湖南省顶级名校2025-2026学年高二下学期3月入学考试试卷 数学（含解析）

这是一份湖南省顶级名校2025-2026学年高二下学期3月入学考试试卷 数学（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．设函数在定义域内可导,图象如下图所示,则导函数的图象可能是
A．B．
C．D．
5．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ）
A．49B．50C．51D．52
6．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
7．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，（e为自然对数的底数），则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则直线与直线的夹角为
B．三棱锥体积的最大值为
C．存在，使得平面
D．若，则三棱锥外接球的表面积为8π
11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ）
A．直线的斜率
B．若，则
C．若，则
D．存在使得平分
三、填空题
12．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______.
13．若函数在上无极值点，则的取值范围为______.
14．像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数.
四、解答题
15．已知定义在上的函数
(1)若，，求出曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值.
16．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17．已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足，
证明：数列为等比数列．
记，求数列的前n项和．
18．已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件.
(1)求概率、；
(2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望；
(3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
19．双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P.
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：点P在定直线h上；
(3)连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切.
参考答案
1．B
【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为.
故选：B.
2．C
【详解】若复数满足，
则，
故复数的虚部为.
3．C
【详解】如图
由题意知直线过定点，
易求的斜率，
的斜率，
直线的斜率，
所以或，
即或
故选：C.
4．D
【详解】由图像可知，函数在上是减函数，此时,故排除A、C；
当时，函数的图象是先增，再减，最后再增，
所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，
故选：D.
5．C
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为：C.
6．A
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
7．C
【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为，
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，
其方法数为. 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为．
故选:C．
8．A
【详解】对两边取对数，，
而在上单调递增，∴．
令，，
∴在单调递减，∴，即，∴；
；
又，
∴，∴．
故选：A．
9．ABD
【详解】因为，，且，
对于A，所以，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
对于B，由已知得，，所以，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D,，则，
当且仅当时，等号成立，故D正确，
10．ABC
【详解】对A，因为，所以
当时，分别为的中点，所以也是的中点.
过M作于Q，连接，则，所以.
因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即.
又因为，所以，故A正确.
对B，过M作于Q，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即三棱锥的高为，
又，
所以三棱锥体积，
当时，，故B正确.
对C，当时，是的中点，所以也是的中点.
因为是的中点，所以.
又平面，平面，所以平面，故C正确.
对D，当时，，故Q为的中点，
又N为的中点，所以，，
所以Q到A，B，M，N的距离都为1，
即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误.
11．ACD
【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得：.
由题：，又由韦达定理知：.
A选项，由题可得或，则，故A正确；
B选项，由抛物线定义可知：，
则，
得.故B错误；
C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，因，则，
又，则.故C正确.
选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M.
则，
又所以.
注意到：，
则.
则，即存在满足题意，故D正确；
方法2：设 关于轴的对称点为，则.注意到：
，则三点共线，
所以，其余同方法1；
方法3：若平分，则由角平分线定理可得，
所以，又，.
即，下同方法1；
方法4：只需，即，
注意到，，则
，解得或3（舍去），后同方法1.
故选：ACD
12．/
【详解】由及正弦定理可得，又，
所以，
由知，故，所以，即，
所以，，
所以.
13．
【详解】由，得，
因为在上无极值点，
所以在内单调，
因为当时，，
所以在恒成立，
即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
即的取值范围为，
故答案为：
14．510
【详解】方法一：由题设在凹数的谷底，且左右两侧的数均比零大，
先选择0左侧元素，余下元素放在右侧，
故共有个数；
方法二：1~9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能，
去掉全部在0的左侧和全部在0的右侧两种情况，共个数.
15．(1)
(2)极小值为，没有极大值
【详解】（1），时，，
所以，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为为增函数，令，解得，
在上符号为负，在上符号为正增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值为,没有极大值.
16．(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）取中点，连接，如图，

又为的中点，
，由，则，
又为等腰直角三角形，，，
，又，平面，
平面，又平面，
（2）平面平面，平面平面，，平面，
平面，平面，故，
故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，
，
则，，，
若存在使得平面平面，且，，
则，解得，，
则，，
设为平面的一个法向量，则，
令，即，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
，可得．
存在使得平面平面，此时
17．(1) 证明见解析 (2)．
【详解】数列的前n项和为，，
当时，解得．
当时，
得，
整理得常数，
所以数列是以1为首项2为公比的等比数列．
由得，解得．
公差d不为0的等差数列满足，，
解得，
解得或舍去，
所以，
则，
所以
，
得，
所以，
整理得，
故．
18．(1)，
(2)期望为，的概率分布为：
(3).
【详解】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，.
，
.
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为.
，
，
.
X的概率分布为：
所以的数学期望.
（3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.
记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y，
，
，
所以，
所以.
所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，所以，，
又因为双曲线过点，代入解得，
所以双曲线C的方程为.
（2），所以，，，
设：，
联立得，
因为直线与右支交于两点，故.
设，，所以，，
故，
且，
所以，
因为，所以，
代入得，
故，所以点在定直线上.
（3）由（2）知，故，
而，所以，
，
所以的中点，
又
，
所以，即，
所以点在以为直径的圆上，
另一方面，故直线的方向向量为,
而的方程为，故其方向向量为,
因，所以两个方向向量垂直，故，
所以以为直径的圆与直线相切于F点.0
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