新疆乌鲁木齐地区2026届高三上学期第一次质量监测数学试题（Word版附解析）

这是一份新疆乌鲁木齐地区2026届高三上学期第一次质量监测数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．若集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
2．复数 等于
A．i-1B．1-iC．1+iD．-1-i
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
7．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的极大值点是
C．在处的切线为
D．图象的对称中心是
10．两个具有相关关系的变量，的一组数据为，，，，其经验回归方程为，记，，相关系数为；若将数据调整为，，，，其经验回归方程为，记，相关系数为，则（ ）
附：，
A．B．
C．D．
11．双曲线左右焦点为，，为坐标原点，过点作斜率为的直线交双曲线左支于，两点，点在轴上方，且，则（ ）
A．
B．的离心率为2
C．的面积为
D．
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知，则的取值范围为
14．已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为
四、解答题
15．等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和.
16．椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积.
17．如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点.
(1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ；
(2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角.
18．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求曲线的对称轴；
(3)求的最大值和最小值.
19．某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为.
(1)求，；
(2)当.
（i）设，求；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论.
参考答案
1．C
【详解】由题意可知，.
故选：C
2．A
【详解】由题得.
故选：A
3．C
【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数的定义域为，不具有奇偶性，B不是；
对于C，函数的定义域为R，是偶函数，在上单调递增，C是；
对于D，函数是R上的奇函数，不是偶函数，D不是.
故选：C
4．D
【详解】因为，所以，因为，所以，A错误；
，因为，所以，则，，B错误；
因为，所以，C错误；
因为且，所以，则，即，所以，D正确.
故选：D
5．B
【详解】.
故选：B.
6．D
【详解】，，，
，
，
，
．
故选：D．
7．A
【详解】由题意，，，且，
∴圆的半径，即，而，
由抛物线的定义知：到的距离，
∴，即，解得，
故选：A
8．A
【详解】当时，，即为，
画出函数和在上的图象如图所示，
当时，，所以的解为；
当时，不满足；
当时，，即为，
画出函数和函数的图象如图所示，
当时，，所以的解为.
综上，的解为.
故选：A
9．BCD
【详解】，
对于A，，故A错误；
对于B，令，则，解得或，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点是，故B正确；
对于C，，，
所以在处的切线为，即，故C正确；
对于D，
，
所以图象的对称中心是，故D正确；
故选：BCD
10．BD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
11．ABD
【详解】设双曲线焦点，由
及双曲线定义得，
在中，由，得，由余弦定理得
，解得，
对于A，，A正确；
对于B，的离心率，B正确；
对于C，在等腰与中，，
解得，而，
，C错误；
对于D，在中，，D正确.
故选：ABD
12．/
【详解】解：因为，所以；
故答案为：
13．
【详解】因为，
所以令，则，所以，由的图象可知，
所以，，所以.
故答案为：.
14．/
【详解】依题意，圆锥的内接正四棱台的下底面正方形是圆的内接正方形，
上底面正方形的四个顶点在侧面上，该正四棱台的对角面所在平面截圆锥得其轴截面正，
，由正四棱台的上、下底面面积比为，得，
则，令圆锥的轴交正四棱台上底面于，则，而，
则正四棱台的高，该正四棱台的体积为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为是等差数列，由已知，，得，
所以，所以，所以；
（2）由题意可知：，所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题知，，解得：，所以椭圆方程为；
（2）因为，所以：，联立，
得，解得或，
因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以，
所以四边形的面积.
17．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）在三棱柱 中，取的中点，连接，由为的中点，
得，而，则，又为的中点，则，
而平面，平面，于是平面，平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由，得，而，则，
由，得，即，
故可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
则，
设平面的一个法向量，则，令，得，
而平面的一个法向量，因此，
所以平面与平面的夹角为.
18．(1)增区间是，减区间是
(2)
(3)当时，；
当，且为奇数时，.
【详解】（1）当时，，
令，解得.
令，解得.
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）当时，.
不妨设时，的对称轴方程为，由对称轴定义得，
令，得，
化简得，即，所以，
下面证明当时，恒成立，
因为
，
所以的对称轴方程为.
（3）当时，时，；
时，.
当时，，，
因为，且为奇数，单调递增，考虑一个周期，令，
当变化时，的变化如下表，
（接上表）
综上，当时，；
当，且为奇数时，.
19．(1)；
(2)（i）；（ii），证明见解析
【详解】（1）时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯，
，
时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯，第3个路口遇到绿灯，
；
（2）（i）根据题意，，
；
（ii），理由如下：
设随机变量是比少的个数,可取，
，
而，
所以，
所以，
所以，
设，则，
所以，0
0
0
+
0
1
减
增
1
减
0
+
0
0
+
0
增
减
增
1