19.5 数学活动——纸张规格的奥秘-表格式教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册2

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第九课时《19.5 数学活动——纸张规格的奥秘》教学设计课型新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析本节课作为人教版八年级下册第19章二次根式的章末数学活动，是对二次根式知识的综合应用与拓展延伸．它以“纸张规格的奥秘”为载体，将二次根式的运算、比值关系与现实生活中的纸张设计紧密结合，既巩固了学生对二次根式化简、运算的核心知识，又引导学生从数学视角分析生活现象，培养数学建模与应用意识．同时，通过探究纸张长宽比恒为2的规律，为后续学习相似图形、黄金分割等几何知识奠定了直观基础，实现了代数与几何的有机融合，凸显了数学的实用性与逻辑性．学习者分析学生已掌握二次根式的基本运算、矩形性质等知识，具备一定的代数运算与几何直观能力，但对“数学知识源于生活、服务于生活”的认知仍较薄弱．他们好奇心强，乐于动手操作与探究规律，但在抽象概括、逻辑推理方面存在不足．面对纸张规格的比值问题，能通过计算器计算初步发现规律，却难以严谨证明；对折纸活动中的几何关系，能直观感知，却难以用代数语言精准表达，需要教师引导搭建“操作—猜想—验证”的思维桥梁．教学目标1．通过计算两类纸张规格的长宽比，发现其与2的关联，理解纸张规格的设计原理．2．能运用二次根式的性质与运算，验证折叠后长方形长宽比是否仍为2，提升二次根式的应用能力．教学重点探究并验证纸张长宽比恒为2的规律，理解二次根式在实际问题中的应用．教学难点通过几何折叠与代数运算，严谨证明折叠后长方形的长宽比仍为2，实现几何直观与代数推理的统一．学习活动设计教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1：师出示学习目标：1．通过计算两类纸张规格的长宽比，发现其与2的关联，理解纸张规格的设计原理．2．能运用二次根式的性质与运算，验证折叠后长方形长宽比是否仍为2，提升二次根式的应用能力．学生活动1：学生齐声读本课的学习目标活动意图说明：明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2：情境：有一家印刷厂接到了一个大订单，需要把一批全开的大纸，裁成 A1、A2、A3、A4 等各种规格的纸张．工人们熟练地操作着裁纸机，一张大纸对折、再对折…… 很快，各种尺寸的纸张就堆成了小山．这时，有个细心的学徒发现了一个奇怪的现象：不管是最大的 A1，还是最小的 A4，甚至是对折了好几次的更小的纸张，它们的 “长相” 竟然都一模一样！他把这个发现告诉了师傅，师傅也愣住了：“我干了几十年，还真没注意过这个事儿，这到底是巧合，还是有什么门道？”导入：其实，在纸张规格的背后，藏着一个前人精心设计的数学秘密．今天这节课，就让我们一起走进二次根式的数学活动，用学过的知识，揭开纸张规格的奥秘．学生活动2：学生听老师讲故事《印刷厂的难题》活动意图说明：从生活素材切入，激发探究兴趣，引出 “纸张规格的奥秘” 核心问题环节三：新知讲解教师活动3：活动：纸张规格的奥秘书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，表1和表2给出了两种常用纸张的规格（单位：mm×mm）：（1）使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值，你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比有什么关系？测量教科书与课外读物的长与宽，看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系．预设：210÷148≈1.419297÷210≈1.414420÷297≈1.414594÷420≈1.414841÷594≈1.4162≈1.414A型纸的长与宽的比约为2∶1结论：发现各规格纸张长与宽的比值接近2，同一类型（A型、B型）纸张，长与宽的比值基本一致，且相邻规格纸张，大规格长、宽分别是小规格宽、长的一定倍数（如A4长297是A5宽148的约2倍，A4宽210等于A5长），测量书本等纸张，验证多数符合此规律.（2）如图1，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为2．①如图2，若E，F分别是长边AD，BC的中点，将纸片ABCD沿直线EF对折，得到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为2的长方形”？为什么？解：长方形ABFE仍为“长与宽的比值为2的长方形”．理由如下：设AB＝a，∵ADAB=2，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AD＝2AB=2a，AE＝12AB=22a.∵ABAE=a22a=2∴长方形ABFE仍为“长与宽的比值为2的长方形”．②若按图3所示的方式折叠纸片ABCD，长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为2的长方形”？为什么？解：长方形GHID仍为“长与宽的比值为2的长方形”．理由如下：设AB＝a，则AD＝2a，由折叠可知，AG＝AB＝a，∴GD＝AD－AG＝AD－AB＝2a－a.∵IC＝EC＝GD＝2a－a，∴DI＝CD－IC＝a－（2a－a）＝2a－2a.∴DIGD＝2a－2a2a－a＝2.∴长方形GHID仍为“长与宽的比值为2的长方形”.