衢州市2026年高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份衢州市2026年高三第二次调研数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了已知集合,，则，设集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列的通项公式是，则（ ）
A．0B．55C．66D．78
2．设全集，集合，.则集合等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知是的共轭复数,则（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合,，则
A．B．
C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )
A．平方尺B．平方尺
C．平方尺D．平方尺
8．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．若，则下列关系式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
12．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为______.
14．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.
15．直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________
16．已知全集，集合，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（1）当时，求与的交点的极坐标；
（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.
19．（12分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围
20．（12分）设等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和及使得最小的的值.
21．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
22．（10分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若，求证：对于任意，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
先分为奇数和偶数两种情况计算出的值，可进一步得到数列的通项公式，然后代入转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.
【详解】
解：由题意得，当为奇数时，，
当为偶数时，
所以当为奇数时，；当为偶数时，，
所以






故选：D
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
2．A
【解析】
先算出集合，再与集合B求交集即可.
【详解】
因为或.所以，又因为.
所以.
故选：A.
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
3．A
【解析】
先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
4．C
【解析】
在等比数列中，由即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列中，且公比为2，故
故选：C
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
5．D
【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.
6．D
【解析】
因为,,所以,,故选D．
7．A
【解析】
根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.
【详解】
由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积，
故选：A．
本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.
8．D
【解析】
利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.
【详解】
由抛物线焦点在轴上，准线方程，
则点到焦点的距离为，则，
所以抛物线方程：，
设，圆，圆心为，半径为1，
则，
当时，取得最小值，最小值为，
故选D.
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.
9．A
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，又，所以.
故选：A.
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
10．A
【解析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
【详解】
因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。
由有，，解得，所以，
，故选A。
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。
11．D
【解析】
a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.
【详解】
令，，
作出图象如图，
由，的图象可知，
，，②正确；
，，有，①正确；
，，有，③正确；
，，有，④正确.
故选：D.
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
12．A
【解析】
因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.
【详解】
定义在上的函数的周期为4
，
当时，，
，，
.
故选：A.
本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】
对函数有意义，
即.
故答案为：
本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
14．
【解析】
求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.
【详解】
，椭圆的方程为，
的离心率为：，
双曲线方程为，
的离心率：，
与的离心率之积为，
，
，
的渐近线方程为：，即.
故答案为：
本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.
15．
【解析】
根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，设，
由与相似，可得，解得，
再由与相似，可得，解得，
由三角形的面积公式，可得的面积为.
故答案为：.

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
16．
【解析】
根据题意可得出，然后进行补集的运算即可．
【详解】
根据题意知，，
，，
．
故答案为：．
本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.
（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.
【详解】
（Ⅰ） ，
令，，
（1）当，即时，，，在上单调递增；
（2）当，即时，设的两根为（），
，
①若，，时，，
所以在和上单调递增，
时，，所以在上单调递减，
②若，，时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时， 在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）不妨设，要证，
即证，
即证，
由（Ⅰ）可知，，，可得，
，
所以有，
令，
，
所以在单调递增， 所以，
因为，所以，所以.
本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.
18．（1），；（2）
【解析】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），再对分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.
【详解】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），
当时，联立解得交点，
当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）
当时，无交点；
综上，曲线与直线的点极坐标为，，
（2）把直线的参数方程代入曲线，得，
可知，，
所以.
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
19．（1）（2）
【解析】
（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；
（2）只需找到的最小值即可.
【详解】
（1）由.
若时，，解得；
若时，，解得；
若时，，解得；
故不等式的解集为.
（2）由，有，得，
故实数的取值范围为.
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.
20．（1）（2）；时，取得最小值
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.
（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由及，
得
解得
数列的通项公式为
（2）由（1）知
时，取得最小值.
本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，即可：
（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.
【详解】
（1）∵底面为菱形，
∵直棱柱平面.
∵平面.
.
平面；
（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点，
设平面的法向量为，
，
有，令，
得
又，
设直线与平面所成的角为，
所以
故直线与平面所成的角的正弦值为.
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
22．（Ⅰ），（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得
，
构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.
【详解】
解：（1）
由于直线的斜率为，且过点，
故即解得，.
（2）由（1）知，
所以.
考虑函数，，
则.
而，故当时，，
所以，即.
本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.