广东省广州市铁一中学2024-2025学年八年级数学下学期期中试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 要使得代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
2. 下列属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、分母含有二次根式，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数，满足条件，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含分母；故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3. 下列各式计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A．不是同类二次根式，不能进行加减计算，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确；
故选：D
4. 以下列长度为边的三角形，能判断为直角三角形的是（ ）
A. 1，2，B. 2，3，4C. ，，D. ，，3
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选： A.
5. 如图，中，D为中点，．若，，则的长度（ ）
A. 5B. 5.5C. 6D. 6.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出长，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
6. 小明在学习画一次函数的图像时，列表如下：
小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，进而得到时，，进行判断即可．
【详解】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，
∴当时，，
当时，，
故算错的函数值为；
故选：C．
7. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A. 当AC＝BD时，它是正方形
B. 当AC⊥BD时，它是矩形
C. 当∠ABC＝90°时，它是菱形
D. 当AB＝BC时，它菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC=BD时，它是矩形，故选项A不符合题意；
当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B不符合题意；
当∠ABC=90°时，它是矩形，故选项C不符合题意；
当AB=BC时，它是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 函数的图像与x轴的交点坐标是
B. 函数值随自变量的增大而减小
C. 函数的图像不经过第三象限
D. 函数的图像向下平移4个单位长度得到
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的增减性，一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像与平移进行分析判断即可．
【详解】解：A、当时，，解得，函数的图像与x轴的交点坐标是不是，故符合题意；
B、由于中的k＝−3＜0，可知函数值随自变量的增大而减小正确，故不符合题意；
C、由于中的k＝−3＜0，b＝4＞0，所以函数的图像不经过第三象限正确，故不符合题意；
D、一次函数的图像向下平移4个单位长度得到y＝−x＋4−4＝−3x正确，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数增减性、平移的性质以及一次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
9. 一次函数与正比例函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可．
【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意；
B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意；
C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意；
D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意．
故选：D．
10. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点．先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，求解，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用勾股定理解直角三角形即可得判断结论④．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，结论①正确；
平分，，
，
，
，
，
，
，
，结论②正确；
，
，
∴，
∴，即，故结论③正确；
如图，过点作于点，连接，

平分，，，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，
由垂线段最短得：当时，取得最小值，
此时在中，，
即的最小值是，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①②③④，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 已知正比例函数，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，注意x的系数不等于0是解题的易错点．
根据x的次数为1、系数不等于0列式计算即可．
【详解】解：根据题意得：，解得：．
故答案为：．
12. 已知点都在一次函数的图象上，则___________．（填“>”或“＜”）
【答案】>
【解析】
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据函数解析式可得y随x增大而减小，由即可得答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵点都在一次函数的图象上，，
∴，
故答案为：．
13. 在平行四边形中，，则的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据，进行列式计算，即可得解．本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，直线l上有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为36和64，则B的面积为_____．

