福建南平市浦城县荣华实验高中2026届高三下学期三月月考数学试卷含答案

这是一份福建南平市浦城县荣华实验高中2026届高三下学期三月月考数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 z=−1+i ，则 zz+1= ( )
A. −1+i B. -i C. 1−i D. 1+i
2. 在平行四边形 ABCD 中, AB=1,AD=2,∠C=45∘ ,则 AB⋅BD−CD= ( )
A. -3 B. 1 C. 2 D. 3
3. 设 z=22+i ，则在复平面内， z 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若 a,b>0 ,且 ab=4a+b+5 ,则 ab 的最小值为 ( )
A. 5 B. 17 C. 25 D. 36
5. 如图,双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过点 F1 的直线交 C 的左支于 A,B 两点,若 AF1,AF2,BF2 成等差数列,且 cs∠AF2B=13 ,则此双曲线的离心率是( )

A. 102 B. 132 C. 333 D. 393
6.1,3,4,6,8,12的第 60 百分位数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 设 F1,F2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的左右焦点,过 F2 的直线交双曲线右支于 A,B 两点,若 F1A=AB ,则双曲线的离心率可以是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知 Sn 是公比不为 1 的等比数列 an 的前 n 项和,则 “ S2,S6,S3 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 m,n ，使得 am ， amn ， an 成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对于一个古典概型的样本空间 Ω 和事件 A 与 B ,其中
nΩ=36,nA=18,nB=12,nA∪B=24 ,则 ( )
A. nA∩B=8 B. PA∪B=23
C. 事件 A 与 B 互斥但不对立 D. 事件 A 与 B 相互独立
10. 如图,圆台的上下底面半径分别为 1 和 2,P,Q 分别为上下底面圆周上的点, ABCD 为圆台的轴截面且 AQ=2CP=2 ，则()

A. PQ 为母线
B. PQ=PB
C. AQ⊥PQ
D. 平面 PBQ 与平面 ABCD 的夹角等于 60∘
11. 已知等式 ab=eaa>0,a≠1 其中 e 是自然对数的底数,将 a 视为自变量 x(x>0 , x≠1) ， b 为 x 的函数，记为 y=fx ，则下列结论正确的是( )
A. fe=e
B. f3e 时,若 fx=k 的两实根为 x1,x2 ,则 x1+x2>2e
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 y2=3x 的焦点为 F ，点 M 在该抛物线上，且 MF=114 ，则 M 到 y 轴的距离为_____.
13. 已知 △ABC 的外心为 O,2AO=AB+AC ， AO=AB=1 ，则 AO⋅AC= _____.
14. 一个正八面体, 八个面分别标以数字 1 到 8 , 任意抛掷一次这个正八面体, 观察它与地面接触的面上的数字. 事件 A={1,2,3,4} ,事件 B={2,4,6,8} ,若事件 C 满足
PABC=PAPBPC,PC=PC∣A,PC≠PC∣B ,则满足条件的事件 C 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 sinBsinC+3sinAsinB=a2+c2bc .
(1)求 B 的大小；
(2)已知 sinA=3sinC ，证明: △ABC 是等腰三角形.
16. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， M 、 P 分别为 AA1 ， B1M 的中点，点 Q 在 AC1 上， 且 AQ=3QC1 .

