2025-2026学年浙江省衢州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年浙江省衢州市高一（上）期末数学试卷（含解析），共28页。
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．幂函数过点，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．0C．D．1
7．定义在，上的函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．，D．
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．是其图象的对称中心D．是其图象的对称轴
（多选）10．（6分）已知实数，满足：，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（6分）已知函数，若方程有两个不相等的正实数根，，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．，，都有
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 ．
13．碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米秒）与队内选手的平均划桨速度（次分钟）之间满足函数关系：（米秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行 米．
14．已知函数是定义在，上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，它的终边与单位圆相交于点，且，满足．
（1）求；
（2）求的值．
16．（15分）已知函数，为任意实数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，求函数的最小值．
17．（15分）已知函数．
（1）求函数的最大值及此时的取值集合；
（2）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象．
求的解析式；
若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．
18．（17分）已知函数，为实数），函数，若方程有三个不同的实数解，，，且满足．
（1）求不等式的解集；
（2）求实数的取值范围．
19．（17分）设集合M（a，b）＝{f（x）|存在实数a，b，使得定义域内任意x都有f（2a﹣x）•f（x）＝b}．
（1）当f（x）＝2x，证明：f（x）∈M（0，1）
（2）若y＝f（x）的定义域为R，且f（x）∈M（0，1），当x≤0时，，方程f（x）＝2026是否存在整数解？若存在，求出该解；若不存在，说明理由；
（3）已知函数g（x）定义在[2﹣e2，e2]上，g（x）∈M（1，4），且g（x）恒大于0，当x∈（1，e2]时，g（x）＝﹣（lnx）2+mlnx+2，若g（x）＞1在[2﹣e2，e2]上恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
解：，，
．
故选：．
2．幂函数过点，则（ ）
A．B．C．1D．2
解：过点，
，解得．
故选：．
3．已知是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由，可得或，
当时，成立，即充分性成立；
当时，不一定成立，即必要性不成立．
故选：．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，，
，
，所以
故选：．
5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，函数在上单调递增，
则，解得，即实数的取值范围为．
故选：．
6．已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．0C．D．1
解：由，，，可得，解得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又由，所以的最大值为．
故选：．
7．定义在，上的函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．，D．
解：因为的定义域为，，关于原点对称，
，所以函数为奇函数，
又由为递增函数，
则，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：．
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
解：根据，可得，
即，化简得，
因为，，所以，，
等式两边同时除以，可得，即，
所以，
根据，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，取得最小值为．
故选：．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．是其图象的对称中心D．是其图象的对称轴
解：根据题意，由二倍角公式，，
依次分析选项：
对于，，故正确；
对于，，其定义域为，有，是奇函数，故正确；
对于，，，
则有，则点，是其图象的对称中心，故正确；
对于，，所以不是图象的对称轴，故错误．
故选：．
（多选）10．（6分）已知实数，满足：，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】接：设函数，，
作出函数图象如下，
设，
当时，直线与函数，的图象交点的横坐标为，，
由函数图象可知，，则，，，所以，
故，正确，，错误；
当时，直线与函数，的图象交点的横坐标为，，
由函数图象可知，，则，，，所以，
故，，，错误；
综上可得正确．
故选：．
（多选）11．（6分）已知函数，若方程有两个不相等的正实数根，，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．，，都有
D．
解：由题意可知函数定义域为，
且
，
所以函数是奇函数，故错误；
当时，，
因为与单调递增，
且单调递减，
可得在，上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为奇函数，
可得在，上单调递增，在，上单调递减，
