2026年人教A版高中数学必修第二册综合检测试卷解析版综合检测(A卷)

这是一份2026年人教A版高中数学必修第二册综合检测试卷解析版综合检测(A卷)，共8页。
综合检测(A卷)(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(1,-2),b=(2,1),则(　　)A.a∥bB.a⊥bC.a与b的夹角为60°D.a与b的夹角为30°答案:B解析:∵a·b=1×2+(-2)×1=0,∴a⊥b.2.复数i3-2i=(　　)A.-iB.-3iC.iD.3i答案:C解析:i3-2i=-i-2ii2=-i+2i=i.3.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB−43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB−13AC答案:A解析:依题意得AD=AB+BD=AB+43BC=AB+43(AC−AB)=-13AB+43AC.4.某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校今年自主招生考试的学生人数如下表所示.该市教委为了解参加考试的学生的学习状况,采用分层随机抽样的方法从四所中学参加自主招生考试的学生中随机抽取50名进行问卷调查.则从A,B,C,D四所中学参加自主招生考试的学生中抽取的学生人数分别为(　　)A.15,20,10,5B.15,20,5,10C.20,15,10,5D.20,15,5,10答案:D解析:设从A,B,C,D四所中学参加自主招生考试的学生中抽取的学生人数分别为a,b,c,d.由题意得5040+30+10+20=a40=b30=c10=d20,解得a=20,b=15,c=5,d=10.5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=1,△ABC的面积为3,则asinA为(　　)A.8381B.2393C.2633D.27答案:B解析:由△ABC的面积S△ABC=12bcsin A=3,得c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=13,故a=13.所以asinA=1332=2393.6.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下:91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93　88　98　93则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为(　　)A.92,96B.93,96C.92.5,95D.92.5,96答案:D解析:将比赛得分由小到大排列,得85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98.因为15×60%=9,15×90%=13.5,故60%分位数为第9项与第10项的平均数,即92+932=92.5,90%分位数为第14项96.故选D.7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=π3,△ABC的面积S△ABC=3,则△ABC的周长为(　　)A.6B.5C.4D.4+23答案:A解析:由S△ABC=3,得12absin C=3.∵C=π3,∴ab=4.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,已知c=2,则a2+b2=8,∴a+b=a2+2ab+b2=16=4.故a+b+c=6,即△ABC的周长为6.8.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　)A.44π3B.484π9C.81π4D.16π答案:B解析:如图,其中AB=BC=CD=DA=4,PH=6,O为球心,则BH=22.设球的半径为r,则(6-r)2+(22)2=r2,解得r=113,所以球的表面积S=4πr2=484π9.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.一个不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片(卡片除颜色外,其余完全相同)各2张,任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是(　　)A.2张卡片都不是红色B.2张卡片恰有一张红色C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色答案:ABD解析:从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”,其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件.10.设复数z满足z=-1-2i,则下列结论正确的是(　　)A.|z|=5B.复数z在复平面内对应的点在第四象限C.z的共轭复数为-1+2iD.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上答案:AC解析:|z|=(-1)2+(-2)2=5,故A中结论正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,故B中结论不正确;z的共轭复数为-1+2i,故C中结论正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,故D中结论不正确.11.在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,在下列说法中,正确的有(　　)A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形B.若a·b>0,则△ABC为钝角三角形C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形答案:BCD解析:在△ABC中,若a·b>0,即BC·CA>0,则∠BCA是钝角,△ABC是钝角三角形,故A错误,B正确;若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即CA·(BC−AB)=CA·(BC+BA)=0,取AC的中点D,则BC+BA=2BD,CA·BD=0,∴BA=BC,即△ABC为等腰三角形,故C正确;若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即BC2=AB2+AC2+2AB·AC·cos A,由余弦定理得cos A=-cos A,∴cos A=0,即A=π2,△ABC为直角三角形,故D正确.故选BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　　　　　.答案:-1解析:(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i.由已知得a+1=0,解得a=-1.13.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2,若以a,b为基底表示向量e1+2e2,即e1+2e2=λa+μb,则λ+μ=　　　　. 