初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.5 矩形获奖ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.5 矩形获奖ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了矩形的判定定理，又∵OAOD，∴ACBD等内容，欢迎下载使用。
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
有三个角是直角的四边形是矩形
类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：由于∠A＝∠B＝∠C＝90°，所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°.因此AD∥BC，AB∥CD.从而四边形 ABCD 是平行四边形.又∠A＝90°，
由矩形的定义得，四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°，∴四边形 ABCD 是矩形.
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
例1 如图， □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB + ∠ABC = 180°.
∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线，
∴四边形 EFGH 是矩形．
同理可证∠AED = ∠EHG = 90°.
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，
又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°.
∴四边形 ADCE 为矩形．
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　）A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
证明：由于 OA = OC，OB = OD，所以四边形 ABCD 是平行四边形，从而 AB = DC，AB∥DC.又 AC = BD，BC = CB，所以△ABC≌△DCB (边边边)，从而∠ABC =∠DCB.又由 AB∥DC 得，∠ABC +∠DCB = 180°，
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形.
因此，平行四边形 ABCD 是矩形.
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在平行四边形 ABCD 中，∵AC = BD，∴平行四边形 ABCD 是矩形.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
例3 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.(1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？
解：(1)因为□ABCD 是矩形，所以 AC 与 DB 相等且互相平分，
所以△OBC 是等腰三角形.
(2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？
解：(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC，所以 AC = 2OC = 2OB = BD.因此，□ABCD 是矩形.
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC＝BD (矩形的对角线相等)，
AO＝BO＝CO＝DO (矩形的对角线互相平分).
∵ AE＝BF＝CG＝DH，
∴ OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∵EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH，
∴四边形 EFGH 是矩形.
[德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　) A．AB∥CD B．AB＝BCC．∠ABC＝∠ADC D．AC＝BD
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形相框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是(　　)A．测量对角线是否互相平分B．测量对角线是否相等C．测量一组对角是否为直角D．测量四边形的其中三个角是否都为直角
[临沂模拟]如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，用尺规在AD上作出点F，使得四边形BEDF为矩形，则下列说法正确的是(　　)小洛：如图①，连接AC，BD交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接BF.小宇：如图②，在AD上截取DF＝BE，连接BF.A．小洛的作法正确 B．小宇的作法正确C．两人作法都正确 D．两人作法都不正确
如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件：____________时，四边形PEMF为矩形.
如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则矩形ABCD的面积是________.
如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB 于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝________.