河南方城县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二轮滚动测试数学试题（三）含答案

这是一份河南方城县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二轮滚动测试数学试题（三）含答案，共6页。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 (选择题 共 58 分)
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知全集 U={1,2,3,4,5} ，集合 A={1,3} ， B={2,3} ，则 A∩∁UB= ( )
A. {1} B. {3} C. {3,4,5} D. {1,3,4,5}
2. 向量 c=2a=2b ，且 a+b+c=0 ，则 sin⟨a−c,b−c⟩= ( )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
3. 现有 8 把相同的椅子排成一排, 甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座, 在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻(甲、乙、丙之间无空座)的概率为( )
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
4. 设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, △ABC 为等边三角形且其面积为 93 ，则三棱锥 D−ABC 体积的最大值为
A. 123 B. 183 C. 243 D. 543
5. 已知双曲线的左、右焦点为 F1,F2,P 为双曲线的右支上一点,直线 PF1 与左支交于点 A , 且 AP=AF2 ， ∠F1PF2 的平分线与 x 轴交于点 B ， F2B=25F2F1 ，则双曲线 C 的离心率为 ( ) .
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
6. 已知定义域为 0,+∞ 的单调函数 fx 满足: ∀x∈0,+∞,ffx−lgx=11 ,则函数 gx=fx−sinx−10 的零点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,若 Sn=2an+n ,则 a10= ( )
A. -1023 B. -100 C. 513 D. 2036
8. 已知函数 y=x,x≤mx2−2mx+4m,x>m 其中 m>0 ,若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 y=b 有 3 个不同的实根,则实数 m 的取值范围是( )
A. 00 平分圆 x2+y2−2x+4y+4=0 的周长,则 2a+1b 的最小值为_____.
14. 若 x>1 ,则函数 y=x+4x−1 的最小值_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
15. 已知函数 fx=exx2−2x−a .
(1)若 a=−1 ，求函数 fx 的极值；
(2)若函数 gx=fx−x 有两个零点，求 a 的取值范围.
16. 一个箱子中装有标号为 1∼6 的 6 个小球,这些小球除了标号不同,其他特征完全相同, 现从这个箱子中有放回地取球若干次, 每次抽取 1 个小球.
(1)若抽取 3 次，求第 3 次才取到 3 号小球的概率；
(2)若抽取 3 次，求 2 号小球至少被抽取 1 次的概率；
(3)若一旦抽到 3 号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于 4 的前提下，记停止取球时已取球的次数为 Y ,求 Y 的数学期望.
17. 如图，在 △ABC 中， AB=5 ， AC=2+2 ， D 为线段 AC 上一点， AD=2 ，
BD=5 ，过点 D 作 DE⊥AC ，交 BC 于点 E ，将 △CDE 沿 DE 翻折至 △PDE 的位置，使得 AP=2 .

(1)证明: AP⊥ 平面 PDE ；
(2)在线段 DE 上是否存在点 M ，使得平面 PBD 与平面 PBM 的夹角的余弦值为 7618 ？若存在,求出 DMDE 的值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的上顶点和两个焦点都在圆 E:x2+y−12=4 上. (1)求 C 的方程；
(2)若过 C 的右焦点 F 与圆 E 相切的直线与 C 交于 A,B 两点，求 AB ；
(3)若过 C 的右焦点 F 作两条直线与 C 在 x 轴下方分别交于 M 、 N 两点，且直线 FM ， FN 的斜率互为相反数,记直线 MN 的斜率为 m ,求证: 0m 在定义域内为增函数,
由图像可知,若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 fx=b 有三个不同的根,
则当 x=m 时, y=x 的值大于 y=x2−2mx+4m 的值,
因为 m>0 ,所以 m>m2−2m2+4m ,解得 m>3 ,故 B 正确.

