高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合表格教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合表格教学设计，共5页。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二年级
学期
春季
课题
6.2.1排列
教科书
书 名：《数学选择性必修第三册》
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题.
教学内容
教学重点：
排列的定义.
教学难点：
将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义.
教学过程
1、情景分析
在上节课的学习中我们发现，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐. 能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题.
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参下午的活动”，可以分两个步骤：
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；
第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.
这6种不同的选法如图所示.
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：
从3个不同的元素a ， b ， c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是ab ， ac ， ba ， bc ， ca ， cb，不同的排列方法种数为3×2=6.
设计意图：通过分步乘法计数的具体问题，即检测与本节课内容有关的计数原理的掌握情况，又引出排列问题，为抽象得到排列的概念作准备.
问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24.因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素a ， b ， c ， d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
abc ， abd ， acb ， acd ， adb ， adc ， bac ， bad ， bca ， bcd ， bda ， bdc ，
cab ， cad ， cba ， cbd ， cda ， cdb ， dab ， dac ， dba ， dbc ， dca ， dcb.
不同的排列方法种数为4×3×2=24.
设计意图：通过分布乘法计数的具体问题，让学生再次经历解决排列问题的全过程，为抽象得到排列的概念作准备.
2、概念的形成
上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.
一般地，从n个不同元素中取出m(m ⩽ n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列，“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.
指出定义中需要注意的信息：
（1）元素不能重复.（互异性）
（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.（有序性）
（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.
(4)m＜n时的排列叫选排列, m＝n时的排列叫全排列.
（5）为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树 形图”.
设计意图：通过分析、比较两个实例，概括他们的共同特点，从特殊到一般得出排列的概念，并辨析概念.
加深对定义的理解：
判断下列问题是否为排列问题．
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(不是排列)
(2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（是排列）
(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（是）
(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（是排列）、（不是排列）
(5) 10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（是排列）
(6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组.（不是排列）
(7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目.（不是排列）
根据以上的判断，得出”判断一个具体问题是否为排列问题的方法”
（1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个不同的元素，则不是排列问题。
（2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列.
而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.
3、例题讲解
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队友在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分布乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5=30.
例2 （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×4×3=60.
（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5 x 5 x 5 = 125
4、课堂小结
（1）排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
（2）排列问题的判断方法：
eq \\ac(○,1)元素的无重复性
eq \\ac(○,2)元素的有序性.