三明市2025-2026学年高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份三明市2025-2026学年高三第二次调研数学试卷（含答案解析），共2页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，，若，则，若，则的虚部是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是函数的极大值点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
2．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，，的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
5．已知集合，，若，则（ ）
A．4B．－4C．8D．－8
6．已知的展开式中的常数项为8，则实数（ ）
A．2B．-2C．-3D．3
7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）
A．800B．1000C．1200D．1600
8．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．若，则的虚部是
A．3B．C．D．
10．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．集合的子集的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．8
12．已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．
C．2D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.
14．数列满足，则，_____.若存在n∈N*使得成立，则实数λ的最小值为______
15．函数在处的切线方程是____________.
16．已知向量，且向量与的夹角为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.
18．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
19．（12分）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.
20．（12分）已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.
22．（10分）已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
方法一：令，则，，
当，时，，单调递减，
∴时，，，且，
∴，即在上单调递增，
时，，，且，
∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，∴时，，所以，
这与是函数的极大值点矛盾．
综上，．故选B．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．
2．B
【解析】
首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”， 记事件“恰好不同时包含字母，，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），
则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”
记事件“恰好不同时包含字母，，”为，则.
故选：B
本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．
3．D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
4．A
【解析】
根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.
【详解】
已知与的图象有一个横坐标为的交点，
则，
，
，，
，
若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则，
所以当时，，
在有且仅有5个零点，
，
.
故选：A.
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.
5．B
【解析】
根据交集的定义，，可知，代入计算即可求出.
【详解】
由，可知，
又因为，
所以时，，
解得.
故选：B.
本题考查交集的概念，属于基础题.
6．A
【解析】
先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为
展开式的常数项，从而求出的值.
【详解】
展开式的通项为，
当取2时，常数项为，
当取时，常数项为
由题知，则.
故选：A.
本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题.
7．B
【解析】
由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.
【详解】
由频率和为1，得，解得，
所以成绩在内的频率，
所以成绩在内的学生人数.
故选：B
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.
8．A
【解析】
=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.
9．B
【解析】
因为，所以的虚部是.故选B．
10．B
【解析】
考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.
【详解】
因为的图象上关于原点对称的点有2对，
所以时，有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的零点.
又，
当时，，故在上为增函数，
在上至多一个零点，舍.
当时，
若，则，在上为增函数；
若，则，在上为减函数；
故，
因为有两个不同的零点，所以，解得.
又当时，且，故在上存在一个零点.
又，其中.
令，则，
当时，，故为减函数，
所以即.
因为，所以在上也存在一个零点.
综上，当时，有两个不同的零点.
故选：B.
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.
11．D
【解析】
先确定集合中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意，有三个元素，其子集有8个．
故选：D．
本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．
12．B
【解析】
设直线的方程为代入抛物线方程，利用韦达定理可得,,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果.
【详解】
设，（，）.易知直线l的斜率存在且不为0，设为，则直线l的方程为.与抛物线方程联立得，所以，.因为，所以，得，所以，即，，所以.
故选:B.
本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．21 3892
【解析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.
【详解】
如图所示：
正四棱锥P-A BCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，
截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
，
故答案为：21；3892.
本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.
14．
【解析】
利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】
当时
两式相减得
所以
当时，满足上式
综上所述
存在使得成立的充要条件为存在使得，
设，所以，即，
所以单调递增，的最小项，即有的最小值为.
故答案为：(1). (2).
本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题.
15．
【解析】
求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
，则，，.
因此，函数在处的切线方程是，
即.
故答案为：.
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
16．1
【解析】
根据向量数量积的定义求解即可．
【详解】
解：∵向量，且向量与的夹角为，
∴||；
所以：•（）2cs2﹣2＝1，
故答案为：1．
本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；
（2）由E是PA的中点，，求出S△ABD，即可求解.
【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O，E分别是AC，PA的中点，
∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，
又∵OE平面PBC，PC平面PBC，
∴OE∥平面PBC；
（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴S△ABD，
∴三棱锥E﹣PBD的体积
.
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
18．（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.
【解析】
（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；
（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点的坐标为，
又，
则直线的方程为，
由此得直线与坐标轴交点为：，
则，故，
设，则.
令，解得=10.
当时，是减函数；
当时，是增函数.
所以当时，函数有极小值，也是最小值，
所以， 此时.
故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
（2） 在中，，,
所以，
所以，
根据正弦定理
,
，
，
，
又，
所以.
在中，，，
由勾股定理可得，
即，
解得，（千米）.
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.
19．（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；
（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
当时，，单调递增；
时，令得，时，，递减，时，，递增，
综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．
（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．
当时，，，
从而只需时，恒成立，即，
令，，在上递减，在上递增，
∴，从而．
时，，，
令，由，知在递减，在上递增，，∴．
综上所述，的取值范围是．
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．
20．（1）；（2）
【解析】
（1）由,可求出的值,进而可求得的解析式;
（2）分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.
【详解】
（1）因为,所以,
解得,
故.
（2）因为,所以,所以，则,
图象的对称轴是.
因为,所以,
则,解得,故的取值范围是.
本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
21．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）不等式等价于，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.
（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.
【详解】
（1）设，则，
当时，由，所以在上是减函数，
所以，故.
因为，所以，所以当时，.
（2）由（1）当时，；
任意，存在和使成立，
所以在上有两个不同零点，且，
（1）当时，在上为减函数，不合题意；
（2）当时，，
由题意知在上不单调，
所以，即，
当时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，解得，
因为，所以成立，
下面证明存在，使得，
取，先证明，即证，
令，则在时恒成立，
所以成立，
因为，
所以时命题成立.
因为，所以.
故实数的最小值为.
本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.
22． (Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．
【详解】
(Ⅰ) 的定义域为且
令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减
函数的极大值为，无极小值
(Ⅱ)，
，即
由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减
且，则
要证，即证，即证，即证
即证
由于，即，即证
令
则
恒成立 在递增
在恒成立
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．