故选: B.
9. ABC
根据复数实部的概念判断 A 的真假; 计算复数的模判断 B 的真假; 根据共轭复数的概念判断 C 的真假; 根据复数的几何意义判断 D 的真假.
对 A : 复数 z=3−4i 的实部为 3,故 A 正确;
对 B: 因为 z=32+−42=5 ,故 B 正确;
对 C : 根据共轭复数的概念, z=3+4i ,故 C 正确;
对 D: 因为 z 在复平面内对应的点的坐标为 3,−4 ,位于第四象限,故 D 错误.
故选: ABC
10. ACD
对于 A 选项, 通过中位线构造线面平行, 再由线线平行推导线面平行即可; 对于 B 选项, 先由棱台体积求出棱台高, 进而得到四棱锥高, 再通过勾股定理判断侧棱与对角线的垂直关系, 确定外接球球心, 再求得半径即可; 对于 C 选项, 取中点构造垂线, 将线面角转化为直角三角形内角, 再用余弦定义求解即可; 对于 D 选项, 利用等体积法, 将点到平面的距离转化为体积问题求解即可.
对于 A ,设 AC,BD 交于点 O ,连接 A1O ,易知 PC//A1O ,又 A1O⊂ 平面 A1BD , PC⊄A1BD ，则 PC// 平面 A1BD ，A 正确；
对于 B ,多面体 ABCD−A1B1C1D1 为四棱台， A1B1=2 ，设四棱台的高为 ℎ ，则四棱台
ABCD−A1B1C1D1 的体积 V=13ℎ4+16+4×16=2823 ,
得 ℎ=2 ,易知四棱锥 P−ABCD 的高 PO=22 ,故 PA=PB=PC=PD=4 ,又
AC=BD=42 ,易知 PA⊥PC,PB⊥PD ,
所以点 O 即为四棱锥 P−ABCD 的外接球球心,其半径 R=12AC=22, B 错误;
对于 C ,取 OC 中点 E ,连接 C1E ,则 C1E//PO,C1E⊥ 平面 ABCD ,则 ∠C1BE 即为直线 BC1 与底面 ABCD 所成的角,
又 C1E=2,BE=OB2+OE2=10,BC1=BE2+C1E2=23,cs∠C1BE=306,C 正确;
对于 D ,由 PA=PD=AD=4 ,得 △PAD 为正三角形, S△PAD=12PA×PD×sin∠APD=43 , 又 PO=22 ,
则 VP−ABD=13S△ABD×PO=1623 ,设点 B 到平面 PAD 的距离为 d ,
则 VB−PAD=VP−ABD=13S△PADd=433d=1623 ,解得 d=463 ,
所以点 B 到平面 PAD 的距离为 463,D 正确.
故选: ACD.

