初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）用多种正多边形学案

这是一份初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）用多种正多边形学案，共7页。学案主要包含了知识链接，合作交流，课堂练习，【作业布置】等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1.使学生理解多种正多边形能够铺满地面的数学道理，掌握两种及两种以上的正多边形能够铺满地面的种类.
2.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力．
学习重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.
学习难点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键.
► 预习自测
一、知识链接
1.在同种正多边形中，可以铺满地板的有哪些？
2.用同种正多边形瓷砖铺满地面，既能不留空隙，又不重叠的关键是什么？


自学自测
1.下列正多边形的组合中,不能铺满地面的是( )
A.正方形和正三角形 B.正方形和正八边形
C.正三角形和正十二边形 D.正方形和正六边形
2.用三个不同的正多边形能铺满地面的是( )
A.正三角形、正方形、正五边形 B.正三角形、正方形、正六边形
C.正三角形、正方形、正七边形 D.正三角形、正方形、正八边形
3.小芳家装修时,选择了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用一种八边形地砖是不能铺满地面的,便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面铺满,小芳应选择另一种形状的地砖是( )
► 教学过程
一、创设情境、导入新课
小亮在观察了用相同的正多边形的地面铺设方案后觉得图形太过简单，单调，他想若用两种或两种以上的正多边形铺设的话更美观，你有什么设计方案吗？
二、合作交流、新知探究
探究：新知探究
教材第102页：
探究一、两种正多边形组合
如图 8.3.3, 用正三角形和正六边形也能铺满地面. 类似的情况还有吗?
总结：两种组合：正三角形与正方形；正三角形与正六边形；正三角形与正十二边形；正方形与正八边形.
铺满地面关键：当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.
探究二、三种正多边形组合
现以图 8.3.5 为例, 观察一下其中的关系. 正十二边形的一个内角为 (12−2)×180°2 = 150°, 正六边形的一个内角为120°, 正方形的一个内角为 90°, 三者之和恰为一个周角360°. 实际上, 这三种正多边形结合在一起正好能铺满地面.
其他图形是否也满足这一条件?
探究三：例题讲解
例：用正五边形、正十边形铺设地面，能铺满整个地面吗？
易错点：
有时几种正多边形的组合虽然能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面。
如正五边形和正十边形的组合.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1.现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正六边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A.正七边形B.正五边形 C.正四边形D.正三角形
2.如果用边长相同的正三角形和正六边形两种图形铺满平面，那么一个顶点处需要（ ）
A.三个正三角形，两个正六边形 B.四个正三角形，两个正六边形
C.两个正三角形，两个正六边形 D.三个正三角形，一个正六边形
3.小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面.现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 .（填一种即可）
4.下列组合不能密铺平面的是（ ）
A.正三角形、正方形和正六边形 B.正三角形、正方形和正十二边形
C.正三角形、正六边形和正十二边形 D.正方形、正六边形和正十二边形
选做题：
5.下列美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（ ）
6.在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，任选两种正多边形铺设地面，这样的组合最多能找到（ ）
A.2组B.3组 C.4组 D.5组
7.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……以此类推，第6层中含有正三角形个数是 个，第n层中含有正三角形个数是 个.
【综合拓展类作业】
8.在数学活动课上，研究用正多边形镶嵌平面.请解决以下问题：用两种正多边形镶嵌平面.
若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形，请画出两种不同的摆放方案.
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：铺满地面关键：当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.
注意事项：有时几种正多边形的组合虽然能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面。如正五边形和正十边形的组合.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1．能够铺满地面的正多边形组合是( )
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正五边形 D．正三角形和正方形
2．如图所示是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是________．
3．如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是________．
4．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
选做题：
5．用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形(m、n为正整数)，则m＋n的值为( )
A．4 B．3 C．6 D．5
6．如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为________．
【综合拓展类作业】
7.相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题．
(1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
(2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺？请说明理由．
答案：
自学测试：
1.D;2.B;3.B.
课堂巩固：
1.D;2.C;3.4(答案不唯一)
4.C;5.D;6.B
7.66,(12n-6);
8. 解：边长相等的正三角形和正方形镶嵌平面，两种不同的摆放方案，如图所示.（答案不唯一）
作业布置：
1．D 2.6
3．正十二边形
4．D 解析：设正多边形地砖的边数是n，则正多边形的一个内角＝(360°－60°)÷2＝150°，则150°n＝(n－2)·180°，解得n＝12.故选D.
5．D 解析：∵正三角形和正方形的一个内角分别是60°，90°，∴60m＋90n＝360，且m、n为正整数，∴m＝3，n＝2.∴m＋n＝5.故选D.
6．120° 解析：正六边形内角和为 (6－2)×180°＝720°，所以每个内角度数为720°÷6＝120°.所以∠ABC＝360°－120°×2＝120°.
7．解：(1)能．理由如下：
∵正三角形的内角和为180°，
∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°.
∵360°÷60°＝6，
∴正三角形能镶嵌成一个平面图形．
(2)能．理由如下：
∵正十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°，
∴正十二边形的每一个内角为1 800°÷12＝150°.
∵150°×2＋60°＝360°，
∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．