黑龙江省十所名校2025-2026学年高二下学期3月开学考试试卷 数学（含解析）

这是一份黑龙江省十所名校2025-2026学年高二下学期3月开学考试试卷 数学（含解析），共16页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 某超市举行抽奖活动，规则如下等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章，第十章，选择性必修第一册第二章，第三章，选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据的第75百分位数与极差的差为（ ）
A. 67B. 66C. 65D. 64
【答案】D
解析：将样本数据按从小到大排列为，
共10个数据，且，故样本数据的第75百分位数为第8个数，即94，
极差为，
所以样本数据的第75百分位数与极差的差为94-30=64.
故选：D.
2. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ）
A. 5B. C. 7D. 8
【答案】C
解析：由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条；
从地不经过地到地的路线有1条.
根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条.
故选：C.
3. 设随机变量，若，则（ ）
A. 1B. 0C. D. -1
【答案】C
解析：由正态分布关于均值对称，知，解得.
故选：C
4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A. -4B. 1C. -1D. -4或1
【答案】A
解析：因为直线与直线平行，所以，解得或.
当时，直线，直线，满足题意；
当时，直线，直线0，两直线重合，舍去.
综上所述，.
故选：A.
5. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 40D. 80
【答案】B
解析：由题知，，解得，
所以的展开式的通项为，
令，得，所以的系数为.
故选：B.
6. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数种，
小球号码之和等于7情况有，共2种情况；
号码之和等于6的情况有，共3种情况；
号码之和等于5的情况有，共4种情况，
所以中奖的情况数种，所以中奖的概率为.
故选：D.
7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法，
再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法，
所以不同的分配方法种数为种.
故选：B.
8. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由题知直线过定点，直线过定点，
又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.
又的中点坐标为，半径，
所以圆的方程为.
因为圆心到直线的距离为，
所以点到直线距离的最大值为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
C. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78
D. 从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件
【答案】ABD
解析：由，得，A正确；
平均数为，
所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71，B正确；
因为，
所以中位数在第4组，
设中位数为，则，
解得，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误；
由频率分布直方图可知100件零件中二等品有件，一等品有件，
故从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有件，D正确.
故选：ABD.
10. 已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与相互独立，则
B. 若，则与相互独立
C. 若与互斥，且与也相互独立，则
D. 若与相互独立，且与也相互独立，则
【答案】ABD
解析：因为事件与相互独立，所以事件与相互独立，
所以，
因为，A正确；
，又，
所以，又，
所以，即与相互独立，B正确；
因为与互斥，所以，
又因为与相互独立，
所以，C错误；
因为与相互独立，所以，
又因为与相互独立，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 若，则
C. 以为直径的圆与圆相切
D. 若，则点的坐标为或
【答案】AC
解析：双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则.
所以双曲线的渐近线的斜率为.
因为直线与的左支交于两点，所以的取值范围为，故A正确.
由双曲线定义得，
设，则.
在中，由余弦定理，知，
所以，故B错误.
设的中点为，又圆9的圆心为，为 的中点，所以.
又，所以以为直径的圆半径为，
因为圆的半径，所以两圆的圆心距，所以两圆内切，故C正确.
由0，知.
设内切圆分别与轴相切于点，
则.
因为，解得.所以点的横坐标为3.
设，，可得.
因为的面积为，所以其内切圆半径，
所以点的坐标为或，故D错误.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则__________.
【答案】36
解析：由题知，
所以，
解得.
故答案为：36
13. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________.
【答案】
解析：因为互相独立，所以.
又因为，
把代入可得：，
故.
由相互独立，得.
故答案为：
14. 现有30张彩票，其中有3张中奖彩票，从中任取张，若这张彩票中至少有1张中奖的概率大于，则的最小正整数值为__________.
【答案】6
解析：由题知“张彩票都不中奖”的概率为，
故“张彩票中至少有1张中奖”的概率为.
由，得，即，
当时，随着的增大而减小，
当时，；当时，，
所以的最小正整数值为6.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表.
（1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联；
（2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率
附：.
【答案】（1）与性别有关
（2）
（1）
零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）
（2）由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，
结合列联表可得，对该款坚果礼盒满意的顾客共120人，其中男性有40人，女性有80人，
抽取2人至少有1名女性的概率为.
16. 已知圆，直线过原点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】（1）或.
（2）或.
（1）
圆圆心的坐标为，半径，
①当直线的斜率不存在时，直线为，
圆心到直线的距离，
直线为圆的切线，
②当斜率存在时，设直线为，
圆心到直线的距离，
由题知直线与圆相切，
则，解得，
所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
（2）
直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在，
设直线的方程为，
圆心到直线的距离，弦长，
所以，
当时，面积最大，
此时，整理得，
解得，
所以直线的方程或.
17. 某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围.
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（1）
（2）
（1）
由题知，
，
所以，
所以.
所以关于的经验回归方程为.
（2）
设甲､乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，
则的所有可能取值为，
又，
，
，
所以，
，
令，即，解得.
又，所以的取值范围为.
18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
（1）求的值；
（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；
（3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
（1）
从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为.
则取到的标号都是2的概率是，
整理得，解得或（舍去）.
（2）
设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”.
因为，，
所以.
（3）
可能取值为，
因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为，
所以，，
，，
.
所以的分布列为：
所以.
19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上，抛物线的焦点为.
（1）求和的方程；
（2）若点在上，且，求的面积；
（3）过点的直线与交于两点，与相交于两点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1），
（2）
（3）不是定值，理由见解析
（1）
由题知，，
解得，
所以的方程为，
因为抛物线的焦点为，
所以，
所以的方程为.
（2）
由题知，
在中，由余弦定理得
，
即，解得，
所以的面积.
（3）
不是定值，
理由如下：设直线的方程为，
联立方程消去整理得，
则.
又，
所以
.
联立方程，消去整理得，
则.
又，
所以
所以，
当变化时，不是定值.
性别
满意
不满意
合计
男性
40
40
80
女性
80
40
120
合计
120
80
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
宣传费（十万元）
3
4
5
6
销量（百万件）
2.5
3
4
4.5
0
1
2
3
4