第8章 小结与复习（课件）--沪科版（新教材）七年级数学下册

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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）第8章 小结与复习第8章 整式乘法与因式分解授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月9日沪科版七年级数学下册第8章 整式乘法与因式分解 小结与复习班级：________ 姓名：________ 得分：________本章核心内容：整式乘法（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）和因式分解（提公因式法、公式法、分组分解法），重点掌握幂的运算性质、整式乘法法则及因式分解的基本方法，难点是灵活运用法则进行混合运算、区分整式乘法与因式分解的互逆关系，以及因式分解的彻底性。本小结与复习题涵盖全章知识点梳理、基础巩固、变式提升、易错辨析及综合应用，帮助系统梳理知识、查漏补缺，提升综合运算能力。一、全章知识点梳理（一）整式乘法1. 幂的运算性质（核心基础） ① 同底数幂相乘：$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数，底数不变，指数相加）； ② 幂的乘方：$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数，底数不变，指数相乘）； ③ 积的乘方：$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数，积的乘方等于乘方的积）； ④ 同底数幂相除：$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$（a≠0，m、n为正整数，m>n，底数不变，指数相减）；⑤ 零指数幂：$$a^0 = 1$$（a≠0）；负整数指数幂：$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$（a≠0，n为正整数）。 2. 整式乘法法则 ① 单项式乘单项式：把系数相乘、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； ② 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（$$m(a+b+c) = ma + mb + mc$$）； ③ 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$）； ④ 乘法公式（重点）：- 完全平方公式：$$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$（口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中间）；- 平方差公式：$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$（口诀：首平方，尾平方，首尾相反减平方）。 （二）因式分解1. 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法互为逆运算）。2. 基本方法（重点） ① 提公因式法：找出多项式各项的公因式，提出来，将多项式化为公因式与另一个整式的积（公因式：系数取最大公约数，字母取各项相同字母，相同字母指数取最低次幂）； ② 公式法：利用完全平方公式、平方差公式逆向分解（注意适用条件：平方差公式适用于二项式，两项为平方形式且符号相反；完全平方公式适用于三项式，首尾为平方形式且符号相同，中间项是首尾平方根乘积的2倍）；③ 分组分解法：多项式项数多于3项时，适当分组，使每组能提公因式或用公式，再整体提公因式（分组关键：分组后能继续分解）。 3. 因式分解注意事项 ① 分解要彻底：直到每一个因式都不能再分解为止； ② 首项系数为负时，先提取负号； ③ 分解结果只能是整式的积，不能有加减运算； ④ 相同因式要写成幂的形式。 （三）易错点提醒1. 幂的运算：混淆同底数幂相乘与幂的乘方（如$$a^2 \cdot a^3 \neq a^6$$，$$(a^2)^3 \neq a^5$$）；积的乘方漏乘每一项（如$$(ab)^2 \neq a^2b$$）。2. 整式乘法：多项式乘多项式漏乘项；完全平方公式漏加/漏减首尾二倍项（如$$(x+3)^2 \neq x^2 + 9$$）。3. 因式分解：提公因式不彻底；混淆因式分解与整式乘法；平方差公式、完全平方公式使用条件判断错误；分组不当无法继续分解。二、基础巩固题（每题4分，共40分）1. 计算：$$a^3 \cdot a^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(x^2)^3 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(2ab)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。2. 计算：$$3x^2 \cdot 2x^3 = \_\_\_\_\_\_$$；$$-2a \cdot (3a - 4b) = \_\_\_\_\_\_$$。3. 计算：$$(x + 2)(x - 3) = \_\_\_\_\_\_$$；$$(2x - 1)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。4. 分解因式：$$4x^2 - 1 = \_\_\_\_\_\_$$；$$x^2 - 6x + 9 = \_\_\_\_\_\_$$。5. 分解因式：$$3x^2 - 6x = \_\_\_\_\_\_$$；$$ax + ay + bx + by = \_\_\_\_\_\_$$。6. 若$$a^m = 2$$，$$a^n = 3$$，则$$a^{m+n} = \_\_\_\_\_\_$$，$$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$$。7. 计算：$$(x - 2y)(x + 2y) - (x - y)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。8. 分解因式：$$-x^2 + 4xy - 4y^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$x^3 - x = \_\_\_\_\_\_$$。9. 若$$x^2 + mx + 16$$是完全平方式，则m = ______；若$$(x + k)(x - 2) = x^2 + 3x - 6$$，则k = ______。10. 计算：$$(-3x^2)^3 \div x^3 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) = \_\_\_\_\_\_$$。三、变式提升题（每题10分，共30分）1. 计算： （1）$$(2x^2y)^3 \cdot (-3xy^2) \div 6x^4y^3$$； （2）$$(x + 3)(x - 3) - (x - 2)(x + 1)$$。 2. 分解因式（需写出完整步骤）： （1）$$2x^2 - 8xy + 8y^2$$； （2）$$x^4 - 18x^2 + 81$$； （3）$$m^2 - n^2 + 3m + 3n$$。 3. 利用整式乘法与因式分解解决问题： （1）已知$$a + b = 4$$，$$ab = 3$$，求$$a^2b + ab^2 + a^2 + b^2$$的值； （2）已知长方形的长为$$(2x + 3)$$，宽为$$(x - 1)$$，求长方形的面积（用整式表示），并分解因式。 四、易错辨析题（10分）判断下列运算或因式分解是否正确，若不正确，请指出错误并改正。