则函数在，上单调递增，
所以，，都有，故正确；
又因为，（2），且，
当时，，
所以函数，，
所以，故正确；
画出函数的图象，如图所示：
不妨设，
当时，；
当时，有，
所以，
即，
因为，所以，
可得，
又因为，
在上单调递增，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，故不能取等号，
所以以，所以正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 ．
解：根据，可得，
所以，可得．
故答案为：．
13．碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米秒）与队内选手的平均划桨速度（次分钟）之间满足函数关系：（米秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行 12 米．
解：设甲队龙舟的平均行进速度（米秒），乙队龙舟的平均行进速度（米秒），
则，，又，
则
（米秒），
所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米．
故答案为：12．
14．已知函数是定义在，上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
解：根据题意，函数是定义在，上的单调函数，函数，且有，
则函数是常数函数，
不妨设，则，则有，
又由函数在，上递增，在，上递减，故在，上的单调递增，
又由，即，易得是该方程唯一的解，
故，易得（1），
若恒成立，则，即的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，它的终边与单位圆相交于点，且，满足．
（1）求；
（2）求的值．
解：（1）根据角的终边与单位圆相交于点，
结合三角函数定的义可得，，
所以，化简得，可得；
（2）由（1）知，
所以．
16．（15分）已知函数，为任意实数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，求函数的最小值．
解：（1）由函数，
恒成立，即，则满足△，
解得，实数的取值范围为，．
（2）由函数，可得其图像开口向上，且对称轴方程为，
①当时，即时，在，单调递增，则；
②当时，即时，在单调递减，在单调递增，
；
③当时，即时，在，单调递减，则（2），
综上：函数的最小值．
17．（15分）已知函数．
（1）求函数的最大值及此时的取值集合；
（2）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象．
求的解析式；
若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．
解：（1）因为，
所以函数的最大值，
令，
即，，
解得，
所以的取值集合为；
（2）因为，
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，
可得；
因为函数在上恰有一个零点，
即方程在上恰有一个解，
即方程在上恰有一个解
设，
因为，可得，
当时，
即时，单调递增；
当时，即时，单调递减，
且，
作出函数与直线的图象，如图所示：
要使得在上恰有一个解，
即函数与的图象在上恰有一个交点，
结合图象，可得的取值范围为．
18．（17分）已知函数，为实数），函数，若方程有三个不同的实数解，，，且满足．
（1）求不等式的解集；
（2）求实数的取值范围．
解：（1）由题可得，
当时，，即，，
故时不等式恒成立；
当时，，故．
综上解集为；
（2）当时，由，
得，解得，
则方程在上最多一个根，
当时，由，
得，
即，
则方程在，上最多两个根，
由题可知，方程有三个不同的实数解，
则方程在上有一个根，在，上有两个根，
设方程在，上的两个根为，，
由韦达定理可得，，
设方程在上的根为，
又因为，
所以，
所以，
所以，
，，
得到△，
所以，
即，，
解得，
则，
故实数的取值范围为．
19．（17分）设集合M（a，b）＝{f（x）|存在实数a，b，使得定义域内任意x都有f（2a﹣x）•f（x）＝b}．
（1）当f（x）＝2x，证明：f（x）∈M（0，1）
（2）若y＝f（x）的定义域为R，且f（x）∈M（0，1），当x≤0时，，方程f（x）＝2026是否存在整数解？若存在，求出该解；若不存在，说明理由；
（3）已知函数g（x）定义在[2﹣e2，e2]上，g（x）∈M（1，4），且g（x）恒大于0，当x∈（1，e2]时，g（x）＝﹣（lnx）2+mlnx+2，若g（x）＞1在[2﹣e2，e2]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）证明：当f（x）＝2x时，f（﹣x）•f（x）＝2﹣x•2x＝1，
所以；
（2）方程f（x）＝2026无整数解，理由如下：
若f（x）∈M（0，1），则f（﹣x）•f（x）＝1，当x＞0时，﹣x＜0，
则，
故．
当x≤0时，y＝2﹣x，y＝x2都是减函数，
所以y＝2﹣x+x2在（﹣∞，0]上单调递减，且2﹣x+x2＞0，
所以y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，
所以f（x）≤f（0）＝1，且f（x）＞0，故0＜f（x）≤1；
当x＞0时，y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）＞f（0），由f（0）＝1，故f（x）＞1，
所以函数y＝f（x）在R上单调递增．
又因为f（10）＝210+102＝1124，f（11）＝211+112＝2169，
所以方程f（x）＝2026无整数解．
（3）由g（x）∈M（1，4）得，g（x）•g（2﹣x）＝4，
①当x＝1时，g（1）•g（1）＝4，而g（x）恒大于0，则g（1）＝2，满足g（1）≥1；
②当x∈（1，e2]时，g（x）＝﹣（lnx）2+mlnx+2，
令lnx＝t∈（0，2]，﹣t2+mt+2≥1恒成立，于是恒成立，
而函数在（0，2]上单调递增，则，当且仅当t＝2时取等号，因此；
③当x∈[2﹣e2，1）时，2﹣x∈（1，e2]，
则，
由g（x）≥1得，0＜﹣[ln（2﹣x）]2+m•ln（2﹣x）+2≤4，
令ln（2﹣x）＝u，则u∈（0，2]，
故0＜﹣u2+m•u+2≤4恒成立，所以，
由在u∈（0，2]上单调递增，得f1（u）≤1，所以m＞1，
由（当且仅当时取等号），
所以，故．
综上，实数m的取值范围是[]．