11. ACD
求导, 确定函数单调性再结合导数的几何意义逐项判断即可.
对于 A ,由 fx=x3−x+1 ,得 f′x=3x2−1 ,
令 f′x=0 ,则 x=±33 .
f′x0 得 x33 ,令 f′x0,b>0 ,
所以 2a+1b=122a+1ba+2b=124+4ba+ab≥4 ,
当 4ba=ab ,即 a=2b=1 时,等号成立.
故答案为: 4 .
14. 5
由基本不等式即可求解.
由于 x>1 ,则 x−1>0 ,故 y=x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2x−1⋅4x−1+1=5 ,当且仅当 x−1=4x−1 ,即 x=3 时取到等号,
故 y=x+4x−1 的最小值为 5,
故答案为: 5
15.(1) 当 a=−1 时, fx=exx2−2x+1 ,则 f′x=exx2−1 , 当 x 变化时, f′x,fx 的变化情况如下表所示:
当 x=−1 时,函数 fx 取得极大值,极大值为 4e ,
当 x=1 时,函数 fx 取得极小值,极小值为 0 .
(2)由题意知方程 fx=x 有两个根，即 a=x2−2x−xex 有两个根， 则直线 y=a 与曲线 y=x2−2x−xex 有两个交点,
设 ℎx=x2−2x−xex ,则 ℎ′x=2x−2−1−xex=x−12+1ex ,
当 x0,ℎx 在 1,+∞ 上单调递增,
则 ℎx≥ℎ1=−1−1e ,
当 x→−∞ 时, ℎx→+∞ ,当 x→+∞ 时, ℎx→+∞ .
综上, a 的取值范围是 −1−1e,+∞ .
16. 125216
(2) 91216
(3) 671216
(1)根据独立事件概率乘法公式直接求解即可;
(2)根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求解即可;
(3)分别计算出 Y 每个取值对应的概率，根据数学期望求解公式直接求解即可.
(1)每次抽球抽到 3 号小球的概率为 16 ，抽不到 3 号小球的概率为 56 ，
记事件 A : “抽取 3 次，第 3 次才取到 3 号小球”,
则 PA=562×16=25216 .
(2)每次抽球抽到 2 号小球的概率为 16 ，抽不到 2 号小球的概率为 56 ，
记事件 B :“抽取 3 次，2 号小球至少被抽取 1 次”，
∵PB=563=125216,∴PB=1−PB=1−125216=91216.
(3)由题意知:在停止取球时抽取的总次数不大于 4 的前提下， Y 所有可能的取值为
1,2,3,4,
PY=1=16; PY=2=56×16=536;
PY=3=562×16=25216; PY=4=563=125216;
∴Y 的数学期望 EY=1×16+2×536+3×25216+4×125216=671216 .
17.(1)证明:因为 DE⊥AC ，所以 DE⊥AD ， DE⊥PD ，
因为 AD∩PD=D ,且 AD,PD⊂ 平面 PAD ,所以 DE⊥ 平面 PAD .
又 AP⊂ 平面 PAD ,所以 DE⊥AP .
由题意易知 PD=DC=2+2−2=2 ,又 AP=2 , AD=2 ,
所以 AP2+PD2=AD2 ,则 AP⊥PD .
又 DE∩PD=D ,且 DE,PD⊂ 平面 PDE ,
所以 AP⊥ 平面 PDE .
(2)取 AD 的中点 O ，连接 OP,OB ，则 OP⊥AD,OB⊥AD ，
由( 1 )易证平面 PAD⊥ 平面 ABED ，平面 PAD∩ 平面 ABED=AD,OP⊂ 平面 PAD ，所以 OP⊥ 平面 ABED ,
又 OB⊂ 平面 ABED ,所以 OP⊥OB ,故 OB,OC,OP 两两垂直.
以 O 为原点,直线 OB,OC,OP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则 B2,0,0,P0,0,1,D0,1,0 ,
所以 PD=0,1,−1,BD=−2,1,0,PB=2,0,−1 .
设平面 PBD 的一个法向量 m=x,y,z ,
则 PD⋅m=0BD⋅m=0 ,即 y−z=0−2x+y=0 ,令 y=2 ,则 x=1,z=2 ,所以 m=1,2,2 .
易知 OB//DE ,所以 CDOC=DEOB ,又 OC=1+2,CD=2,OB=2 ,
所以 DE=CD⋅OBOC=2×22+1=4−22 .
设 Mt,1,00≤t≤4−22,BM=t−2,1,0 .
设平面 PBM 的一个法向量 n=a,b,c ,
则 PB⋅n=0BM⋅n=0 ,即 2a−c=0t−2a+b=0 ,令 a=1 ,得 b=2−t,c=2 ,所以 n=1,2−t,2 .
设平面 PBD 与平面 PBM 的夹角为 θ ,
则 csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nm⋅n=9−2t3×t2−4t+9=7618 ,
解得 t=1 或 t=−95 (舍去),此时 DMDE=14−22=2+24 ,
所以在线段 DE 上存在点 M 使得平面 PBD 和平面 PBM 的夹角的余弦值为 7618 ,且此时 DMDE=2+24.
18. (1) 对于圆 E:x2+y−12=4 ,
令 x=0 ,可得 y−12=4 ,解得 y=3 或 y=−1 ,可知椭圆 C 的上顶点为 0,3 ;
令 y=0 ,可得 x2+1=4 ,解得 x=±3 ,可知椭圆 C 的焦点为 ±3,0 ;
则 b=3,c=3 ,则 a=b2+c2=23 ,
所以椭圆 C 的标准方程为 x212+y29=1 .
(2)由题意可知: F3,0 ，圆 E 的圆心为 E0,1 ，直线 AB 与椭圆 C 必相交， 则 kEF=−33 ，可得直线 AB 的斜率 kAB=3 ， 则直线 AB 的方程为 y=3x−3 ,

设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
联立方程 y=3x−3x212+y29=1 ,消去 y 可得 5x2−83x=0 ,解得 x=0 或 x=835 ,
所以 AB=1+3835−0=1635 .
(3)由题意可知:直线 FM 的斜率存在且不为 0，

设直线 FM:x=ny+3,n≠0 ,则直线 FN:x=−ny+3 ,
联立方程 x=ny+3x212+y29=1 ,消去 x 可得 3n2+4y2+63ny−27=0 ,解得 y=−33n±63n2+13n2+4 ,
即 yM=−33n−63n2+13n2+4 ,同理可得 yN=33n−63n2+13n2+4 ,
则 yM+yN=−123n2+13n2+4,yM−yN=−63n3n2+4 ,
可得 m=yM−yNxM−xN=yM−yNnyM+3−−nyN+3=yM−yNnyM+yN=−63n3n2+4−123nn2+13n2+4=12n2+1 ,
因为 n2+1>1 ,则 00⇒φ′x=1−xex ,
当 x∈0,1 时， φ′x>0,φx 单调递增，
当 x∈1,+∞ 时, φ′x