答案:15解析:∵a=3e1+4e2,b=e1-2e2,∴e1=15a+25b,e2=110a-310b,∴e1+2e2=25a-15b,∴λ+μ=25−15=15.14.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次命中目标得2分,未命中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为　　　　　,两人各射击一次得分之和不少于2的概率为　　　　　. 答案:34　910解析:设“甲射击一次,命中目标”为事件A,“乙射击一次,命中目标”为事件B,则“甲射击一次,未命中目标”为事件A,“乙射击一次,未命中目标”为事件B,则P(A)=35,P(A)=1-35=25,P(B)=p,P(B)=1-p.由题意得35×(1-p)+25p=920,解得p=34.“两人各射击一次得分之和不少于2”的对立事件为“得分之和等于0”,所以两人各射击一次得分之和不少于2的概率为1-25×1−34=910.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(2,1).(1)若b=(1,m),且a+b与a-b垂直,求实数m的值;(2)若c为单位向量,且c∥a,求向量c的坐标.解:(1)a+b=(3,m+1),a-b=(1,1-m).∵a+b与a-b垂直,∴3×1+(m+1)(1-m)=0,解得m=±2.(2)设c=(x,y),依题意有x2+y2=1,x-2y=0,解得x=255,y=55或x=-255,y=-55.∴c=255,55或c=-255,-55.16.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB·AC=-6,△ABC的面积S△ABC=3,求A和a.解:∵AB·AC=c·b·cos A=3ccos A=-6,∴ccos A=-2.∵S△ABC=12bcsin A=32csin A=3,∴csin A=2.∴tan A=-1.又A∈(0,π),∴A=3π4.∴c=2sin3π4=22.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=9+8-2×3×22×-22=29.∴a=29.17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD.(1)求证:BD⊥PC;(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证:BC∥l.证明:(1)连接AC,交BD于点O,连接PO.因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又因为PB=PD,O为BD的中点,所以BD⊥PO.因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.(2)因为四边形ABCD为菱形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC,平面PBC与平面PAD的交线为l,所以BC∥l.18.(17分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到部分频率分布直方图如图所示.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在区间[120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值如:组区间[100,110)的中点值100+1102=105作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;(3)用分层随机抽样的方法在分数段为区间[110,130)内的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人的数学成绩在区间[120,130)内的概率.解:(1)分数在区间[120,130)内的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.(2)估计平均分x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.(3)由题意知,数学成绩在区间[110,120)内的人数为60×0.15=9,数学成绩在区间[120,130)内的人数为60×0.3=18.因为用比例分配的分层随机抽样的方法在分数段为区间[110,130)内的学生中抽取一个容量为6的样本,所以需在区间[110,120)内抽取2人,并分别记为m,n,在区间[120,130)内抽取4人,并分别记为a,b,c,d.设事件A=“从中任取2人,至多有1人的数学成绩在区间[120,130)内”,则试验的样本空间Ω={(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共有15个样本点.事件A={(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)},共有9个样本点.所以P(A)=915=35.19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,E,F,G分别是线段PC,PD,BC的中点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)求证:平面PAB∥平面EFG;(3)在线段PB上确定一点M,使PC⊥平面ADM,并给出证明.(1)解∵PD⊥平面ABCD,∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13×SABCD×PD=13×2×2×2=83(其中SABCD为四边形ABCD的面积).(2)证明∵E,F分别是线段PC,PD的中点,∴EF∥CD.又四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD,∴EF∥AB,又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.∵E,G分别是线段PC,BC的中点,∴EG∥PB.又EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,∴EG∥平面PAB.∵EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.(3)解当M为线段PB的中点时,PC⊥平面ADM.证明如下:取PB的中点M,连接DE,EM,AM,∵EM∥BC∥AD,∴A,D,E,M四点共面.由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,又AD⊥CD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PDC,∴AD⊥PC,又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,∴DE⊥PC,又AD∩DE=D,∴PC⊥平面ADEM,即PC⊥平面ADM.中学ABCD人数40301020