数学七年级下册（2024）三元一次方程组及其解法教案

这是一份数学七年级下册（2024）三元一次方程组及其解法教案，共8页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本节课《三元一次方程组及其解法》是华师版初中数学七年级下册第六章第三节内容．本课在学生学习了二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念后，进一步深入学习三元一次方程、三元一次方程组及其解法组的解．通过本课的学习，加深学生对消元的认知，感受“消元”的思想．

二、学情分析
在本节课的学习中，学生已经具备了方程组的基础知识，对方程组的概念有了初步详细的了解．然而，在面对多元题目还不能迅速的做出判断，找出应消去的未知数．因此，在教学过程中，要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律．

三、教学目标
1．了解三元一次方程组的概念．
2．会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决．
3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．
4．让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法．

四、教学重难点
重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想．
难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元．

五、教学过程
情境导入
在6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数．
在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分，已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决．
小明同学提出了一个新的思路：
问题中有三个未知数，如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？
分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得x+y+z=10 ①3x+y=18 ②x=y+z ③
像这样的方程组称为三元一次方程组．
怎样解三元一次方程组呢？
回忆一下二元一次方程组的解法，从中得到什么启示？
师生活动：学生独立思考，再小组交流，最后呈现答案．
设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题．
复习回顾
解二元一次方程组的基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？
答：我们知道，解二元一次方程组的基本思想是“消元”：消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解．方法有代入消元法和加减消元法．
师生活动：采用教师问学生答．
设计意图：通过提前布置预习作业，培养学生建立清晰的知识体系，不仅回顾了知识点也为学生接下来学习新课做铺垫．
探究新知
活动一：三元转换为二元解决问题
问题1：如何解情境导入中的三元一次方程组？
对于三元一次方程组，同样可以先消去某一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或一元一次方程）求解．
注意到方程③中，x是用含y和z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可以消去x，得到2y+2z=10 ④4y+3z=18 ⑤
（化归思想在这里进一步得到体现，你体会到了吗？）
这是一个关于y、z的二元一次方程组，解得
y=3z=2
将y=3z=2代入方程③中，可得x=5
所以这个三元一次方程组的解是x=5y=3z=2
什么叫三元一次方程？
在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
必备条件：
(1)是整式方程；
(2)含三个未知数；
(3)所含未知数的项的次数都是1．
什么叫三元一次方程组？
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
(1)是整式方程；
(2)含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
(4)联立在一起．
上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y+z？比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？
设计意图：引导学生观察方程组中相应方程之间的关系，从而培养学生爱探索的好习惯．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
概念归纳：
解三元一次方程组的步骤：
1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.
2.解二元一次方程组.
3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.
【教学说明】结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路．
活动二：选择适当的方法解方程组
问题2：解方程组3x−y+2z=32x+y−4z=117x+y−5z=1 ，若要使运算简便，消元的方法应选取( B )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
师生活动：学生先独立思考，再小组交流．
设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象．
应用新知
经典例题：例1：解方程组：2x−3y+4z=3 ①3x−2y+z=7 ②x+2y−3z=1 ③
