广东省广州大学附属中学南沙实验学校2024-2025学年八年级数学下学期数学期中卷（原卷版+解析版）

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1. 下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A. y＝2x2﹣2B. y＝﹣2x2﹣2C. y＝2 （x﹣2）2D. y＝（x+2）2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可.
【详解】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；
B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；
C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项不正确，不符合题意；；
D. y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；；
故选D
【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．
3. 如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，OD＝3，则AB的长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵⊙O的半径为5，OD＝3，
∵AD＝DB，
∴OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴BD＝
∴AB＝2BD＝8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是圆中的垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”，掌握垂径定理是解此题的关键.
4. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可进行解答．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握：左加右减，上加下减．
5. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）
A. a＞1B. a＞﹣2C. a＞1且a≠0D. a＞﹣1且a≠0
【答案】D
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．
【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
7. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．熟练掌握方程的根是使方程成立的未知数的值，利用整体思想进行化简，是解题的关键．根据根与系数的关系得到：，以及方程的根的定义得到：，将进行转化计算即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴
；
故选A．
8. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由是等腰直角三角形，，知是等腰直角三角形，设，则，可得，根据二次函数性质即可得到答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
时，最大，最大值是4，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是用含的代数式表达，熟练应用二次函数性质解决问题．
9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）

A. B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，利用图象判断即可．
【详解】解：如图，当时，
当时，；

A、，本选项不符合题意；
B、当时，，本选项不符合题意；
C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当时，，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），
∴对称轴x=，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间
∴-3＜c＜-2＜0，
∴0；故①正确；
∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），
∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∵b=-2a
∴c=，
∴-3＜＜-2，
∴﹣2＜b，故②错误；
∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；
∵a＞0，∴-a＜0
∵b=-2a
∴3a+2b=-a＜0
∴2c﹣a＞2（a+b+c），
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），
∴a+b+c=n，
∴2c﹣a＞2n；故④错误；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 一个扇形的半径长为，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的底面圆半径______．
【答案】
【解析】
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
即得，
所以圆锥的底面圆半径为．
故答案．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
12. 一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
详解】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
所以推算出a的值大约是12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13. 若二次函数y＝x2﹣4x+2m的最小值是0，则m＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】首先将二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点式，然后得到，解方程即可求出m的值．
【详解】解： ∵将二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点式为，
∵最小值是0，
∴，解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，解题的关键是把二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点式得到最小值．
14. 如图，内接于，将弧沿弦翻折，弧交弦于点D，连接，若，则的度数为______．
【答案】##68度
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，圆的内接四边形，三角形的内角和，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．根据折叠的性质和圆的内接四边形的性质可得，再根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：∵弧沿弦翻折，弧交弦于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意构造并证明，通过全等得到，再结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解；
【详解】如图，延长DH交EF于点k，
∵H是的中点
又
则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等三角形是解题的关键．
16. 当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：．
∵，
∴抛物线开口向下，
又，，
时，y取最小值，最小值为：，
图象在轴上方，
，
解得，
；
故答案为：．
三、计算题：本大题共2小题，共10分．
17. 用公式法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程．先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：．变形得：．
∵，
∴，
∴，
∴．
18. 关于x的一元二次方程．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若原方程的一个根是﹣1，求此时m的值及方程的另外一个根．
【答案】（1）m＜0且m≠﹣1；（2）m=﹣4，方程的另一个根是﹣．
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解此不等式即可求得m的取值范围；
(2)把x=−1代入原方程，求得m值及另一个根．
【详解】（1）根据题意得m+1≠0且△=m2﹣4（m+1）•m＞0，
解得：m＜0且m≠﹣1；
（2）把x=﹣1代入方程得m+1﹣m+m=0，解得：m=﹣4，
方程变形为﹣3x2﹣4x﹣1=0，即3x2+4x+1=0，解得：x1=﹣，x2=﹣1，
所以方程的另外一个根为﹣．
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△