
由，得，得.
因为，所以，即，D符合题意.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若点，，，且三点共线，则______.
【答案】
【解析】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，
使，即：，解得：，所以.
13. 已知复数满足，则__________.
【答案】2
【解析】设，且，
所以，
所以，得，所以.
14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里．
【答案】
【解析】如图所示，，，
，．
在中，由，又海里，
所以，解得（海里），
在中，由余弦定理可得，
又海里，
则（海里）．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的面积；
（2）若，求的周长.
解：（1）因为，所以.
因为，所以的面积为.
（2）（方法一）由，得或，
由余弦定理，得，解得.
故的周长为.
（方法二）由余弦定理，
得，解得.
故的周长为.
16. 已知函数，且.
（1）求图象经过的定点坐标；
（2）若的定义域为，求不等式的解集.
解：（1）令，得或2，得，
所以图象经过的定点坐标为.
（2）由题意得在上恒成立，则，得.
因为函数是增函数，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
又，
所以或，得或.
故不等式的解集为.
17. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度，得到奇函数的图象.
（1）求；
（2）若在上的单调递减区间为闭区间，求在上的值域.
解：（1）由题意得.
因为是奇函数，所以，得.
又，所以.
（2）由(1)知，
由，得，
所以在上的单调递减区间为.
，由，得.
得，所以在上的值域为.
18. 在梯形中，，设.
（1）用表示；
（2）若，且，求的值；
（3）已知，且的最小值为，求的最大值.
解：（1）.
.
（2）（方法一），
，得.
（方法二）如图，过点作，垂足为.
由，得，则.
易证四边形是矩形，则
建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，
得.
因为，所以.
故.
（3）由（2）可知，则，
.
，当时，取得最小值，
且最小值.
令，由，得，
则，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为1.
19. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求.
（2）已知为边上的一点，且.
（i）求；
（ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值.
解：（1）由正弦定理得，
得
则.由，得，
所以，则.
因为，所以.
（2）（i）在中，由正弦定理得，；
在中，由正弦定理得，
，
因为，所以.
故.
（ii）由余弦定理，得
结合，得.
如图，作（点在的下方），，垂足为，
过点作，垂足为.
，
则.
故的最小值为.