1. $$a^2 \cdot a^3 = a^6$$；2. $$(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 6ab + 9b^2$$；3. $$x^2 - 4 = (x - 2)^2$$；4. $$3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$；5. $$ax + bx - a - b = (a + b)(x + 1)$$。五、综合应用题（10分）一个大正方形的边长为$$(x + 5)$$厘米，一个小正方形的边长为$$(x - 3)$$厘米，一个长方形的长为$$(x + 5)$$厘米，宽为$$(x - 3)$$厘米。1. 求两个正方形的面积和，并分解因式；2. 求大正方形与长方形的面积差，并分解因式；3. 当$$x = 4$$时，求上述面积和与面积差的值。参考答案提示： 一、知识点梳理（略，结合上述内容核对） 二、基础巩固题 1.$$a^5$$，$$x^6$$，$$4a^2b^2$$ 2.$$6x^5$$，$$-6a^2 + 8ab$$ 3.$$x^2 - x - 6$$，$$4x^2 - 4x + 1$$ 4.$$(2x + 1)(2x - 1)$$，$$(x - 3)^2$$ 5.$$3x(x - 2)$$，$$(a + b)(x + y)$$6.6，8 7.$$-5y^2 + 2xy$$ 8.$$-(x - 2y)^2$$，$$x(x + 1)(x - 1)$$ 9.±8，5 10.$$-27x^3$$，$$a^4 - b^4$$三、变式提升题 34.（1）$$(8x^6y^3) \cdot (-3xy^2) \div 6x^4y^3 = -24x^7y^5 \div 6x^4y^3 = -4x^3y^2$$；（2）$$(x^2 - 9) - (x^2 - x - 2) = x - 7$$35.（1）$$2(x^2 - 4xy + 4y^2) = 2(x - 2y)^2$$；（2）$$(x^2 - 9)^2 = (x + 3)^2(x - 3)^2$$；（3）$$(m + n)(m - n) + 3(m + n) = (m + n)(m - n + 3)$$36.（1）$$ab(a + b) + (a + b)^2 - 2ab = 3 \times 4 + 16 - 6 = 22$$；（2）面积：$$(2x + 3)(x - 1) = 2x^2 + x - 3$$，分解因式：$$(2x + 3)(x - 1)$$四、易错辨析题 1.不正确，同底数幂相乘指数相加，改正：$$a^5$$；2.不正确，完全平方公式漏乘2倍，改正：$$4a^2 - 12ab + 9b^2$$；3.不正确，混淆公式，改正：$$(x + 2)(x - 2)$$；4.正确；5.不正确，符号错误，改正：$$(a + b)(x - 1)$$五、综合应用题 48.面积和：$$(x + 5)^2 + (x - 3)^2 = 2x^2 + 4x + 34 = 2(x^2 + 2x + 17)$$；49.面积差：$$(x + 5)^2 - (x + 5)(x - 3) = 8(x + 5)$$；50.当x=4时，面积和=2×(16+8+17)=82平方厘米，面积差=8×9=72平方厘米 一、幂的乘法运算1. 同底数幂的乘法：底数______，指数______.am+n不变相加2. 幂的乘方：底数_______，指数______.不变相乘3. 积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得 的幂_____.乘方相乘(1) 将_____________相乘作为积的系数；二、整式的乘法1. 单项式乘单项式：单项式的系数(2) 相同字母的因式，利用_________的乘法，作为 积的一个因式；同底数幂(3) 单独出现的字母，连同它的______，作为积的 一个因式.指数注：单项式乘单项式，积为________.单项式(1) 单项式分别______多项式的每一项；2. 单项式乘多项式：(2) 将所得的积______.注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.乘以相加相同3. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的________，再把所得的积______.每一项相加三、整式的除法同底数幂相除，底数_______，指数_______.1. 同底数幂的除法：am-n不变相减任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于_____.112. 单项式除以单项式：单项式相除，把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的______一起作为商的一个因式. 系数同底数的幂指数3. 多项式除以单项式：多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .单项式每一项相加四、乘法公式1. 平方差公式两数______与这两数______的积，等于这两数的________.和差平方差(a + b)(a - b) =________.2. 完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的 2 倍.平方和积五、因式分解 把一个多项式化为几个______的______的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.1. 因式分解的定义整式乘积2. 因式分解的方法(1) 提公因式法(2) 公式法① 平方差公式：____________________.② 完全平方公式：____________________.a2 - b2 = (a + b)(a - b)a2±2ab + b2 = (a±b)2例1 下列计算正确的是 ( )A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2 C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4 D例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.解：原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2.1、幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法. 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础. 2、其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.整合1 幂的运算1.[合肥模拟] 下列计算正确的是( )A        整合2 科学记数法 A  CA.5B.6C.7D.8整合3 整式乘法6.下列计算正确的是( )C 7.计算：(8分)    整合4 乘法公式(完全平方公式、平方差公式)8.[武汉月考] 下列计算正确的是( )D  4910.数学文化 请看杨辉三角(如图①)，并观察等式(如图②).      整合5 因式分解13.整体思想 将下列多项式分解因式：    14.把下列各式分解因式：(16分)         请你选择喜欢的解法完成因式分解.  整合6 数学思想 12 解：根据题意，得   (1)选取1张A型，2张C型，1张B型卡片可以拼成一个正方形，请在图①的方框中画出拼得的正方形示意图(所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分)，并完成填空：你画的正方形面积既可以表示为______________，又可以表示为_________，所以可得等式________________________；   解：所画正方形如图①所示.(画法不唯一)  所画长方形如图②所示.(画法不唯一)整合7 聚焦安徽中考19.[合肥二模] 下列运算正确的是( )D   按上表规律，解答下列问题： 75