学生活动3：学生先分组计算完成活动中的第1个问题，发现各规格纸张长宽比均接近2，然后小组合作探索活动中的第2个问题，班内交流所得到的结论，最后认真听老师的点评和讲解活动意图说明：通过数据计算，让学生直观感知纸张长宽比的稳定性，然后再通过几何操作与推理证明，突破“折叠后比值不变”的难点，落实核心知识，提升综合应用能力环节四：课堂小结教师活动4：问题：本节课你都学习到了哪些知识？教师通过学生的回答，进行归纳学生活动4：学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明：通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．板书设计课题：19.5数学活动——纸张规格的奥秘一、A型、B型纸张长宽比规律二、沿中点连线折叠后长方形长与宽的比值三、折叠两次后长方形长与宽的比值教师板演区学生展示区课堂练习【知识技能类练习】必做题：1．如图，现将一张A3纸沿它的长边对折（EF为折痕）可以得到两张A4纸，如果A3纸和A4纸的长宽比例是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是（    ）A．22B．2C．43D．32答案：B2．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同．将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张A1型号纸张．若A1与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为 ．  答案：2:13．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为A0纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：A0纸对折1次所得的纸张就是A1纸，A1纸对折1次（也就是A0纸对折2次）所得的纸张就是A2纸，A4纸实际上就是A0纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据：(1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）；A．2     B．2:5−1(2)证明（1）中猜想的正确性．解：（1）∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，∴根据以上材料，1189÷841≈1.41，则2≈1.41，2∶5−1≈2∶2.236−1≈1.62∴猜测A号纸的长宽之比可能是2，故选：A；（2）设原来A0纸的长为x，宽为y，则对折后的A1纸的长为y，宽为x2，∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张∴A0纸和A1纸的长宽比例是相等的，∴x：y=y：x2，解得x：y=2，∴A号纸的长宽之比是2．选做题：4．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：A0纸定义为面积为1，长与宽之比为2:1的纸张；沿A0纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得到两张A2纸…，依次类推，得到A3、A4、A5等纸张．裁剪一张规格A0纸最多可得到规格A4纸的张数是（   ）A．4B．8C．16D．32答案：C【综合拓展类练习】5．如果一张矩形纸的长：宽=2：1，则称这样的纸为标准纸．如图，A0是一张长为a的标准纸，将A0对折可得标准纸A1，依次对折下去，得到的纸都是标准纸，对折n次后新得标准纸An的长为 ．（用含a的代数式表示）答案：(22)na作业设计【知识技能类作业】必做题：1．如图，现将一张A3纸沿它的长边对折（EF为折痕）可以得到两张A4纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是（   ）A．1:2B．2:1C．4:3D．3:2答案：B2．按国际标准，A系列纸均为长宽比为2:1的长方形．若A4纸的宽为841mm，则A4纸的长为 mm．（用含根号的式子表示）答案：84123．已知A0纸的长、宽之比是2∶1，面积为1平方米.估算A0纸的长与宽分别是多少毫米？（结果取整数，2≈1.414，70.7≈8.4083，70.7214≈8.41）解：因为A0纸的长、宽之比是2∶1，设A0纸的宽为x毫米，长为2x毫米.因为A0纸的面积＝1平方米＝1000000平方毫米，所以x·2x＝1000000，解得x≈841.∴2×841≈1189.答：A0纸的长是1189毫米，宽是841毫米.选做题：4．复印社用纸通常用A2，A3，A4，A5等编号来表示纸张的大小规格，A5纸大小是A4纸的一半，A4纸大小是A3纸的一半，以此类推，A5纸的面积是A2纸的（    ）．A．16.7%B．12.5%C．6.25%D．25%答案：B【综合拓展类作业】5．【问题情境】如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形.以一个小正方形为例，可以得到一般结论：正方形的对角线与边长的比为2∶1.【实践操作】按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，…，现将一张A4纸按下图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长、宽的比.解：设A4纸的长为m，宽为n.第一次折叠形成一个正方形，所以AB＝2n；第二次折叠得到AB＝AC＝m.∴2n＝m.∴mn＝2.∴A4纸的长宽的比为2∶1.教学反思本节课以“纸张规格”为情境，有效激发了学生的探究兴趣，但在证明折叠后长宽比的环节，部分学生对几何线段关系与代数运算的转化仍显生疏．后续教学中，应增加分层任务设计，为基础薄弱学生提供更明确的推理步骤提示，同时鼓励学有余力的学生拓展探究其他规格纸张的规律，进一步提升学生的逻辑推理与应用能力．