江苏省南京市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段测数学试卷含解析（word版）

这是一份江苏省南京市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段测数学试卷含解析（word版），共4页。试卷主要包含了 在 △ABC 中, sinA， 下列代数式的值为 14 的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置, 否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知平面向量 a,b ,则 “存在 λ∈R ,使得 a=λb ” 是 “ a//b ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 a=λb 时，可得 a//b ；
当 a≠0,b=0 时,满足 a//b ,但不存在 λ ,使得 a=λb ;
所以 “存在 λ∈R ,使得 a=λb ” 是 “ a//b ” 的充分不必要条件. 故选 B .
2. 已知 csα=13,α∈0,π ,则 sinπ6−α 等于
A. 3−226 B. 3+226 C. 1−266 D. 1+266
【答案】C
【解析】由题意得 sinα=223 ,
所以 sinπ6−α=sinπ6csα−csπ6sinα=12×13−32×223=1−266 ,故选C.
3. 已知平面向量 a,b 的夹角为 2π3 ,且 a=23b ,则 a 在 b 上的投影向量为
A. −3b B. 3b C. −3b D. 3b
【答案】A
【解析】因为 a,b 的夹角为 2π3 ,且 a=23b , 所以 a 在 b 上的投影向量为 acs⟨a,b⟩⋅bb=abcs⟨a,b⟩⋅b=23cs2π3⋅b=−3b . 故选A.
4. 设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 b=2,B=π3,a2+b2−c2=2ab ,则 △ABC 的面积为
A. 3−1 B. 3+1 C. 1−33 D. 1+33
【答案】D
【解析】因为 a2+b2−c2=2ab ,所以由余弦定理可得 2abcsC=2ab ,解得 csC=22 ,因为 C∈0,π , 所以 C=π4,A=π−B−C=5π12 . 又 b=2,B=π3 ,由正弦定理可得 c=bsinCsinB=2×2232=263 , 所以 △ABC 的面积 S=12bcsinA=12×2×263×6+24=1+33 . 故选D.
5. 在 △ABC 中, sinA:sinB:sinC=k:k+2:3k ,则正数 k 的取值范围是
A. 0,23 B. 0,2 C. 23,2 D. 23,+∞
【答案】C
【解析】由正弦定理知 sinA:sinB:sinC=a:b:c ,所以 a:b:c=k:k+2:3k , 根据三角形成立的条件可知 k+k+2>3k,k+2+3k>k,k+3k>k+2, 解得 230 ,
则 tanα+β=21tanα−β+3tanα−β≤223=33 ,
当且仅当 1tanα−β=3tanα−β ,即 tanα−β=33 时取等号. 故选 B.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列代数式的值为 14 的是
A. sin75∘cs75∘
B. cs275∘−sin275∘
C. tan15∘1+tan215∘
D. 4sin10∘sin50∘sin70∘
【答案】 AC
【解析】对于 A,sin75∘cs75∘=12sin150∘=12sin30∘=14 ,故 A 正确;
对于 B,cs275∘−sin275∘=cs150∘=−cs30∘=−32 ,故 B 错误;
对于 C,tan15∘1+tan215∘=sin15∘cs15∘1+sin215∘cs215∘=sin15∘cs15∘sin215∘+cs215∘=12sin30∘=14 ,故 C 正确;
对于 D,4sin10∘sin50∘sin70∘=2sin10∘cs40∘cs20∘=4sin10∘cs10∘cs20∘cs40∘cs10∘ =2sin20∘cs20∘cs40∘cs10∘=sin40∘cs40∘cs10∘=sin80∘2cs10∘=cs10∘2cs10∘=12 ,故 D 错误. 故选 AC.
10. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,a=6,A=π3 ,则下列说法正确的是
A. 若 b=22 ,则 c=2
B. 若满足条件的 △ABC 有 2 个,则 b 的取值范围为 6,22
C. △ABC 面积的最大值为 332
D. b+2c 的最大值为 214
【答案】BCD
【解析】对于 A ,由余弦定理得 a2=b2+c2−2bccsA ,即 6=8+c2−22c ,解得 c=2 ,故 A 错误; 对于 B ,由正弦定理得 b=asinBsinA=22sinB ,因为 A=π3 ,所以 B∈0,2π3 ,结合正弦函数图象, 要使角 B 有两个值,则 sinB∈32,1 ,所以 b=22sinB∈6,22 ,故 B 正确;
对于 C ,因为 a=6,A=π3 ,所以 6=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc ,当且仅当 b=c 时等号成立, 所以 △ABC 面积 S=12bcsinA=34bc≤34×6=332 ，故 C 正确；
对于 D ,由正弦定理得 bsinB=csinC=asinA=632=22 ,则 b=22sinB,b=22sinC , 所以 b+2c=22sinB+2sinC=22sinB+2sinB+π3=222sinB+3csB =22⋅7sinB+φ ,其中 tanφ=32,φ∈0,π2 ,因为 B∈0,2π3 ,所以当 B+φ=π2 时, b+2c 的最大值为 214 ,故 D 正确.
