初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）17.2 平行四边形的判定示范课课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）17.2 平行四边形的判定示范课课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了平行四边形的性质，平行四边形的判定，三角形的中位线，知识要点，两条线段的关系，位置关系，数量关系，DE与BC的关系，DE∥BC，典例精析等内容，欢迎下载使用。
1. 能够利用平行四边的判定定理解决多个四边形综合的证明问题. (重、难点 )2. 理解三角形的中位线的相关概念，利用三角形的中位线解决实际问题. (重点)
1.两组对边分别相等2.两组对角分别相等3.两条对角线互相平分
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3.对角线互相平分的四边形是平行四边形
例1 如图，已知□ ABCD ，延长边 AD 至点 F ，使 DF = DA . 连结 BF，交边 DC 于点 E .求证: EF = EB .
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形∴ DA CB(平行四边形的对边平行且相等).∴ ∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE又∵ DA = DF∴ DF = CB.
在 △DFE 与 △CBE 中∵∠FDE =∠BCE，DF = CB，∠DFE =∠CBE .∴ △DFE ≌ △CBE∴ EF = EB.
思考 观察一下， DE 与 AB 两条线段在位置和长度上有何关系。
如图，点 D、E 分别是 △ABC 的两边 AC、BC 的中点，即 DE 是连结 △ABC 的两边中点的线段，连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
问题2：如图，DE 是△ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？
问题3：如何证明你的猜想？
一条线段是另一条线段的一半
延长 DE 到 F，使 EF = DE．
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE =∠F，AD = CF.
∵∠AED = ∠CEF，AE = CE，
∴ DE∥BC， ．
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
①中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
例2 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知:如图，在△ABC 中，AD = DB，BF = FC，AE = EC . 求证: AF 与 DE 互相平分.
证明：如图，连结 DF 、EF.∵ AD = DB，BF = FC，∴ DF∥AC (三角形的中位线平行于第三边).同理可得 ，EF∥BA .∴ 四边形 ADFE 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).∴ AF 与 DE 互相平分.
试一试 从定义、性质和相互联系等几方面比较三角形的中线与中位线两个概念.
三角形的中线 三角形的中位线
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分∠CAB，交 DE 于点 F. 若 DF＝3，求 AC 的长
解：∵ D、E 分别为 AC、BC 的中点，∴ DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵ AF 平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3，∴ AC＝2AD＝2DF＝6.
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取 AC 的中点 F，连接 BF.∵ BD＝AB，∴ BF 为△ADC 的中位线，∴DC＝2BF.∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC，∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB.∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE.
构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键.
1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．
2.如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N，如果测得 MN = 20 m，那么 A，B 两点间的距离为______m．
例4 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
三角形的中位线与平行四边形的综合运用
∵ E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG， EF = HG.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
【变式题】如图，E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点．求证：四边形 EFGH 为平行四边形.
证明：如图，连接 BD.∵ E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点，∴EH 是△ABD 的中位线， FG 是△BCD 的中位线，∴ EH∥BD 且 EH = BD， FG∥BD 且 FG = BD，∴ EH∥FG 且 EH = FG，∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.
证明：∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点，∴ DE 为△ABC 的中位线，∴ DE∥BC，DE = BC.∵ CF = BC，∴ DE = FC．
(2) 求 EF 的长.
解：∵ DE∥FC，DE = FC，∴四边形 DEFC 是平行四边形，∴ DC = EF，∵ D 为 AB 的中点，等边△ABC 的边长是 2，∴ AD = BD = 1，CD⊥AB，BC = 2，∴ EF = DC = ．
3.如图，在△ABC 中，AB = 6，AC = 10，点 D，E，F分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 （　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
4.如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD = 12，求△DOE 的周长.
解：∵ ▱ABCD 的周长为36，∴ BC + CD = 18．∵ 点 E 是 CD 的中点，∴ OE 是△BCD 的中位线，DE = CD.∴ OE = BC.∴△DOE 的周长为 OD+OE+DE = (BD+BC+CD) = 15， 即△DOE 的周长为15．
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理的应用
1.如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为 （　　） A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在 ▱ABCD 中，AD = 8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边 AB、BC、 AC 的中点.(1) 若∠ADF = 50°，则∠B= °；(2) 已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8， 则△ DEF 的周长为 .
4.在△ABC 中，E、F、G、H 分别为 AC、CD、 BD、 AB 的中点，若 AD = 3，BC = 8，则四边形 EFGH 的周长是 .
5.如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10 cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 F，E 为 BC 的中点，求 DE 的长．
解：∵ AD 平分∠BAC，BD⊥AD，∴ AB = AF = 6 cm，BD = DF，∴ CF = AC - AF = 4 cm.∵ BD = DF，E 为 BC 的中点，∴ DE = CF = 2 cm．
6.如图，E 为▱ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接 AE，分别交 BC、BD 于点 F、G，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，判断 AB 与 OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵ CE＝DC，∴AB＝CE.∴ △ABF≌△ECF(ASA). ∴BF＝CF.∵ OA＝OC，∴OF 是 △ABC 的中位线，∴ AB∥OF，AB＝2OF.