(1)求证: PQ// 平面 A1B1C1 ；
(2)若 AA1=A1B1=B1C1=3 ， A1C1=2 ，求平面 B1QM 与平面 A1B1C1 夹角的余弦值.
17. 设数列 an 满足 a1=12,an+1=12an+12n+1,n∈N∗ .
(1)证明:数列 2n⋅an 为等差数列；
(2)若数列 an 的前 n 项和为 Tn ，求证: Tn0
(1)证明: fx 在区间 0,1a 上存在唯一的极小值点 x0 ；
(2)若极小值 fx0>0 ，证明: 00,b>0,ab=4a+b+5 ,得 ab−5=4a+b≥24ab ,
则 ab2−4ab−5≥0 ,解得 ab≥5 ,因此 ab≥25 ,
当且仅当 b=4a=10 时取等号,所以当 a=52,b=10 时, ab 取得最小值 25 .
故选: C
5. C
首先利用双曲线定义表示出 AF2,BF2,AF1,BF1 ,再由等差数列条件建立边长关系,最后在 △AF2B 中用余弦定理列方程，求出 a 与 c 的比例，得到离心率.
设 AF1=m ,则 AF2−AF1=2a ,令 BF2−BF1=2a ,即 AF2=m+2a .
因为 AF1,AF2,BF2 成等差数列,所以 2AF2=AF1+BF2
代入得: 2m+2a=m+BF2 ，解得 BF2=m+4a ，则 BF1=BF2−2a=m+2a .
所以 AB=AF1+BF1=m+m+2a=2m+2a ，
在 △AF2B 中, AB2=AF22+BF22−2⋅AF2⋅BF2⋅cs∠AF2B
即 2m+2a2=m+2a2+m+4a2−2⋅m+2am+4a⋅13
化简可得: m=2a .
所以 AF2=4a,BF2=6a,AF1=2a,BF1=4a,AB=6a .
因为 ∠AF1F2+∠BF1F2=π ,所以 cs∠AF1F2+cs∠BF1F2=0 ,
所以 AF12+F1F22−AF222AF1F1F2∣+BF12+F1F22−BF222BF1F1F2∣=0 .
所以 4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c+16a2+4c2−36a22⋅4a⋅2c=0
求得: c2=113a2 ,
所以 e=ca=113=333 .
故选: C.
6. B
由百分位数的计算公式即可求解.
6×60%=3.6 ,
所以第 60 百分位数为第 4 个数,即为 6 ,
故选: B
7. A
AF2=m ,结合条件,利用双曲线的定义可得 BF2=2a,BF1=4a ,由构成三角形的条件可得 4a+2a>2c ,即可求解.
如图,设 AF2=m ,
由双曲线的定义知 AF1−AF2=2a ,所以 AF1=m+2a ,又 F1A=AB ,所以 BF2=2a
又, BF1−BF2=2a ,则 BF1=4a ,在 △BF1F2 中, BF1=4a,BF2=2a,F1F2=2c ,
由 4a+2a>2c ,得到 e=ca1 ,所以 10,x≠1 ,故 y=xlnx ,
对于 A,fe=elne=e ,故 A 正确;
对于 B,f′x=lnx−1ln2x ,故 y=fx 在 e,+∞ 上, f′x>0,fx 单调递增;
在 1,e 和 0,1 上, f′x0 ,
因为 x+y2>x−ylnx−lny⇔lnx−lny>2x−yx+y⇔lnxy>2xy−1xy+1⇔lnxy−2xy−1xy+1>0 ,
设 xy=t,t>1 ,则问题转化为: lnt−2t−1t+1>0,t>1 .
令 gx=lnx−2x−1x+1 ,
所以 g′x=1x−2x+1−2x+1x+12=1x−4x+12=1x−x+12−4xxx+12=x−12xx+12>0 在 1,+∞ 上恒成立,
所以 gx 在 1,+∞ 上单调递增; 所以 gt>g1=0 ,
故 lnt−2t−1t+1>0,t>1 成立,所以 x+y2>x−ylnx−lny .
故 x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2=k>e ,
故 x1+x2>2e ,故 D 正确.
故选: ABD
12. 2
根据给定条件, 利用抛物线定义直接求出结果.
依题意,抛物线上点 M 到抛物线的准线 x=−34 的距离为 114 ,
所以 M 到 y 轴的距离为 114−34=2 .
故答案为: 2
13. 32
根据题意可得 △ABC 为 ∠A=90∘,∠B=60∘ 的直角三角形,求得边长及夹角,再利用向量的定义求数量积即可得解.

如图,根据平行四边形法则由 2AO=AB+AC 知,
O 为 BC 中点,又 △ABC 的外心为 O ,
所以 △ABC 为 ∠BAC=90∘ 的直角三角形,
又由 AO=AB=1 ,
所以 △ABO 为等边三角形， ∠ABO=∠BAO=60∘ ，
可得 ∠OAC=30∘ ， AC=3 ，
所以 AO⋅AC=AOACcs∠OAC=1×3×32=32 ,
故答案为: 32 .
14. 8
计算出 PA=PB=12 ,根据条件得到 nC=4nABC,nC=2nAC , nC≠2nBC ,故 C≠⌀ ,其中 AB={2,4},nAB=2 ,则 nABC=1 或 2,当 nABC=1 时, nC=4,nAC=2,nBC≠2 ,分 2∈C,4∉C 和 4∈C,2∉C ,两种情况,求出相应的 C,nABC=2 时,不合要求,从而得到答案.
事件 A={1,2,3,4} ,事件 B={2,4,6,8} ,故 PA=PB=12 ,
又 PABC=PAPBPC ,故 PABC=14PC ,即 nC=4nABC ,
因为 PC∣A=PACPA,PC=PC∣A ,
所以 PC=PACPA ,故 PAC=PAPC=12PC ,即 nC=2nAC ,
又 PC∣B=PBCPB,PC≠PC∣B ,
故 PBCPB≠PC ,所以 PBC≠PBPC ,
即 PBC≠12PC ,所以 nC≠2nBC ,故 C≠⌀ ,
其中 AB={2,4},nAB=2 ,则 nABC=1 或 2,
若 nABC=1 ,则 nC=4 ,
又 nC=2nAC ,故 nAC=2 ,
nC≠2nBC ,故 nBC≠2 ,
若 2∈C,4∉C ,可令 C={2,3,5,7} 或 C={1,2,5,7} 或 C={1,2,6,8} 或 C={2,3,6,8} ;
若 4∈C,2∉C ,可令 C={3,4,5,7} 或 C={1,4,5,7} 或 C={1,4,6,8} 或 C={3,4,6,8} ,
事件 A={1,2,3,4} ,事件 B={2,4,6,8}
若 nABC=2 ,则 nC=8 ,此时 C={1,2,3,4,5,6,7,8} ,
此时 nBC=4 ,故 nC=2nBC ,不合要求,舍去,
综上,满足条件的事件 C 的个数为 8 .
故答案为: 8
15.(1)在 △ABC 中，由 sinBsinC+3sinAsinB=a2+c2bc 及正弦定理，得 bc+3ab=a2+c2bc ， 整理得 b2=a2+c2−3ac ,由余弦定理得 csB=a2+c2−b22ac=32 ,而 0