2025-2026学年浙江省衢州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年浙江省衢州市高二（上）期末数学试卷（含解析）
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量满足，，，则（ ）
A．B．2C．D．4
5．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）C．（2）D．（1）
7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）过抛物线焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．当的倾斜角为时，
C．当垂直于轴时，弦长最小
D．
（多选）10．（6分）若函数，则（ ）
A．只有一个零点B．为的极大值点
C．当时，D．当时，
（多选）11．（6分）已知数列，满足，，，为数列的前项和，则（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列满足，，，则 ．
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则 ．
14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线，圆．
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值．
16．（15分）如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）已知数列的前项和为．
（1）若，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）数列满足，，求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，求证：．
18．（17分）设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若有解，求实数的取值范围．
19．（17分）已知抛物线，过点的直线交于，，，两点，点在线段上．
（1）求证：；
（2）若点不在直线上，斜率为的直线分别交直线，，于，，三点，
（ⅰ）求证：点为线段的中点；
（ⅱ）当直线经过点时，记△的面积为，△的面积为，求的最大值．
参考答案
一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，直线，即，其斜率，
其倾斜角为；
故选：．
2．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
解：因为是等差数列，
所以，
所以．
故选：．
3．函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
解：因为，所以，
所以在点处的切线方程为，即．
故选：．
4．已知向量满足，，，则（ ）
A．B．2C．D．4
解：根据题意可知，，
由得，，得，则，
得．
故选：．
5．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
解：因为，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，
所以，
所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，设其方程为，，
所以，
因为，为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上，
设其方程为，，，，则，
将代入方程得，
因为，所以，解得，
故椭圆方程为．
故选：．
6．已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）C．（2）D．（1）
解：令，当时，，
所以，在单调递增，
定义域为，，，
且，所以是偶函数，
对于、：因为（1）（2），即，所以（1）（2），、错误；
对于：因为（1）（2），即，所以（2），正确；
对于：因为（1）（2），即，所以（1），错误．
故选：．
7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（ ）
A．B．C．D．
解：数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，
，整理得，
对，，
对于、，由指数函数性质可知，，单调递减，
当时，，故、均错误；
对于、，当时，，
，
，故错误，正确．
故选：．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解：因为双曲线的左右焦点分别为，，且为双曲线右支上一点，
设，，所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为△的周长为，且△的内切圆半径为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为双曲线的离心率为，所以．
故选：．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）过抛物线焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．当的倾斜角为时，
C．当垂直于轴时，弦长最小
D．
解：对于选项：因为抛物线，所以焦点，准线方程为，故选项正确；
对于选项：如图根据抛物线的定义可知：，，
由，故选项正确；
对于选项：设，则，
同理可得：，
所以，
此时取到最小值，故选项正确；
对于选项，故选项错误．
故选：．
（多选）10．（6分）若函数，则（ ）
A．只有一个零点B．为的极大值点
C．当时，D．当时，
解：由可得或，
故函数有两个零点，因此选项错误；
，
由可得，由可得或，
因此函数的减区间为、，增区间为，
故为函数的极大值点，因此选项正确；
当时，，，则，因此选项正确；
因为函数在上单调递减，
且当时，，因为，由不等式的性质可得，即，
故，因此选项错误．
故选：．
（多选）11．（6分）已知数列，满足，，，为数列的前项和，则（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．
解：选项，因为，，，
所以，即，，，
所以，，即，故正确；
选项，由可得，
即，则，又，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，故正确；
选项，由选项可知，则，
因为，所以，
令，则，所以，故错误；
选项，，因为，
所以，
由，，
可得，
则
，
，
所以，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列满足，，，则 0 ．
解：因为，，
所以，，，．
所以数列是周期为2的周期数列，
所以．
故答案为：0．
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则 ．
解：因为椭圆，可得，得，
由椭圆的定义可得则，而，得，
则点为椭圆的短轴的一个端点，不妨设点为上顶点，
即，
则直线的方程为：，
即，
由，整理可得，
得或，
得．
故答案为：．
14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为， ．
解：不等式恒成立，
则，，令，
则，
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，
当时，取得极大值也是最大值，又时，，时，，
所以，，
又，
所以原不等式可化为，
令，
则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又（1），所以要使对任意成立，则区间不能取得使的值，
由函数性质可知当时会出现负值，故须满足，解得，又，所以，
即实数的取值范围为，，
故答案为：，．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线，圆．
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值．
【解答】（1）证明：将直线；可化为，
联立，解得，
所以直线过定点；
（2）解：将圆整理可得：，
可知圆心为，半径为．
直线的斜率为，
设定点为，，点在圆内，
当直线过圆心时，弦长最长，即弦长的最大值为，
此时直线的斜率，所以，
当直线时，此时圆心到直线的距离，
此时弦长最短，且最小值为，
此时直线的斜率，所以，
故弦长的取值范围为，
时弦长最大，时弦长最小．
16．（15分）如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取中点，连接，，
，，，
又，，平面
直线平面，平面，
；
（2）解：，，
，且，
又，，
又，，，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，
设平面的法向量，
则，即，令，
解得平面的一个法向量，
可得，，，
直线与平面所成角的正弦值为，．
直线与平面所成角的正弦值为．
17．（15分）已知数列的前项和为．
（1）若，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）数列满足，，求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，求证：．
解：（1）（ⅰ）因为，所以令，，解得，
当，，所以，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；
（ⅱ）因为，所以
，
所以；
（2）证明：因为，
所以数列是常数列，所以，，
所以，
则，
因为，故．
18．（17分）设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若有解，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，其定义域为，求导得，
令，求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，则（1），
所以在上单调递增，无减区间．
（2）依题意，，
由（1）得在上单调递减，在上单调递增，（1），
当，时，，则当有两个零点时，（1），解得，
所以实数的取值范围是．
（3）不等式有解，
即有解，令，
求导得，
由，得；由，得
函数在上单调递增，在上单调递减，则（3），
因此，解得，
所以实数的取值范围是，．
19．（17分）已知抛物线，过点的直线交于，，，两点，点在线段上．
（1）求证：；
（2）若点不在直线上，斜率为的直线分别交直线，，于，，三点，
（ⅰ）求证：点为线段的中点；
（ⅱ）当直线经过点时，记△的面积为，△的面积为，求的最大值．
【解答】（1）证明：设直线方程为，
联立，
则，
故；
（2）证明：设，，，，
由（1）可得：，
即．
（ⅰ）设直线，由，
则，，
则，由，则，
同理，
则，
所以点为线段的中点．
（ⅱ）解：联立直线与抛物线方程得：，
当与相切时，满足，
即，解得，
又因为直线与抛物线相交，所以交点介于临界状态切点之间，
所以，
又因为直线过点时，，
则，
因为，则．
，
令，则，
当时取等，故的最大值为．