数学八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系优秀课件ppt

这是一份数学八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系优秀课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了证一证，方程两根之和，思考与提升，解得k7，数学拓展，二次三项式的因式分解，答案C等内容，欢迎下载使用。
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点)2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点)
1. 一元二次方程的求根公式是什么 ?
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况 ?
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac.当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根。
一元二次方程的根与系数的关系
思考 我们知道，一元二次方程 ax² + bx + c = 0( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为：观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现 ?
x1 = , x2 =
当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和：
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么这个关系通常称为韦达定理.
(1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式 ?
因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得
这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式.
归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
有关韦达定理的常见的求值式子如下：
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. (2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1.
想一想：本题还有别的解法吗？
解 设方程的另一个根是 x2，则
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
解 将 x = –4 代入方程，得
2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0.
例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
例4 方程 2x² - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 - x2 的值.
( x1 - x2 )² = ( x1 + x2 )² - 4x1x2
二次三项式 ax² + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根来进行 . 若 ax² + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知
1．[2025湖北]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
3．[2025苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________．
4．[2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________．
5．[2025河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
6．定义(a，b，c)为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的特征数．若特征数为(1，2k－2，k2－k)的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为(　　)A．－1或4 B．4 C．－1 D．－4或1
【点拨】根据题意可知，该方程为x2＋(2k－2)x＋k2－k＝0.∵方程的两实数根的平方和为12，∴Δ＝(2k－2)2－4(k2－k)＝4k2－8k＋4－4k2＋4k＝－4k＋4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－k.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴[－(2k－2)]2－2(k2－k)＝12，解得k1＝4，k2＝－1.又∵k≤1，∴k＝－1.
解得k＝2或k＝5.经检验，k＝2或k＝5均为该分式方程的解．当k＝2时，关于x的方程为x2－2x＋1＝0，此时Δ＝0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2－2x＋4＝0，此时Δ＜0，方程无实数根，不符合题意．∴k＝2.
8．已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n.若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．