重庆市第八中学2026届高三下3月月考数学试卷含答案

这是一份重庆市第八中学2026届高三下3月月考数学试卷含答案，共12页。
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知全集为 U ，集合 A 和集合 B 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为( )

A. ∁UA∩B B. ∁UA∩B
C. A∩B D. ∁UA∪∁UB
2. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4=4,S8=12 ,则 a13+a14+a15+a16=
A. 24 B. 32 C. 36 D. 108
3. 已知平面向量 a,b 为单位向量，且 a⊥b ，若 c=a+2b ，则 tan⟨b,c⟩= ( )
A. 12 B. 55 C. 255 D. 2
4. 瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理: 三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被称为三角形的“欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 △ABC ,使 AB=AC ,点 B3,−1 ,点 C−1,3 ,而且其“欧拉线”与圆 E:x−a+42+y−a2=r2 相切,则圆 E 的半径 r 为( )
A. 42 B. 32 C. 22 D. 2
5. 具有相关关系的变量 x 与 y 的一组样本数据如下,若已求得线性回归方程为 y=2.2x+4.4 ,则去掉其中某对样本数据 xi,yi ,样本相关系数 r 不会发生改变的是 ( )
(参考公式: 相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2⋅i=1nyi−y2
A. 1,6 B. 2,10 C. 3,11 D. 4,12
6. 随着社会经济的高速度发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利. 但与此同时, 人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升, 尤其是难以降解的塑料垃圾, 对地球环境造成了不可忽视的影响. 已知某种塑料垃圾自然分解率 v 随时间 t (年) 的关系近似满足 v=1−m⋅nt ( m,n 为常数, t∈[0,+∞) 且当 t=0 时, v=0 ),已知两年后,这种塑料垃圾分解率为 10%. 据此估计约 ( ) 年后, 这种塑料垃圾分解率能达到 95%？(参考数据: lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 60 B. 65 C. 70 D. 75
7. 如图所示, 对两行三列共 6 个相邻的格子进行染色, 每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有( )

A. 20 种 B. 19 种 C. 18 种 D. 17 种
8. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a+b=3 且 A=C−B2 ,则边 c 的最小值为( )
A. 65 B. 625 C. 95 D. 125
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选
错的得 0 分)
9. 已知随机事件 A,B,C 满足 PA=13,PB=12,PC=13,PA∪B=23 ,则下列说法正确的是( )
A. 事件 A,B 相互独立
B. PA∣B=PB∣A
C. 若 PAC=PAC ,则 PA∣C=12
D. 若 PC∣A+PC∣A=23 ,则 PAC=19
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在 △AB1D1 内(含边界)且 A1P=2 ，则以下结论正确的是( )

A. 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角是 π2 为 2 B. A1P 与平面 AB1D1 所成的线面角的正切值
C. 点 P 的运动轨迹长度为 263π 23,2 D. 点 P 到平面 ABCD 距离的取值范围是
11. 已知从双曲线的一个焦点发出的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线的反向延长线经过另一个焦点,记双曲线 C:x29−y216=1x≥3 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,右顶点为 A ,点 P 是双曲线右支上异于 A 的动点,以 P 为切点作 C 的切线 l ,过 F1 作 l 的垂线,垂足为 H ,一条从点 F1 发出的光线 F1P 经双曲线的右支反射后,反射光线的反向延长线与直线 F1H 交于点
Q,O 为坐标原点,则下列说法正确的是 ( )
A. 切线 l 平分 ∠F1PF2
B. OH=2
C. Q 点横坐标的取值范围为 75,11
D. 若 M,N 两质点以相同的速度沿不同的方向从 F1 同时出发，经双曲线右支反射后， M ， N 始终同在以 F2 为圆心的圆上
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 某中学有 2000 名学生参加考试,考试后数学成绩 X 近似服从正态分布 N100,σ2 ,若 P80≤X≤100=0.35 ，则估计学生数学成绩在 120 分以上的人数为_____.
13. 若实数 a,b 满足 lg4a2+b2−1=lg2ab ，则 a+b 的最大值是_____.
14. 若关于 x 的方程 xeax+e−ax=x2+1 至少有 2 个不同的根,则实数 a 的取值范围为_____.
四、解答题(共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 已知函数 fx=2sinωx−π6ω>0 的最小正周期为 π .
(1)若 α∈π12,π3 ， fα=65 ，求 csα−π12 的值；
( 2 )将函数 fx 的图象向右平移 π12 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的图象对应函数记为 gx ,求函数 y=gx 在 −π6,π3 上的值域.
16. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=32 ，且过点 2,12 ，圆 M 的圆心为 M1,0 ,半径为 22,O 为坐标原点.
(1)求椭圆 C 和圆 M 的标准方程；
(2)设斜率为 kk>0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点， N 为线段 PQ 的中点，点 N 在圆 M 上,且满足 ON⊥MN ,求直线 l 的斜率.
17. 已知 fx=−2x3+ax2 ,其中 a>0 .
(1)若 a=2 ，求函数 y=fx 在点 1,0 处的切线方程；
(2)对任意的 x1∈3,+∞ ,总存在 x2∈2,+∞ ,使得 fx1⋅fx2=2 ,求 a 的取值范围.
18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科. 如图,球 O 的半径为 3,A ,B,C 为球面上三点，劣弧 BC 的弧长记为 a . 设 Oa 表示以 O 为圆心，过 B,C 的圆，同理， 圆 Ob , Oc 的劣弧 AC,AB 的弧长分别记为 b,c ,球面 ABC (阴影部分) 叫做球面三角形.

