湖北襄阳市第四中学2026届高三下学期数学综合测试含答案

这是一份湖北襄阳市第四中学2026届高三下学期数学综合测试含答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合 A={−1,0,1,2},B={x∣−2c .
故选: C
6. A
依题意可确定 n=6 ,再结合通项公式即可求解.
因为二项式 2x−1n 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大,
所以 n=6 ,所以 2x−16 的展开式的通项为 Tr+1=C6r2x6−r−1r ,
令 6−r=3 ,得 r=3 ,故 T3+1=C632x3−13=−160x3 ,
故展开式中 x3 的系数为 -160 .
7. D
先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径, 结合侧棱相等得到高, 再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径, 最后计算表面积.
设点 P 在底面 ABC 的投影为 O′ ,因为 PA=PB=PC ,
所以点 O′ 是 △ABC 的外心，则 O′A=O′B=O′C ，且 PO′⊥ 底面 ABC ，球心 O 在 PO′ 上，
由正弦定理得 △ABC 外接圆的直径径 2r=BCsin∠BAC=332 ，解得半径 r=1 ，
即 O′A=O′B=O′C=1 ,则 PO′=22−12=3 ,
设 OO′=d ,外接圆半径为 R ,则 R=PO=3−d ,
则 OA=d2+O′A2 ,且 OA=PO=R ,
则 3−d=d2+1 ,解得 d=33 ,则外接球半径 R=3−33=233 ,
则三棱锥 P−ABC 外接球的表面积为 4π2332=16π3 .

8. C
将所求函数式展开, 代入已知条件, 转化成二次函数求最小值问题.
因为 fx=i=110xi−x2=i=110xi2−2xxi+x2=i=110xi2−2xi=110xi+10x2 , 而 i=110xi=90,i=110xi2=1000 ,则得 fx=10x2−180x+1000 . 所以当 x=1802×10=9 时, fxmin=f9=10×92−180×9+1000=190 .
9. ABD
根据函数 fx 的图象,利用三角函数的性质,求得 fx=csπx+π4 ,结合三角函数的对称性, 以及图象变换, 逐项判断, 即可求解.
A ,由函数 fx 的图象,可得 12T=54−14=1 ,可得 T=2 ,所以 ω=2πT=π ,所以 A 正确;
B,由 f14=0 ,可得 csπ×14+φ=0 ,可得 π4+φ=π2+2kπ,k∈Z ,
解得 φ=π4+2kπ,k∈Z ,因为 φ0 ,且 x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1 ,
则 y1y2=kx1−1⋅kx1−1=k2x1x2−k2x1+x2+k2=k2−k2×2k2+4k2+k2=−4 ,
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=1+−4=−3≠0 ,所以 A 错误;
对于 B ,由抛物线 y2=4x 的焦点为 F1,0 ,直线 l 的斜率为 k ,
则过 F 且垂直于 l 的直线的斜率为 −1k ,其方程为 y=−1kx−1 ,
令 x=−1 ,可得 y=2k ,所以 D−1,2k ,则 DA=x1+1,y1−2k,OB=x2+1,y2−2k ,
所以 DA⋅DB=x1+1x2+1+y1−2ky2−2k=x1x2+x1+x2+1+y1y2−2ky1+y2+4k2 ,
又由 y1+y2=kx1−1+kx2−1=kx1+x2−2k=k×2k2+4k2−2k=4k ,
所以 DA⋅OB=1+2k2+4k2+1−4−2k×4k+4k2=2k2+4k2−4k2−2=0 ,所以 B 正确;
对于 C ,由抛物线的定义,可得 AF=x1+1,BF=x2+1 ,
因为 AF=2BF ,可得 x1+1=2x2+1 ,即 x1=2x2+1 ,
因为 x1x2=1 ,代入可得 2x2+1⋅x2=1 ,即 2x22+x2−1=0 ,
解得 x2=12 或 x2=−1 (舍去),则 x1=2 ,
将 x1=2 代入抛物线的方程，可得 y1=22 或 y1=−22 (舍去)，所以 A2,22 ，
此时直线 l 的斜率为 k=kAF=22−02−1=22 ,所以 C 正确;
对于 D ,由抛物线 C 的焦点为 F1,0 且 D−1,2k ,
可得 DF=−1−12+2k−02=4+4k2 ,
因为 DF=433 ,可得 4+4k2=433 ,整理得 4k2=43 ,解得 k2=3 ,
又因为 k>0 ,所以 k=3 ,所以 D 正确.

