江苏省南京市第一中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试卷含解析（word版）

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2025.12
命题人： 蒋文化 校对人：唐颖杰 审核人： 雷蕾
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 命题“”的否定是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】命题的否定需要改变量词，否定结论；
【详解】因为已知命题为全称量词命题，所以命题的否定为存在量词命题
即“，”，
故选:
2. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同族函数的定义，结合函数的单调性、余弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数是定义域为R上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，A不是；
对于B，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，B不是；
对于C，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，C不是；
对于D，函数与函数的解析式相同，值域都为，因此函数能被用来构造“同族函数”，D是.
故选：D
3. 《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（ ）
A. 100B. 110C. 120D. 130
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形面积公式直接代入计算可得结果.
【详解】易知扇形所在圆的半径为8步，
因此这块扇形田的面积为平方步.
故选：C
4. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象．
【详解】函数（且）中由得，
则函数过定点，
设，代入可得，解得，
故幂函数，则B选项图象符合.
故选：B.
5. 下列大小关系正确的是 （ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式与正弦函数的单调性可判断A；利用中间量“1”可判断B；利用对数函数的单调性可判断C；利用幂函数的单调性可判断D.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，，则，故C错误；
因为在上单调递增，则，故D正确．
故选：D.
6. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性的判断方法，求函数的单调递增区间.
【详解】函数分成内外层函数，，
但内外层函数单调性一致时，函数单调递增，此时外层函数单调递减，
内层函数的对称轴是，且，解得：，
则内层函数的单调递减区间是，综上可知函数的单调递增区间是.
故选：A
7. 已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集.
【详解】在R上是奇函数，故，
故，
当时，单调递增，
令，解得，故，
结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示.
由得或，
由图象得或，
所以或，
即不等式的解集是
故选：B
8. 若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用正弦函数对称轴的性质求出的表达式，再结合函数在给定区间上的单调性确定的值，进而得到函数的表达式，最后求出的表达式.
【详解】函数图像关于对称，说明在时成立，解得：，
函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件，
所以且，
则当时，解得：，
结合和，得到；
将代入原函数，得到，
则.
故选：A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9. 已知角和的终边关于x轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件可得，再利用诱导公式逐项判断得解.
【详解】角和的终边关于x轴对称，得，，
对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D错误.
故选：BC
10. 已知正数x，y满足则下列说法正确的是（ ）
A. xy最大值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A：，，，
，，
当且仅当，即，时等号成立，所以A正确；
对于B：，由A知，，
，当且仅当，即，时等号成立，所以B错误；
对于C：，
当且仅当，即，时等号成立，
，所以C错误；
对于D：，
当且仅当，即，解得：时取等号，所以D正确.
故选：AD
11. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 若，则
C. 若，则
D. 若方程有两个不同的实数解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D.
【详解】对于A，因为，
所以函数定义域为R，且，
故函数是奇函数，故A正确；
对于B，因为为增函数，所以为减函数，
所以若，则，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为减函数，所以，
所以，故C正确；
对于D，令，
依次作出函数、和的图象如图所示：

因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. _______________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
故答案为：
13. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】由条件得出，进而求得，根据正弦函数的单调性得出，即可得正实数的取值范围．
【详解】解：由题可知，，函数在上单调递减，
可得函数的半个周期大于或等于，即，
则，，
由，
解得：，，
而，所以当时，，
则正实数取值范围是，
故答案：．
【点睛】本题考查由正弦型函数的单调性求参数范围，涉及正弦函数的周期和单调性的应用，属于中档题．
14. 已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数确定每段的最小值，再通过大小比较即可求解；
【详解】依题意，的最小值为.
因为当时，，此时最小值为，
所以必有，即.
再保证时，的最小值为，
令，可知等价于当时，的最小值为，
由对勾函数的单调性可知：，在单调递减，在单调递增；
故，即.
综上，.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、并集的定义进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式解法，结合必要条件的定义、子集的性质进行求解即可.
【小问1详解】
，
当时，，
；
【小问2详解】
由（1）可知，
，
若“”是“”的必要条件，
则
所以，即，
故a的范围为
16. 已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式先进行化简，结合商关系解得结果；
（2）先化简式子，结合同角三角函数关系式，计算得到结果.
【小问1详解】
因为，所以

【小问2详解】
=
=
17. 已知函数且.
（1）求的最小正周期T和的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1），
（2）最大值为1，最小值为
（3）单调递增区间为
【解析】
【分析】（1）由求出，根据正弦函数的性质求出最小正周期；
（2）根据正弦函数的性质求出最值；
（3）先由三角函数图象的变换求出函数，再根据正弦函数的性质求出单调递增区间.
【小问1详解】
由，得，，
所以，，又，所以，
所以，则的最小正周期为.
【小问2详解】
当时，，
所以当，即时，取得最大值1，
当,即时，取得最小值为，
即在区间上的最大值为1，最小值为.
【小问3详解】
若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，
再将所得的图象向右平移个单位长度，得到，
由，解得，
所以函数的单调递增区间为.
18. 已知为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断并用函数单调性定义证明函数在内的单调性；
（3）若存在对任意都有成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）2 （2）在内单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义待定系数计算即可；
（2）根据指数函数的性质结合单调性的定义计算即可；
（3）利用对数函数的单调性结合一次函数的性质将问题化为对任意恒成立，解不等式即可.
【小问1详解】
由于函数为奇函数，
所以，
所以，整理得，即，
所以；
【小问2详解】
在内单调递减，证明如下：
由上可知，对任意，
则，
因为在R上单调递增，即时，，
所以，所以，
则在内单调递减；
【小问3详解】
当时，，所以，则，
故，则，
要使在上能成立，
即在上能成立，
则对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
所以，解得，
故实数m的取值范围为.
19. 现定义一种新运算“⊕”：对于任意实数x，y，都有且
（1）当时，计算；
（2）证明：都有；
（3）设，若在区间上的值域为，求实数a的取值范围.
【答案】（1）4 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新运算的定义直接代入求解即可.
（2）根据新运算的定义和对数运算的性质直接化简证明即可.
（3）先求出的表达式，然后判断函数的单调性，求出最值，进而可求出结果.
【小问1详解】
当时，；
【小问2详解】
因为
，
而，
所以；
【小问3详解】
由新运算可知，
，
所以，
令，开口向上，对称轴为，
令，得或，
又因为且，则在上单调递减，
又因为在上的值域为，所以，
所以在上为单调递减函数，则，
所以在上单调递增，则，即，
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，，
所以s，t是函数在上的两个不同的零点，
则，即，
解得，
故实数a的取值范围为