数学八年级下册（2024）1.7 正方形完美版ppt课件

这是一份数学八年级下册（2024）1.7 正方形完美版ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了正方形的性质，正方形，邻边相等，一个角是直角，正方形定义，证一证，平行四边形，正方形的判定，一组邻边相等，对角线互相垂直等内容，欢迎下载使用。
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么 发现？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形.∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形，∴正方形是矩形(矩形的定义)， 正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC，BD相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵正方形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO. ∵正方形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证： △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的 等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
证明 因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AD = CD，∠A =∠DCF = 90°.因为 DF⊥DE，所以∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°.又因为∠2 +∠3 = 90°，所以∠1 = ∠2.因此△AED≌△CFD(角边角)，从而 DE = DF.
例2 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F. 求证：DE = DF.
例3 如图，在正方形 ABCD 中， △BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ △BEC 是等边三角形，∴BE = CE = BC，∠EBC = ∠ECB = 60°.∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠DCB = 90°.∴AB = BE = CE = CD，∠ABE=∠DCE=30°.∴△ABE，△DCE是等腰三角形. ∴∠BAE = ∠BEA = ∠CDE = ∠CED = 75°.∴∠EAD = ∠EDA = 90° - 75° = 15°.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC ， DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO＝CO＝BO＝DO ，∠ADC＝90°. ∵AC⊥DB， ∴ AD＝AB＝BC＝CD. ∴四边形ABCD是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对 角线， AC = DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.∵AC = DB，∴ AO = BO = CO = DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°.∴四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
证明 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB = BC.又因为 AA′ = BB′，所以 A'B = B'C.又因为∠B =∠C = 90°，BB′ = CC'，所以△BB'A'≌△CC'B' (边角边)，从而 B'A' = C'B'.同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.
例2 如图，已知点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'.求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形.
同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.于是 A'D' = D'C' = C'B' = B'A'.因此四边形 A'B'C'D' 是菱形.又因为∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，所以∠2 + ∠3 = 90°，于是∠D'A'B' = 90°. 因此四边形 A'B'CD' 是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC = ∠DFC = 90°.又∵ ∠C = 90°，∴四边形 EDFC 是矩形.过点 D 作 DG⊥AB，垂足为 G.∵AD 是∠CAB 的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE = DG. 同理得 DG = DF.∴ED = DF. ∴四边形 EDFC 是正方形.
例5 如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B 的平分线交于点 D. DE⊥AC，DF⊥BC. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
正方形具备而菱形不具备的性质是(　　) A．对角线互相平分 　　　 B．对角线互相垂直C．对角线相等 　　　 D．每条对角线平分一组对角
如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为(　　) A．30°B．25°C．22.5°D．45°
在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(　　)A．①处可填AD＝CB B．②处可填AD⊥ABC．③处可填∠A＝90° D．④处可填AD＝AB
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6 cm的等边三角形，当t＝________时，四边形DEBF为正方形.
由题意得OE＝OF＝t cm，所以EF＝2t cm.因为菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OB＝OD，AC⊥BD.所以四边形DEBF是菱形．所以当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形．因为△ABD是边长为6 cm的等边三角形，所以BD＝6 cm.所以由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3.所以当t＝3时，四边形DEBF是正方形．
如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分的面积为________.
如图．因为四边形A，B是正方形，所以∠DOE＝∠COF＝90°，OD＝OE，∠CDO＝∠FEO＝45°.所以∠COD＋∠DOF＝90°，∠FOE＋∠DOF＝90°.所以∠COD＝∠FOE.