新疆乌鲁木齐地区2026年高三下学期第二次质量监测数学试卷含答案（word版）

这是一份新疆乌鲁木齐地区2026年高三下学期第二次质量监测数学试卷含答案（word版）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1~4 BCAC 5~8 D DBB
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BD 10. BCD 11. ABD
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12.10
55
14. 2+42
四、解答题:本大题共 5 小题，共计 77 分. 解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过 程或演算步骤.
15. (13 分)
( I ) 200 个样本中分数大于等于 70 分的有 50 人，小于等于 70 分的有 150 人，估计样本得分第 75 百分位数为 70 ; 分
( II )
零假设 H0 : 熟悉程度与学历无关联,
χ2=20030×50−50×702100×100×80×120=253≈8.333>6.635
根据小概率值 α=0.01 的独立性检验,推断 H0 : 不成立。即认为熟悉程度与学历有关联 分
16. (15 分)
( I ) 设数列 an 的公差为 d ,当 n=1 时, S2=4S1,a2=2a1+1 ,解得: a1=1d=2 ,
∴an=2n−1 分
(II) bn=32n−1,b1=3,∵bn+1bn=9,∴bn 是以 3 为首项,9 为公比的等比数列, ∴Tn=31−9n1−9=39n−18 .
17. (15 分)
( I ) 根据正弦定理,在 △ABD,△ADC 中: BDsinα=ABsin∠ADB,3−BDsinβ=ACsin∠ADC ,
两式相比得: BD3−BD⋅sinβsinα=ABAC=sinCsinB ,
∵sinCsinα=2sinBsinβ,∴BD3−BD=2 ,即 BD=2 ; 7 分
(II) 根据余弦定理:
csπ3=AB2+AC2−BC22AB⋅AC ,解得: AB=23 ,
∵AB2+AC2=AB2,∴△ABC 为直角三角形,在 Rt△ACD 中 AD=2 . 15 分
18.(17分)
∵PA⊥ 平面 ABC,BC⊂ 平面 ABC ,
∴PA⊥BC
(I) ∵AB⊥BC,PA∩AB=A 分
∴BC⊥ 平面 PAB
∴ 平面 PAB⊥ 平面 PBC
( II ) (i) 以 AC 的中点为坐标原点, DB,DC 过 D 作平面 ABC 的垂线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建系,当 λ=12 时, M0,0,2,C0,2,0 ,设球 O0,0,t ,
由 OM=OC 得 t−22=2+t2∴t=12,∴ 外接球 O 的表面积 S=4π×94=9π;⋯9 分
(ii) 由 CM=λCP,P0,−2,4 ,可得 M0,21−2λ,4λ ,
由 OM=OC ,得 O0,0,3λ−1 ,
由 GA⊥AC∴GC 为球 O 的直径, ∴G0,−2,6λ−2,∴BG=−2,−2,6λ−2
∵P0,−2,4,PC=0,22,−4,BC=−2,2,0 ,
设平面 PBC 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅PC=0n⋅BC=0 ,解得 n=2,2,1 ,
设直线 BG 与平面 PBC 所成角为 θ ,则 sinθ=BG⋅nBGn=6λ−1259λ2−6λ+2 ,
设 λ−1=t ,则 sinθ=3t59t2+12t+5=355t+652+95 ,
∵λ∈0,1∴t∈−1,0,∴1t=−65 即 λ=16 时, sinθ=1 ,
∴ 直线 BG 与平面 PBC 所成角最大时 λ=16 . 17 分
19. (17 分)
(I) 由题意得 PM 为直径, ∴PN⊥MN,∴PN⋅MN=0 ,
PN=2,y,MN=−x,y,∴−2x+y2=0,∴E 的方程为 y2=2x . 4 分
( II ) (i) 设 Ax1,y1,Bx2,y2,AB 的斜率为 k ,
∴y12=2x1,y22=2x2 ,作差得 y1+y2y1−y2=2x1−x2,∴k=2y1+y2=1 ,
AB 方程为 y=x−112 代入 y2=2x ,得 y2−2y−11=0 ,
∴y1+y2=2,y1y2=−11,∴AB=1+1⋅4+44=46
AB 中垂线所在直线方程为 y=−x+152 代入 y2=2x ,得 y2+2y−15=0,y=3 ,或 y=−5 , y=3 时, C92,3 ,此时 CD=1+13−1=22≠32AB,△ABC 不是等边三角形,舍去. y=−5 时, C252,−5 ,此时 CD=1+11+5=62=32AB,△ABC 是等边三角形,符合题意.
综上可得, C 点坐标为 252,−5 . 分
(ii) A12,1 ,设直线 BC 的方程为 x=my+n ,可知 m≠0 ,代入 y2=2x ,得
y2−2my−2n=0,Δ=4m2+8n ,①
设 Bx3,y3,Cx4,y4,∴y3+y4=2m,y3y4=−2n ,
∴BC=1+m2⋅4m2+8n=21+m2m2+2n ,设 BC 中点 Hm2+n,m ,
要使 △ABC 为等边三角形,即 AH⊥BC,AH=32BC
∴kAH=m−1m2+n−12=−m,∴m3+mn+12m−1=0②
AH=1+1m2m−1 ,即 1+m2m⋅m−1=32⋅2⋅1+m2⋅m2+2n
整理得, m−12=3m2m2+2n③
由②③消去 n 得， 3m4+4m2−8m+1=0 ，即 m−13m3+3m2+7m−1=0
当 m=1 时, AH=0 不合题意,舍去.
当 m≠1 时,令 fm=3m3+3m2+7m−1,f′m=9m2+6m+7,Δ=36−4×630 ,满足 Δ=4m2+8n>0
所以存在唯一满足条件的正三角形 ABC . 分
以上各题的其他解法, 限于篇幅, 从略, 请酌情给分.熟悉程度
学历
合计
本科学历及以下
本科学历以上
熟悉
30
50
80
不熟悉
70
50
120
合计
100
100
200