数学八年级下册（2024）18.1 勾股定理优秀ppt课件

这是一份数学八年级下册（2024）18.1 勾股定理优秀ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了勾股定理，勾股定理的认识及验证，GGB验证猜想，公式变形，数学小历史，赵爽弦图，b-a，欧几里得证明勾股定理，青朱出入图，拓展知识等内容，欢迎下载使用。
1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. (重点)2. 会用勾股定理进行简单的计算. (难点)
如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中， Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以 △ ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1 ，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积.
1.观察图 (1) ，并填写：S1 = _____ 个单位面积；S2 = _____ 个单位面积；S3 = _____ 个单位面积。
2.观察图 (2) ，并填写：S1 = _____ 个单位面积；S2 = _____ 个单位面积；S3 = _____ 个单位面积。
3. 图 (1) ， (2) 中三个正方形面积之间有怎样的关系 ? 用它们的边长 a ，b，c 表示：
a2 + b2 = c2
4. 如图，在几何绘图软件中任意画一个 Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 度量△ABC 的三边长 a ，b，c，猜想 a ，b ，c 有怎样的关系。
猜想 a2 + b2 = c2
猜想 如图，在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a ，AC = b ，则 a2 + b2 = c2.
证明 取 4 个与 Rt △ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如上图所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH .
由题意得 A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1 = c .因为∠B1A1E +∠A1B1E = 90°，∠A1B1E = ∠D1A1H，所以∠B1A1E +∠D1A1H = 90°，∠D1A1B1 = 90°.同理：∠A1B1C1 =∠B1C1D1 =∠C1D1A1 = 90°.则四边形 A1B1C1D1，是边长为 c 的正方形.
分别记正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1，的面积为 S正方形EFGH 和 ，
化简，得 a2 +b2 = c2.
则 S正方形EFGH - 4S△ABC =
即 ( a +b )2 - 4× ab = c2.
在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理。
（a、b、c 为正数）
勾股定理 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
勾2 + 股2 = 弦2
上面的动图形象地验证了勾股定理，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧。
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形。
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧。
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”。
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得：
例1 如图，在 Rt△ ABC 中，两直角边 AC = 5，BC = 12.求：(1) AB 的长；(2) 斜边上的高 CD 的长。
解 (1) 在Rt△ ABC 中， AB 2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169 . 则 AB = 13.
(2) ∵ S△ABC = AC×BC = AB×CD ,
1. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为(　　)A．10 B．5 C．9.6 D．4.8
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　)A．3 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．12 cm2
4．[2025成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．
5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为________．
6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是(　　)
7．如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c.把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处(如图)．(1)S△ADC＝_________，S△AB′C′＝_________，S△ACC′＝____________，S四边形CDB′C′＝_______________________________(用与a，b，c有关的代数式表示)；
(2)由(1)的结论证明勾股定理：a2＋b2＝c2；
(3)若a＋b＝7，c＝5，求△ADC的面积．
8. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，若BD＝6，则CD＝________．
9. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．
下列选项正确的是(　　)A．m＝12B．n＝24C．点C的纵坐标为240D．点(15，85)在该函数图象上
【点拨】如图，作PG⊥AB于点G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，连接PH，则由题意和图象可知PH2＝225.当点Q运动到点G时，PQ2最小，即PG2＝81，AG＝m，∴HG＝m－1.在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81＋(m－1)2，解得m＝13(负值已舍去)，故选项A错误；
当x＝n时，点Q运动到点B，连接PB，则PB2＝225＝PH2，∴PB＝PH.∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝m－1＝12.∴AB＝n＝13＋12＝25，故选项B错误；当x＝0，即点Q在A点时，连接PA，∴PQ2＝AP2＝AG2＋PG2＝132＋81＝250，∴点C的纵坐标为250，故选项C错误；
当x＝15时，点Q运动到点K，连接PK，则AK＝15，∴GK＝AK－AG＝2.∴PK2＝KG2＋PG2＝4＋81＝85.∴点(15，85)在该函数图象上，故选项D正确．故选D.