故选 BCD.
11. 在 △ABC 中,点 O 在 BC 上,且 CO=2OB ,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N , 若 AB=mAM,AC=nAN,m>0,n>0 ,则
A. 2m+n=3
B. 4m2+n2 的最小值为 9
C. 1m+3mn 的最小值为 83
D. 1m+2+1n+1 的最小值为 3+228
【答案】ACD
【解析】对于 A ,由 CO=2OB 得, AO=23AB+13AC=23mAM+13nAN ,又 M,O,N 共线,则 23m+13n=1 ,所以 2m+n=3 ,故 A 正确;
对于 B ,由 2m+n2≤4m2+n22 得, 4m2+n2≥2m+n22=92 ,当且仅当 2m=n=32 时取等号, 即 4m2+n2 的最小值为 92 ,故 B 错误;
对于 C,1m+3mn=23m+13nm+3mn=23+n3m+3mn≥23+2n3m⋅3mn=83 ,当且仅当 n3m=3mn ,即 n=3m=95 时取等号,所以 1m+3mn 的最小值为 83 ,故 C 正确;
对于 D 项,由 2m+n=3 得, 2m+2+n+1=8 , 所以 1m+2+1n+1=181m+2+1n+12m+2+n+1=183+n+1m+2+2m+2n+1 ≥183+2n+1m+2⋅2m+2n+1=3+228 ,当且仅当 n+1m+2=2m+2n+1 ,即 n+1=2m+2=42−2 时取等号,所以 1m+2+1n+1 的最小值为 3+228 ,故 D 正确.
故选 ACD.
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 △ABC 的面积为 S ,且 CA⋅BC=23S ,则角 C 的大小为_____▲_____.
【答案】 5π6
【解析】由 CA⋅BC=23S 得, −CA⋅CBcsC=3CA⋅CBsinC ,即 tanC=−33 ,所以 C=5π6 .
13. 已知 e1,e2 是夹角为 π6 的单位向量,非零向量 b=xe1+2ye2,x,y∈R ,则 yb 的最大值为_____▲_____.
【答案】1
【解析】 b=x2+23xy+4y2 ,只考虑 y≠0 ,
则 yb=yx2+23xy+4y2=1xy2+23⋅xy+4=1xy+32+1 ,
所以当 xy=−3 时, yb 的最大值为 1 .
14. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知锐角 α 的终边与单位圆交于 Ax1,y1 ,角 α+π4 的终边与单位圆交于 Bx2,y2 ，若 x1y2+x2y1=−210 ，则 y2x1 的值为_____▲_____.
【答案】 22
【解析】由三角函数的定义可知, x1=csα,y1=sinα,x2=csα+π4,y2=sinα+π4 ,
则 x1y2+x2y1=csαsinα+π4+csα+π4sinα=sin2α+π4=22sin2α+cs2α
=222sinαcsα+cs2α−sin2α=22⋅2sinαcsα+cs2α−sin2αsin2α+cs2α
=22⋅2tanα+1−tan2αtan2α+1=−210,
所以 2tan2α−5tanα−3=0 ,解得 tanα=3 或 tanα=−12 (舍去),
则 y2x1=sinα+π4csα=22sinα+csαcsα=22tanα+1=22 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知两个单位向量 e1 与 e2 的夹角为 π3 ,设向量 m=2e1+e2,n=3e1−λe2,λ∈R .
(1)若 m//n ，求 λ 的值；
(2)若 m 与 n 的夹角为 π3 ，求 λ 的值.
【解析】(1)因为 m//n ，所以存在实数 k ，使得 n=km ，即 3e1−λe2=2ke1+ke2 . 2 分又 e1 与 e2 不共线,所以 3=2k,−λ=k, 解得 λ=−32 . 5 分
(2)因为 e1=e2=1 ，且夹角为 π3 ，所以 e1⋅e2=12 ，
所以 m=2e1+e22=4e12+4e1⋅e2+e22=4+2+1=7 ，
n=3e1−λe22=9e12−6λe1⋅e2+λ2e22=9−3λ+λ2,
m⋅n=2e1+e2⋅3e1−λe2=6e12+3−2λe1⋅e2−λe22=152−2λ , .8 分
因为 m 与 n 的夹角为 π3 ,所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=152−2λ79−3λ+λ2=12>0 , 10 分
即 15−4λ2=7λ2−3λ+9 ,且 152−2λ>0 ,
化简得 λ2−11λ+18=0 ,且 λ1 ，即 m≤0 或 m>34 时， ℎx=2m−12 在 0,π2 上无解； 10 分
② 当 −12