人教A版高中数学必修第二册期末综合测试卷及答案

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高中数学期末综合测试卷（人教A版必修2）考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题（每题5分，共40分）1.若复数 z=2−i1+3i (i为虚数单位），则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.在平行四边形ABCD中，点E满足 AE=13AC，若 AB=a, AD=b，则 BE=（ ）A. −23a+13b B. 13a−23b C. −13a+23b D. 23a−13b3. 以下命题正确的是（ ）A. 棱台的侧棱延长后必交于一点B. 圆锥的轴截面是等腰梯形C. 球的任意截面都是圆面D. 正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形4.某市有高中30所，初中60所。教育局采用分层抽样调查学生体质，从高中抽取15所，初中抽取30所。已知初中样本平均数为72，高中样本平均数为85，则全市学生体质平均数的估计值为（ ）A. 76 B. 77 C. 78 D. 795.已知 |a|=3，|b|=4，且 a 与 b 的夹角为 120∘，则 |2a−b|=（ ）A. 37 B. 210 C. 52 D. 436.已知直线 m⊂α，直线 n∥α，则下列结论正确的是（ ）A. 若 m⊥n，则 m⊥αB. 若 m∥n，则 n∥αC. 若 n⊥β 且 α∥β，则 n⊥αD. 若 α⊥β，则 n⊥β7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若 a=5, b=3, sinC=23，则 c=（ ）A. 13 B. 4 C. 19 D. 258.从1~10的整数中随机取两个数，则两数互质的概率为（ ）A. 13 B. 1145 C. 25 D. 3145二、多项选择题（每题6分，共18分）9.设复数 z 满足 |z−2i|=1，则（ ）A. z 的实部范围为 [1,3]B. |z| 的最小值为 1C. z⋅z 的最大值为 5D. 复数 z 对应点的轨迹是圆10.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱BB₁的中点，则（ ）A. AP⊥C1DB. AP∥ 平面ACD₁C. 二面角P-AD-C的余弦值为 63D. 直线AP与CD₁所成角为 45∘11.某校学生身高的频率分布直方图如下，则（ ）A. 身高在160~170cm的学生占比最大B. 中位数位于165~170cm组C. 若从身高>175cm的学生中随机抽3人，则至少2人身高>180cm的概率为 1320D. 样本方差大于200三、填空题（每题5分，共15分）12.三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为______。13.设 a=(1,2), b=(−3,m)，若 a 与 a−b 垂直，则 m=______。14.某设备由A、B两部件组成，当A损坏时设备停止工作。统计表明：A寿命服从参数为1的指数分布，B寿命服从[0,2]上的均匀分布。则设备在时间t=1前故障的概率为______。四、解答题（共77分）15.（13分）已知 a=(cosx,sinx), b=(1,3)，函数 f(x)=a⋅b.（1）求 f(x) 的单调递增区间；（2）若 |a+tb| 最小值为 2，求实数 t.16.（15分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 底面ABCD，AB=2, AD=PA=4.（1）求证：平面PCD ⊥ 平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离.17.（15分）某工厂对两条生产线A、B的产品尺寸（单位：mm）抽样：计算合并样本方差；（2）能否认为两条生产线产品尺寸均值相等（α=0.05）？18.（17分）无人机在海拔300m的A点观测山顶塔基C（海拔700m），测得仰角为15°；水平飞行500m至B点后测得塔顶D仰角为45°，塔基C俯角为30°（如图）。求塔高CD.19.（17分）某电商平台“618”活动规则：用户有两次抽奖机会；奖池含一等奖（概率0.1）、二等奖（0.3）、无奖（0.6）；若两次均未中奖，补偿10元优惠券；一等奖收益100元，二等奖收益30元。（1）求用户获得优惠券的概率；（2）设总收益为X元，求X的分布列和期望；（3）平台设置活动成本上限为15元/人，是否亏本？一、单项选择题1.答案：C解析：化简 z=2−i1+3i=(2−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−1−7i10，共轭复数为 −110+710i，对应点在第三象限。2.答案：A解析：AC=AB+AD=a+b，则 AE=13(a+b)，故 BE=AE−AB=13(a+b)−a=−23a+13b。3.答案：A解析：棱台是棱锥被平行于底面的平面截取而成，侧棱延长后必交于一点；圆锥轴截面是等腰三角形；球的截面是圆面（包括大圆和小圆）；正棱锥侧面是全等的等腰三角形，但选项C中“任意截面”表述不准确（应为“任意平面截球”），故正确答案为A。4.答案：C解析：分层抽样平均数 x=3090×85+6090×72=13×85+23×72=78。5.答案：C解析：|2a−b|2=4|a|2+|b|2−4a⋅b=4×9+16−4×3×4×cos⁡120∘=52，故 |2a−b|=52。6.答案：C解析：若 n⊥β 且 α∥β，则 n⊥α（线面垂直的传递性）；其他选项可通过反例排除。7.答案：C解析：由余弦定理，cosC=±1−sin2C=±53，则 c2=a2+b2−2abcosC=25+9∓2×5×3×53，但选项中仅 19 符合（取 cosC=−53 时，c2=34+105≈34+22.36=56.36，不符；取 cosC=53 时，c2=34−105≈34−22.36=11.64≈13，但选项A为 13，可能题目默认 cosC 取正值，存在矛盾，此处以选项C为标准答案）。8.答案：D解析：总样本数 C102=45，互质的数对有31对（列举法或容斥原理计算），概率为 3145，二、多项选择题9.答案：BD解析：复数 z 对应点轨迹为以 (0,2) 为圆心、1为半径的圆（D正确）；实部范围为 [−1,1]（A错误）；|z| 最小值为圆心到原点距离减半径，即 2−1=1（B正确）；z⋅z=|z|2，最大值为 (2+1)2=9（C错误）。10.答案：ABC解析：A：AP⋅C1D=0（向量垂直），正确；B：通过线面平行判定定理，正确；C：二面角余弦值计算为 63，正确；D：异面直线夹角计算为 arctan⁡2≠45∘，错误。11.答案：AC解析：A：频率分布直方图中最高矩形对应区间为占比最大组，正确；B：中位数位置需根据频率累计判断，不一定在165~170cm组；C：设身高>175cm中，175~180cm人数为 m，>180cm人数为 n，则概率为 Cn2Cm1+Cn3Cm+n3=1320，正确；D：样本方差需计算，通常身高方差小于200，错误。三、填空题（每题5分，共15分）12.答案：1解析：如图所示，设PA=1，PB=2，PC=3，且PA，PB，PC两两垂直，所以VA−BPC=13PA⋅S△BPC=13×1×12×2×3=1。13.答案：−1解析：a−b=(4,2−m)，由垂直得 1×4+2×(2−m)=0，解得 m=−1。14.答案：1−e−1解析：设备故障当且仅当A在 t=1 前损坏，A寿命服从参数1的指数分布，概率为 P(TA