新疆乌鲁木齐地区2026年高三上学期第一次质量监测数学试卷含答案（word版+pdf版）

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第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8} ，则集合 A∩B=
A. {2,3,4} B. {2,3} C. {2,4} D. {1,2,3,4,6,8}
2. 复数 2i1−i=
A. 1+i B. −1+i C. 1i D. −1−i
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 0,+∞ 上单调递增的是
A. y=x−1 B. y=x12 C. y=x2 D. y=x3
4. 若 a>b>c>0 ,则下列选项正确的是
A. ca>cb B. ba>b+ca+c C. 1a−c>1b−c D. ba−b>ca−c
5. 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60∘ ,则 2e1−e2=
A. 1 B. 3 C. 2 D. 7
6. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=45∘,B=75∘,c=23 ,则 △ABC 的面积为
A. 6 B. 2+3 C. 26 D. 3+3
7. 设抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，准线为 l ， A 为 C 上一点，以 F 为圆心， FA 为半径的圆交 l 于 P,Q 两点,若 ∠FPQ=30∘ ，且 △APQ 的面积为 3 ，则 p=
A. 22 B. 12 C. 33 D. 13
8. 已知函数 fx=1−x,xf−x 的解集是
A. −1,0∪1,+∞ B. −∞,−1∪0,1
C. −1,0∪0,1 D. −∞,−1∪1,+∞
二、选择题:本大题共3小题，每小题 6 分，共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=x−12x−2 ,则
A. f′1=1 B. fx 的极大值点是 x=1
C. ∫x 在 x=0 处的切线为 5x−y−2=0 D. fx 图象的对称中心是 43,−227
10. 两个具有相关关系的变量 x,y 的一组数据为 x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn ,其经验回归方程为 y=bx+a ,记 x=1ni=1nxi,y=1ni=1nyi ,相关系数为 r ; 若将数据调整为 x1,y1+2 , x2,y2+2,⋯,xn,yn+2 ,其经验回归方程为 y′=b′x+a′ ,记 y′=1ni=1nyi+2 ,相关系数为 r′ ,则
附: b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2
A. y=y′ B. b=b′ C. a=a′ D. r=r′
11. 双曲线 C:x2a2−y2b2=1u>0,b>0 左右焦点为 F1,F2,O 为坐标原点,过点 F1 作斜率为 15 的直线交双曲线左支于 P,Q 两点,点 P 在 x 轴上方,且 PQ=QF2 ,则
A. PF2=2PF1 B. C 的离心率为 2
C. △PQF2 的面积为 315a2 D. PO=6a
第 II 卷 (非选择题 共92分)
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知 sinα=35 ,则 sin2α+π2= _____.
13. 已知 lga4+lg2ab>0 的一个顶点是 B0,8 ， O 为坐标原点，离心率为 35 .
( I )求椭圆方程;
(II) P 是椭圆上 x 轴上方一点, F 是右焦点, PF 的斜率为 −43 ,求四边形 OFPB 的面积.
17. (15分)如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中， M ， P 分别为 A1B ， CM 的中点.
(I) 若点 Q 在线段 AA1 上，且 A1Q=3QA ,求证 PQ// 平面 ABC ；
( II )若 BA=BC=2,AC=CC1=CA1=22,A,B ，且两 ABC 与平面 BCC1B1 的夹角.

18. (17分)已知函数 fx=sinnx+csnx,n=2k+1,k∈N .
(I) 当 n=1 时,求 fx 的单调区间;
(II) 当 n=3 时,求曲线 fx 的对称轴;
(III) 求 fx 的最大值和最小值.
19. (17 分) 某人开车从 A 地到 B 地,依次路过编号为 1,2,⋯,n 的 n 个路口,每个路口等可能地遇到红灯或绿灯日相互独立，记 奇数号路口遇到红灯的次数为 X ，偶数号路口遇到红灯的次数为 Y ,记事件“ X6 (舍),所以 P5,43 ,
所以四边形 OFPB 的面积 S=SΔOFP+SΔOPB=12×6×43+12×8×5=20+123 . 15 分
17. (15 分)
(I) 取 BM 中点 E ,连接 EQ,EP ,因为 A1Q=3QA,A1E=3EB ,所以 EQ//AB ,
又因为 P 为 CM 的中点,所以 EP//BC ,所以平面 EPQ// 平面 ABC .
所以 PQ// 平面 ABC .
( II ) 因为 BA=BC,AA1=CA1,A1B=A1B ，所以 ΔA1BC≅ΔA1BA ，
又因为 A1B⊥AB ,所以 A1B⊥BC ,因为 BA=BC=2,AC=22 ,所以 AB⊥BC .
以 B 为坐标原点, BC 为 x 轴, BA 为 y 轴, BA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 B−xyz ,
因为 BC=2,CA1=22,A1B⊥BC ,所以 A1B=2 ,
则 B0,0,0,A0,2,0,C2,0,0,A10,0,2 ,所以 BC=2,0,0,BB1=AA1=0,−2,2 ,
设平面 BCC1B1 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
则 BC⋅n1=0BB1⋅n1=0 ,即 2x1=0−2y1+2z1=0 ,令 z1=1 ,得 n1=0,1,1 ,
又因为平面 ABC 的法向量 n2=0,0,1 ，
设平面 ABC 与平面 BCC1B1 的夹角为 θ ,则 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=22 ,
所以平面 ABC 与平面 BCC1B1 的夹角为 π4 .
18. (17 分)
( I ) n=1 时, fx=sinx+csx=2sinx+π4
由 x+π4∈−π2+2kπ,π2+2kπ ,得 x∈−3π4+2kπ,π4+2kπ
由 x+π4∈π2+2kπ,3π2+2kπ ,得 x∈π4+2kπ,5π4+2kπ
所以 n=1 时, fx 的增区间为 −3π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z ,
减区间为 π4+2kπ,5π4+2kπ,k∈Z . 4 分
(II) n=3 时, fx=sin3x+cs3x
不妨设 n=3 时, fx 的对称轴方程为 x=a ,由对称轴定义得 fx+a=f−x+a ,
令 x=π2 ,得 sin3π2+a+cs3π2+a=sin3−π2+a+cs3−π2+a ,
化简得 cs3a=sin3a ,即 tana=1 ,所以 a=π4+kπ,k∈Z
下面证明当 a=π4+kπ,k∈Z 时, f2a−x=fx 恒成立,
因为 f2a−x=fπ2+2kπ−x=sin3π2+2kπ−x+cs3π2+2kπ−x=cs3x+sin3x=fx , 所以 fx 的对称轴方程为 x=π4+kπ,k∈Z . 10 分
(III) 当 n=1 时, x=π4+2kπk∈Z 时, fxmax=2;x=5π4+2kπk∈Z 时, fxmin=−2
当 n≥3 时, fx=sinnx+csnx,f′x=nsinxcsxsinn−2x−csn−2x
因为 n≥3 ,且 n 为奇数, y=xn−2 单增,考虑一个周期 x∈0,2π ,令 f′x=0 ,
综上,当 n=1 时, fxmax=2,fxmin=−2 ;
当 n≥3 ,且 n 为奇数时, fxmax=1,fxmin=−1 . 7 分
19. (17 分)
(I) p2=PA2=12×12=14,p3=PA3=12×12×12=18 ; 4 分
(II) (i) 由题意可知, ξ∼B2k,12 ,所以 Eξ=2k×12=k ; 8 分
(ii) 记样本空间为 Ω ,则 nΩ=22k
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