甲

乙
(1)若平面 OAB 、平面 OAC 、平面 OBC 两两垂直，求球面三角形 ABC 的面积(直接写出答案, 无需证明);
(2)若平面三角形 ABC 为直角三角形， AC⊥BC ，设 ∠AOC=θ1,∠BOC=θ2,∠AOB=θ3 ，则: (i) 求证: csθ1+csθ2−csθ3=1 ;
(ii)延长 AO 与球 O 交于点 D ,若直线 DA,DC 与平面 ABC 所成的角分别为 π4,π3,BE=λBD , λ∈(0,1],S 为 AC 的中点， T 为 BC 的中点，设平面 OBC 与平面 EST 的夹角为 θ ，若 sinθ≤155 ,求平面 AEC 截球 O 的面积的最大值.
19. 设有穷数列 an:a1,a2,a3,…,ann≥2,n∈N∗ 满足 i=1nai=0 且 i=1nai=tt>0 ,则称其为 “ n 阶 – t 数列”.
(1)若“ 8 阶 -4 数列”: a1,a2,a3,…,a8 是递增的等差数列,求 a1 ;
(2)设“ n 阶 – t 数列”满足 a1≥a2≥a3≥⋯≥an .
(i) 记该“ n 阶 – t 数列”的前 r 项和为 Sr1≤r≤n . 证明: 数列 Sn:S1,S2,S3,⋯,Sn 不是“ n 阶 –t 数列”;
(ii) 证明: na1−an≥2t .
1. A
在阴影部分区域中任取一个元素 x ,则 x∈∁UA 且 x∈B ,或 x∈∁UA∩B 且 x∈B,
所以，图中阴影部分可表示为 ∁UA∩B 或 ∁UA∩B∩B .
故选: A
2. B
设等比数列的公比为 q . 若 S4=4,S8=12 ,则 a1+a2+a3+a4=4 ,
故 a5+a6+a7+a8=q4a1+a2+a3+a4=12−4=8 ,
4q4=8 ,所以 q4=2 ,
故 a13+a14+a15+a16=a1+a2+a3+a4q12=4×23=32 .
3. A
因为 a,b 为单位向量,且 a⊥b ,所以 a=1,b=1,a⋅b=0 ,
c=a+2b ,所以 c=a+2b2=a2+4a⋅b+4b2=1+4=5 ,
b⋅c=b⋅a+2b=a⋅b+2b2=2,
cs⟨b,c⟩=b⋅cbc=21×5=255, sin⟨b,c⟩=1−cs2⟨b,c⟩=1−2552=55,
tan⟨b,c⟩=sin⟨b,c⟩cs⟨b,c⟩=55255=12.
4. C
由已知 AB=AC ,所以 △ABC 是等腰三角形,
因为等腰三角形三线合一，所以欧拉线为边 BC 的高线.
因为 B3,−1,C−1,3 ,所以 BC 的中点坐标为 3+−12,−1+32 即 1,1 .
又因为 kBC=3−−1−1−3=−1 ,所以欧拉线的斜率为 1 .
所以欧拉线的直线方程为 y−1=1×x−1 ,即 x−y=0 .
又因为该欧拉线与圆 x−a+42+y−a2=r2 相切,所以有
a−4−a12+−12=42=22 ,即 r=22.
5. C
由题知 x=151+2+3+4+5=3,y=156+10+11+12+16=11 ,
所以数据的样本中心点为 3,11
所以去掉其中样本数据 3,11 ,样本相关系数 r 不会发生改变.
6. B
已知 v=1−m⋅nt ,当 t=0 时, v=0 ,所以 m=1 .
所以 v=1−nt . 由已知条件可知,当 t=2 时, v=10%
所以 10%=1−n2⇒n2=1−0.1=0.9 ,所以 n=0.9
所以 v=1−0.9t
当 v=95%=0.95 时,代入 v 和时间 t 的关系式有 0.95=1−0.9t⇒0.9t=0.05
两边同时取对数, tlg0.9=lg0.05⇒12tlg0.9=lg0.05⇒12tlg910=lg5100
化简得, 12t2lg3−1=lg5−2⇒12t2lg3−1=1−lg2−2
所以 t=−2lg2+12lg3−1
因为 lg2≈0.30,lg3≈0.48 ,所以 t≈−2×0.3+12×0.48−1=−2.6−0.04=65 .
7. D