11. ACD
对于 A ,取 n=2 ,则不存在 m∈N∗ ,使得 an≤SmG0=0 ,
即 fx1+x2>fx1+fx2 ,命题得证.
19. 1x22−y2=1
(2)①0 ；(②存在，且点 Q1,0 .
(1) 利用点到直线的距离公式求出 b 的值,将点 P 的坐标代入双曲线 C 的方程,求出 a 的值,即可得出双曲线 C 的方程;
(2)①设点 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，设直线 AB 的方程为 y=−x+m ，将该直线方程与双曲线 C 的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线 AP 、 BP 的斜率之和；
② 设 △PAB 的外接圆方程为 x2+y2+sx+ty+n=0 ，分析可知方程
2x2+s−t−2mx+m2+tm−n=0 与方程 x2−4mx+2m2+1=0 为同解方程,可得出关于 s、t、n 的方程组,解出 s、t ,可得出点 M 的坐标,求出直线 MP 的方程,当 PQ⊥MP 时, 求出直线 PQ 的方程,取点 Q 为直线 PQ 与 x 轴的交点,结合勾股定理可得出结论.
(1) 双曲线 C 的右焦点为 Fc,0 ,双曲线 C 的渐近线方程为 y=±bax ,即 bx±ay=0,
所以焦点 F 到一条渐近线的距离为 bcb2+a2=bcc=b=1 ,
因为点 P2,1 在双曲线 C 上,所以 4a2−1=1 ,解得 a=2 ,
故双曲线 C 的标准方程为 x22−y2=1 .
(2)① 设点 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，设直线 AB 的方程为 y=−x+m ， 因为点 P 不在直线 AB 上,则 m−1≠2 ,可得 m≠3 ,
联立 y=−x+mx22−y2=1 可得 x2−4mx+2m2+1=0 ,
则 Δ=16m2−8m2+1=8m2−1>0 ,解得 m1 ,
由题意可得 x1+x2=4m>0x1x2=2m2+1>0 ,所以 m>1 且 m≠3 ,
所以 kAP+kBP=y1−1x1−2+y2−1x2−2=−x1+m−1x1−2+−x2+m−1x2−2=m−3−x1−2x1−2+m−3−x2−2x2−2
=m−3x1−2+m−3x2−2−2=m−3x1+x2−4x1−2x2−2−2=m−3x1+x2−4x1x2−2x1+x2+4−2
=m−34m−42m2+1−8m+4−2=4m−1m−32m−1m−3−2=0,
即直线 AP、BP 的斜率之和为 0 .
② 设 △PAB 的外接圆方程为 x2+y2+sx+ty+n=0 ，
则 5+2s+t+n=0x12+y12+sx1+ty1+n=0x22+y22+sx2+ty2+n=0 ,
由 y1=−x1+m 代入 x12+y12+sx1+ty1+n=0 ,
可得 x12+m−x12+sx1+tm−x1+n=0 ,
可得 2x12+s−t−2mx1+m2+tm+n=0 ,
同理可得 2x22+s−t−2mx2+m2+tm+n=0 ,
所以 x1、x2 为关于 x 的方程 2x2+s−t−2mx+m2+tm−n=0 的两根,
又因为 x1、x2 为关于 x 的方程 x2−4mx+2m2+1=0 的两根,
所以方程 2x2+s−t−2mx+m2+tm−n=0 与方程 x2−4mx+2m2+1=0 为同解方程,
所以 s−t−2m=−8mm2+tm−n=4m2+1,5+2s+t+n=0 解得 s=−3m−3t=3m−3 ,
易知点 M−s2,−t2 ,即点 M3m+32,3−3m2,kMP=1−3−3m22−3m+32=3m−11−3m=−1 ,
所以直线 MP 的方程为 y−1=−x−2 ,即 y=−x+3 ,
当 PQ⊥MP 时,直线 PQ 的方程为 y−1=x−2 ,即 y=x−1 ,
直线 y=x−1 与 x 轴的交点为 1,0 ,不妨取点 Q1,0 ,此时 PQ⊥MP ,
则 MQ2−MP2=PQ2=2−12+1−02=2 ,
故在 x 轴上存在定点 Q1,0 ,使得 MQ2−MP2 为定值 2 .
X
0
1
2
3
P
1 125
12 125
48 125
64 125
X
0
1
2
3
P
1 125
12 25
48 125
64 125