解：由方程②，得
z=7−3x+2y ④
把④分别代入方程①和③, 得
2x−3y+4(7−3x+2y)=3x+2y−3(7−3x+2y)=1
整理，得 −2x+y=−55x−2y=11
解这个二元一次方程组，得x=1y=−3
代入④，得
z=7−3−6=−2．
所以原方程组的解为x=1y=−3z=2
这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含有x、y的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，转化为只含有x 的二元一次方程组求解。
能否先消去x（或y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？
例2：解方程组：
3x+4y−3z=3 ①2x−3y−2z=2 ②5x−3y+4z=−22 ③
分析：
三个方程中未知数的系数都不是1或−1，用代入消元法比较麻烦，可考虑用加减消元法求解.
解：③－②，得
3x+6z=−24
即 x+2z=−8
①×3＋②×4，得
17x−17z=17
即 x−z=1
得方程组
x+2z=−8x−z=1
解得 x=−2z=−3
把x=−2z=−3代入方程②，得y=0
所以原方程组的解为x=−2y=0z=−3
上述例1和例2的解答分别应用了代入消元法和加减消元法，先消去某一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后解所得的二元一次方程组，得到两个未知数的值，进而求出第三个未知数的值，从而得到原方程组的解．
能否先消去z（或x）？怎么做？比较一下，哪个更简便？
师生活动：学生先独立思考
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对知识点印象．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
课堂练习
【教材练习】
1、解下列方程组：
（1）x+y+z=6 3x−y+2z=12 x−y−3z=−4 （2） 3x−2y=5y−5z =−113z−4x=2
（3）x+y−z=2 4x−2y+3z+8=0 x+3y−2z−6=0 （4） x3 =y2y4 =z5x+y+z=60
(1)解：①＋②得4x+3z=18
②－③得2x+5z=16
得方程组4x+3z=182x+5z=16
解得x=3z=2
将x=3z=2代入①
得 y=1
所以原方程组的解为x=3y=1z=2
(2)解：①＋2×②得3x−10z=−17
得方程组3x−10z=−173z−4x=2
解得 x=1z=2
将x=1z=2代入①
得 y=−1
所以原方程组的解为x=1y=−1z=2
(3)解：把原方程组整理，得
x+y−z=2 ①4x−2y+3z=−8 ②x+3y−2z=6 ③
③－①，得2y−z=4 ④
①×4－②，得6y−7z=16 ⑤
⑤－④×3，得−4z=4
即z=−1
把z=−1代入④得 y=32
把y=32，z=−1代入①得 x=−12
所以原方程组的解为x=−12y=32z=−1
(4)解：由①得x:y=6:4 ④
由②得y:z=4:5 ⑤
由④和⑤得x:y:z=6:4:5
设x=6k，则y=4k，z=5k
把x=6k，y=4k，z=5k代入③
得 6k+4k+5k=60
k=4
把k=4代入x=6k=6×4=24y=4k=4×4=16z=5k=5×4=20
所以原方程组的解为x=24y=16z=20
2．已知y=ax2+bx+c．当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5．求a、b、c的值．
解：根据题意得
4a−2b+c=9 ①c=3 ②4a+2b+c=5 ③
把②代入①、③得4a−2b=64a+2b=2
解得a=1b=−1
所以a=1，b=−1，c=3
师生活动：学生先独立思考再作答．
分析：把“三元”转换为“二元”后解二元一次方程组
【限时训练】
1．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
答：D
师生活动：老师提问学生举手回答问题．
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
2．下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)
①x+y−z=1；②4xy+3z=7；
③2x+y−7z=0；④6x+4y−3=0.
答：①
3．解方程组：
x+y+z =23 ①x−y=1 ②2x+y−z =20 ③
解：由方程②，得x=y+1 ④
将④分别代入①和③，得
2y+z=223y−z=18
解得y=8z=6
把y=8代入④，得
x=9
所以原方程组的解为x=9y=8z=6
4.在等式 y=ax2+bx+c中，当x=−1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60求a、b、c的值．
解：根据题意得
a−b+c=0 ①4a+2b+c=3 ②25a+5b+c=60 ③
②－①，得a+b=1 ④
③－①，得4a+b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a+b=14a+b=10
解得a=3b=−2
把a=3b=−2代入①得c=−5
所以原方程组的解为a=3b=−2c=−5
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．解三元一次方程组的基本思路是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步加深并巩固本节课所学的知识．
实践作业
你还会解什么样的三元一次方程呢？
你还有其他的方法吗？
和小伙伴们一起讨论并实施验算一下吧！

六、板书设计

七、教学反思
通过本节课的学习能让学生在本节课上了解到三元一次方程组的概念，掌握用“代入法”、“加减法”对三元一次方程组进行消元，并逐步领会如何选择适合的方法，以提高解题效率.原来本环节的目的是让学生熟练掌握三元一次方程组的解法和调动学生学习的积极性，但因为计算结果比较复杂，学生不敢肯定自己动手计算结果，从而影响了效果．