第一行全蓝 (蓝蓝蓝): 第一行无红色, 第二行只需要满足自身相邻不能都红, 三个格子的染色共: 1(全蓝)+3(1个红)+1(2 个不相邻红) =5 种;
第一行只有第一个格子为红(红蓝蓝):第二行第一个格子不能为红(和第一行第一个红相邻),第二行格式为 蓝XY ,
要求 X、Y 不都红,共 3 种合法染色 (蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红);
第一行只有中间格子为红(蓝红蓝):第二行中间格子不能为红，第二行格式为( X 蓝 Y )， X、Y 无相邻限制,共 2×2=4 种合法染色;
第一行只有第三个格子为红(蓝蓝红):和第一种情况对称，共 3 种合法染色；
第一行两个红(红蓝红):第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)， X 可红可蓝,共 2 种合法染色.
所以总染色方法数: 5+3+4+3+2=17 种,故选 D.
8. D
∵A=C−B2 ,且 A+B+C=π ,
∴A=2C−π,B=2π−3C ,
∴C∈π2,2π3,csC∈−12,0 ,
由正弦定理得 a+bsinA+sinB=csinC ,
∴c=3sinCsinA+sinB=−3sinCsin2C+sin3C=−3sinCsin2C+sin2C+C
=−3sinCsin2C+sin2C+C=−3sinCsin2C1+csC+cs2CsinC
=−3sinC2sinCcsC1+csC+2cs2C−1sinC
=−34cs2C+2csC−1=−34csC+142−54,
则当 csC=−14 时,边 c 取得最小值 125 .
9. ACD
随机事件 A,B,C 满足 PA=13,PB=12,PC=13,PA∪B=23 ,
对于 A,PAB=PA+PB−PA∪B=13+12−23=16=PAPB ,事件 A,B 相互独立, A 正确;
对于 B,PA∣B=PABPB=13,PB∣A=PABPA=12,PA∣B≠PB∣A,B 错误;
对于 C,PAC+PAC=PC=13 ,则 PAC=16,PA∣C=PACPC=12,C 正确; 对于 D ,由 PC∣A+PC∣A=23 ,得 PACPA+PACPA=23 ,则 3PAC+3213−PAC=23 ,解得 PAC=19,D 正确.
10. BCD
对于 A ,在正方体中易知 BC1//AD1 且 AB1=AD1=D1B1=22 , 所以异面直线 AB1 与 BC1 所成的角即 ∠D1AB1 或其补角,显然 ∠D1AB1=π3 ,即 A 错误;
连接 A1C,A1C1 ,易知 B1D1⊥A1C1B1D1⊥CC1 ,
又 A1C1∩CC1=C1,A1C1、CC1⊂ 平面 A1C1C ,所以 B1D1⊥ 平面 A1C1C ,
而 A1C⊂ 平面 A1C1C ,所以 B1D1⊥A1C ,同理可知 AD1⊥A1C ,
即 A1C⊥ 平面 AB1D1 ,设垂足为 E ,取 D1B1 的中点 F ,连接 AF ,
则 VA1−AB1D1=13A1E×34×222=VA−A1B1D1=13×2×12×22 ,所以 A1E=233 ,
连接 EP ,由勾股定理可知 EP=A1P2−A1E2=63 ,
对于 B ,易知 A1P 与平面 AB1D1 所成的角为 ∠A1PE,∴tan∠A1PE=A1EEP=2 ,
故 B 正确;
对于 C ,由三棱锥 A1−AB1D1 为正三棱锥可知 E 为该正三角形的中心,
则 A,E,F 三点共线， AF=6,AE=263=2EF=2EP ，
所以 P 点轨迹为以 E 为圆心, 63 为半径的圆上,该圆即正三角形 AB1D1 的内切圆,
所以点 P 的运动轨迹长度为 263π ,故 C 正确;
对于 D ,假设 P 的轨迹圆与 AF 交于 G 点,由上可知 AG=GE=EF ,
而 F 到底面 ABCD 的距离为 2,所以 G 到底面 ABCD 的距离为 23 ,
由图形可知点 P 到平面 ABCD 距离的取值范围是 23,2 ,故 D 正确.