【答案】100
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得，，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据勾股定理可得，由此即可得出答案．
【详解】如图，由题意得：，
，，
，
在和中，，
，
，
在中，，
则正方形B的面积为100，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
15. 如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，根据矩形和等边三角形的性质可得：，，，根据，即，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
等边的顶点与矩形的中心重合，
，，，
，即，
，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，为斜边的中点，为形外一点，，①若，则____；②若，，则的值为____．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】（1）直接利用斜边上的中线和勾股定理求解即可；
（2）将绕点旋转90度得到，连接，过点作，旋转结合勾股定理求出的长，根据四边形的内角和，结合旋转推出，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长，用求出的长．
【详解】（1）连接，
∵，，为斜边的中点，
∴，
∵为斜边的中点，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，，
∴为等腰直角三角形，
将绕点旋转90度得到，连接，过点作，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理，旋转等知识点，综合性质强，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是通过旋转构造特殊三角形．
三、解答题（共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）由二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，即可得到答案；
（2）先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，在计算除法，再计算减法运算，即可得到答案．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，在平行四边形中，已知M和N分别是边的中点，求证，四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，中点得到，进而得到，再根据，即可得证．
【详解】证明：∵平行四边形，
∴，
∵M和N分别是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
19. 如图，四边形中，，连接．
（1）求的长；
（2）求出四边形面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和可求．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得，
，
∴的长为；
【小问2详解】
解：，
，
是直角三角形，
，
∴四边形的面积为．
20. 小丽同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出了y与x的一些对应值．
（1）求鞋子的长度y与鞋子的码数x之间的函数解析式．
（2）当该品牌鞋子为41码时，鞋子的长度为____________．
【答案】（1）
（2）255
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
（1）根据待定系数法先求出函数解析式，
（2）将代入函数解析式求出相应的y的值，即可解答本题．
【小问1详解】
解：设y与x的函数解析式为，
∵点，在该函数图象上，
∴
解得
即y与x的函数解析式为，
【小问2详解】
由（1）得鞋子的长度y与鞋子的码数x之间的函数解析式为：，
当时，，
鞋子的长度为，
故答案为：255．
21. 如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成．
（1）写出A、B、C的坐标；
（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为，画出，并直接写出D点的坐标．
（3）在x轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）画图见解析，
（3）画图见解析，的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据A、B、C的位置可得其坐标；
（2）取格点，满足，，即可得到答案；
（3）如图，作关于轴对称的点，连接交轴于，则点即为所求．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
理由：∵，，
∴四边形为平行四边形；
∴；
【小问3详解】
解：如图，作关于轴对称的点，连接交轴于，则点即为所求，
理由：∵关于轴对称的点是，
∴，
∴，
此时，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查的是写出坐标系内点的坐标，画平行四边形，平行四边形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，熟练的作图是解本题的关键．
22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）96
【解析】
【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形；
（2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则．
【小问1详解】
证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点．
（1）点A的坐标是___________，点B的坐标是________；
（2）点D在直线上（D不与B重合），当的面积等于的面积时，求出点D的坐标；
（3）点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标；
（2），由题意可得，求出t的值即可求D点坐标；
（3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求．
【小问1详解】
解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点，
令，则；令，则，
∴，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得（舍）或，
∴；
【小问3详解】
设，
如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时，
∵，，
∴，，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
解得，
∴；
如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时，
由折叠可知，，，
∴，
在中，，
解得，
∴，
综上，或．
24. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标；
（3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可；
（3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
点D为对角线的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：矩形中点B的坐标为，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，点D为对角线的中点，
，
中边上的高为3，
，
，
点P的坐标为；
【小问3详解】
解：由（2）知，
．
以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设，
分三种情况：
当为对角线时，，
，
，，
，，
，，
；
当为对角线时，，
，
解得，（舍），
，
，，
，，
，，
；
当对角线时，，
，
解得，
，
，，
，，
，，
；
综上可知，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键．
25. 如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点，

（1）如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
（3）如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值．
【答案】（1）证明见解答过程
（2）点在运动过程中，的长度不变，值为
（3）的最小值为
【解析】
【分析】（1）连接，证，得，再证，则，即可得出结论；
（2）连接，如图2．首先证得，则有，只需求出的长即可得解；
（3）过点作，使，连接，过点作，交延长线于，证是等腰直角三角形，得，再证，得，则三点共线时，最短，即最短，然后由勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接，如图1所示：

∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：的长度不变．理由如下：
连接，与相交于点，如图2．

∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴，
∵，即，
，
在和中，
，
∴，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∴点在运动过程中，的长度不变，值为；
【小问3详解】
解：过点作，使，连接，过点作，交延长线于，如图3所示：

∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
在和中，
∴，
∴三点共线时，最短，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．…
0
1
2
…
…
7
2
…
码数x
33
36
39
42
长度
215
230
245
260