初中华东师大版（2024）三元一次方程组及其解法导学案

这是一份初中华东师大版（2024）三元一次方程组及其解法导学案，共6页。学案主要包含了知识链接，合作交流，课堂练习，【作业布置】等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：1.知识与技能：使学生掌握三元一次方程组的加减法解法，能够准确选择消元变量，将三元一次方程组转化为二元一次方程组并求解。
2.过程与方法：通过实例分析，引导学生观察方程特点，合理选择消元步骤，培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
学习重点： 掌握三元一次方程组的加减法解法，能够准确选择消元变量并求解。
学习难点： 根据方程组特点，合理选择消元变量和步骤，简化计算过程。
► 预习自测
一、知识链接
1.三元一次方程组x+y=3y+z=5x+z=4，的解为（ ）
A．x=1y=3z=2B．x=2y=1z=3C．x=3y=2z=1D．x=1y=2z=3
自学自测
2.解方程组2x−3y+2z=2,①3x+4y−2z=5,②4x+5y−4z=2,③，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组5x+y=78x−y=6，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
A．①+②①×2+③B．①+②②×2−③C．①+②①×2−③ D．②×2−③①×2+③
► 教学过程
一、创设情境、导入新课
解方程组：
3x+3y=7,4x−y=5,
（提示：尝试用代入消元法或加减消元法）
回答：
消元法的核心思想是什么？
如何选择优先消去的变量？
系数特征对消元步骤的简便性有何影响?
二、合作交流、新知探究
探究一： 典例精析
例 2 解方程组:
3x+4y−3z=3,2x−3y−2z=2,5x−3y+4z=−22.
分析 三个方程中未知数的系数都不是 1 或 -1 ,用代入消元法比较麻烦, 可考虑用加减消元法求解. 解 ③ - ②,得
_________________________
即
___________________
① ×3+ ② ×4 ,得
__________________________
即
___________________
得方程组
_______________________
解得
___________________
把 x=___,z=____ 代入方程②,得 y=_____ .
所以原方程组的解是
________________
能否先消去 z (或 x )? 怎么做? 比较一下, 哪个更简便?
探究二：新知导入
上述例 1 和例 2 的解答分别应用了代入消元法和加减消元法, 先消去某一个未知数, 将三元一次方程组转化为二元一次方程组, 然后解所得的二元一次方程组,得到两个未知数的值,进而求出第三个未知数的值,从而得到原方程组的解.
拓展：
1.解三元方程组时，若先消去某变量，应优先选择：
A. 系数最大的变量
B. 系数成倍数关系的变量
C. 常数项最大的变量
2.若 x2=y3=z4，且 x+y+z=27，则 z=____：
A. 8
B. 12
C. 16
三、课堂练习
【必做题】
1.解方程组x+y+z=6,2x−y+z=3,3x+2y−z=4.，​第一步消去哪个变量最简便？
A. x B. y C. z
2. 方程组 x+y=5,y+z=7,x+z=8. 的解为：
A. x=3,y=2,z=5
B. x=2,y=3,z=4
C. x=4,y=3,z=5
3.解方程组：2x−y+z=3,2+3y−2z=4,3x+y−z=8.
【选做题】
4．已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝27，,y＋z＝33，,x＋z＝20，))则x＋y＋z的值是( )
A．80 B．40 C．30 D．不能确定
5．已知关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝k，,x＋2y＝－1))的解互为相反数，则k的值是____．
【综合拓展作业】
6．解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋2z＝3，,2x＋y－4z＝11，,7x＋y－5z＝1，))若要使运算简便，消元的方法应选取( )
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
总结反思、拓展升华
1.三元一次方程组的概念：含有三个未知数、每个方程都是一次方程且含有三个未知数的方程组。
2.加减法解三元一次方程组的原理：通过加减运算，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再求解。
3.选择消元变量的策略：优先选择系数成倍数关系或易于消去的变量。
4.代入法解三元一次方程的步骤（虽然重点在加减法，但此处为补充完整信息）
选择一个方程：通常选择一个含有两个未知数且易于求解的方程。
解出一个未知数的表达式：利用方程求解出一个未知数的表达式（用其他未知数表示）。
代入其他方程：将求得的表达式代入其他方程中，消去该未知数，得到二元一次方程组。
求解二元一次方程组：利用二元一次方程组的解法求解剩下的两个未知数。
回代求解：将求得的未知数值代入原方程中，求解最后一个未知数。
五、【作业布置】
【必做题】
1.解方程组x+y+z=6,2x−y+z=3,3x+2y−z=4.，​第一步消去哪个变量最简便？
A. x B. y C. z
2. 方程组 x+y=5,y+z=7,x+z=8. 的解为：
A. x=3,y=2,z=5
B. x=2,y=3,z=4
C. x=4,y=3,z=5
3.解方程组：2x−y+z=3,2+3y−2z=4,3x+y−z=8.
【选做题】
4．已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝27，,y＋z＝33，,x＋z＝20，))则x＋y＋z的值是( )
A．80 B．40 C．30 D．不能确定
5．已知关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝k，,x＋2y＝－1))的解互为相反数，则k的值是____．
【综合拓展作业】
6．解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋2z＝3，,2x＋y－4z＝11，,7x＋y－5z＝1，))若要使运算简便，消元的方法应选取( )
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
答案
1.答案：C
2.A
3.答案：x=2，y=1，z=0
4.B
5.-1
6.B
【作业答案】
1.C
2. 解：(1)①＋②，得2x＝－2，解得x＝－1.
③－①，得2y＝4，解得y＝2.
将x＝－1，y＝2代入①，得z＝5.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，,z＝5.))
(2)①－③得2x－2y＝－2，④
①＋②得5x＋2y＝16，⑤
④＋⑤得7x＝14，∴x＝2，
把x＝2代入④中得4－2y＝2，
∴y＝3.
把x＝2，y＝3代入③中，得2＋3＋z＝6，∴z＝1
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，,z＝1.))
3. 解：解关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,3x＋5y＝m＋2，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2m－11，,y＝7－m.))
∵x＋y＝1，
∴2m－11＋7－m＝1，解得m＝5.
4. 解：设原来的三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝13，,y－x＝2，,100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，,z＝3.))
故原来的三位数为364.