11. ACD
如图: 由双曲线光反射性质可知直线 PF1,PF2 关于切线 l 对称,

∴ 切线 l 平分 ∠F1PF2 ,故 A 正确;
∵PH⊥F1Q ， ∴H 为 F1Q 的中点， PF1=PQ ，又 O 为 F1F2 的中点， ∴OH=12QF2=12PQ−PF2=12PF1−PF2=3 ，故 B 错误； ∵OH=3,∴H 的轨迹方程为 x2+y2=9 ,
双曲线渐近线方程为 y=±43x ,
联立 x2+y2=9y=±43x ,解得 x=±95 ,
又因为点 P 是双曲线右支上异于 A 的动点,
所以 kPH>43 ,即 xH∈−95,3,F1−5,0 ,
H 为 F1Q 的中点,则 Q 点横坐标的取值范围为 75,11 ,故 C 正确;
设 M、N 行走的路程为 S ,经双曲线 P 点处反射后到达点 M ,
则 PF1+PM=S ,又 QF2=2OH=6 ,
∴MF2=PM+PQ−QF2=PM+PF1−6=S−6 ,
同理可得 NF2=S−6 ,
即 M,N 始终同在以 F2 为圆心的圆上,故 D 正确.
12. 300
因为 P80≤X≤100=0.35 ,
所以 P100≤X≤120=0.35 ,
所以 P80≤X≤120=0.7 ,
所以 PX≥120=1−P80≤X≤1202=0.15 ,
所以估计学生数学成绩在 120 分以上的人数为 2000×0.15=300 .
13. 2
由题可知, ab>0 ,所以 a,b 同号,
所以当 a>0,b>0 时, a+b 取得最大值,所以以下仅考虑 a>0,b>0 ,
因为 lg4a2+b2−1=lg2ab ,
所以 12lg2a2+b2−1=12lg2ab ,
所以 a2+b2−1=ab ,
所以 a2+b2−ab=1 ,即 a+b2=1+3ab ,
因为 ab≤a+b2 ,所以 ab≤a+b24 ,
所以 a+b2=1+3ab≤1+3a+b24 ,
整理得, a+b2≤4 ,解得 a+b≤2 ,
所以 a+b 的最大值是 2 .
故答案为:2.
14. −1e,0∪0,1e
因为 x=0 不是方程 xeax+e−ax=x2+1 的根,
又 eax+e−ax>0,x2+1>0 ,故 x>0 ,方程 xeax+e−ax=x2+1 化为 eax+1eax=x+1x ,
记 ℎx=x+1x ,因为函数 ℎx 在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增,
所以原命题等价于 ℎeax=ℎx 在 0,+∞ 上至少有 2 个不同的根,
所以 eax=x 或 eax=1x ,即 a=lnxx 或 −a=lnxx ,
令 gx=lnxx ,则 g′x=1−lnxx2 ,
所以 x∈0,e,g′x>0,gx 单调递增; x∈e,+∞,g′x