冀教版（2024）八年级上册（2024）第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形达标测试

这是一份冀教版（2024）八年级上册（2024）第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形达标测试，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.已知，将等腰直角 △AEB和等腰 Rt△BCD如图所示放置，点 A、 B、 C三点在同一直线上，已知 AC=4 ， 两等腰直角三角形的面积和为5，则阴影部分面积为（ ）
A . 1 B . 32 C . 2 D . 3
2. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A . 450a元 B . 225a 元 C . 150a元 D . 300a元
3.若△ABC的三边长是a，b，c，且满足（a-b）（a-c）=0，则△ABC是（ ）
A . 钝角三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰三角形
4.在下列命题中，正确的是（ ）
A . 等腰三角形是锐角三角形
B . 等腰三角形两腰上的高相等
C . 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高
D . 等腰三角形一边长为7，另一边长为15，则它的周长是29或37
5.图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（ ）
A . 30 B . 32.5 C . 35 D . 37.5
6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（ ）
​
A . 100° B . 110° C . 120° D . 130°
7.在下列四个角的度数中，一个不等边三角形的最小角度数可以是（ ）
A . 80° B . 65° C . 60° D . 59°
8.如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了 A'点，若 ∠OAA'=50° ， 则秋千旋转的角度为（ ）

A . 50° B . 60° C . 80° D .90°
9.设a、b、c是互不相等的任意正数， x=b2+1a ， y=c2+1b ， z=a2+1c ， 则x、y、z这三个数（ ）
A . 都不大于2
B . 至少有一个大于2
C . 都不小于2
D . 至少有一个小于2
10.如图，A，C，E三点在同一直线上， △ABC ， △CDE都是等边三角形， AD与 BE交于点 O ， AD与 BC交于点 P ， BE与 CD交于点 Q ， 连接 PQ ， OC ， 下列结论中正确的是（ ）
① △ACD≌△BCE；② △CPQ是等边三角形；③ OC平分 ∠AOE；④ PQ∥AE；⑤ △BPO≌△EDO ．
A . ①③④⑤
B . ②③④⑤
C . ①②③④
D . ①②③④⑤
二、填空题
1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 ________ cm.
2.如图 ， 已知直线 l：y=x+2交x轴于A，交y轴于点 A1 ， 点 A2 ， A3 ， …在直线l上 ，点 B1，B2，B3 ， …在x轴的正半轴上 ，若 △A1OB1 ， △A2B1B2 ， △A3B2B3 ， …均为等腰直角三角形 ，且直角顶点都在x轴上，则 △A2025B2024B2025的面积为 ________ ．
3.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这种性质的点P有 ________ 个．
4.如图，点D 是 ABC的边 BC上一点，连接AD，取AD的中点E，连接BE，过点E作BE的垂线，恰好交于点 C，取CE的中点F，连接BF，交AD于点G，若点G恰好为BF的中点， EG=3,BE=4,则 ABC的面积为 ________ .
5.底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 ________
三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
四、综合题
1.建立模型：
（1） 如图 1，已知 △ABC ， AC=BC ， ∠C=90° ， 顶点 C在直线 l 上.操作：过点 A作 AD⊥l于点 D ， 过点 B作 BE⊥l于点 E ， 求证 △CAD≌△BCE.
模型应用：
（2） 如图2，在直角坐标系中，直线 l1： y=83x+8与 y轴交于点 A ， 与 x轴交于点 B ， 将直线 l1绕着点 A顺时针旋转 45°得到 l2 ， 求 l2的函数表达式.
（3） 如图3，在直角坐标系中，点 B(10 ， 8) ， 作 BA⊥y轴于点 A ， 作 BC⊥x于点 C ， P是线段 BC上的一个动点，点 Q(a，2a−6)位于第一象限内.问点 A、 P、 Q能否构成以点 Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点 Q的坐标；若不能，请说明理由.
2.如图1，等边 △ABC中，点D为 BC中点，点E为边 AC上一动点（不与点C重合）， △CDE关于 DE的轴对称图形为 △FDE ．

（1） 如图1，当点F在 AC上时，求证： DF∥AB；
（2） 如图2，当点F在 △ABC内部时，求 ∠BDF+∠AEF的度数；
（3） 如图3，当点F在 △ABC外部， AC上方时，直接写出 ∠BDF−∠AEF的度数．
3.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1） 如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2） 如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
4.如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F.
（1） 求证：AD＝CF；
（2） 若AB＝2BC，∠B＝70°，求∠F的度数.
五、解答题
1.直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足 (m−n)2+n−4=0 ．
（1） m= ， S △ ABO= ；
（2） 如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3） 如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
2.如图， O是等边 △ABC内一点， OA=6 ， OB=8 ， OC=10 ， 将线段 BO绕点 B逆时针旋转 60°得到线段 BO' ．
（1） 求点 O与 O'的距离；
（2） 求 ∠AOB的度数；
（3） 求 △AOC与 △BOC的面积之和，请直接写出结果．
3.如图，以 Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 AB=3 ， 求图中阴影部分的面积．
4.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到 a+b2=a2+2ab+b2 ．
（1） 写出由图2所表示的数学等式：______；
写出由图3所表示的数学等式：______．
（2） 利用上述结论，解决下面问题：
①已知 a+b+c=12 ， a2+b2+c2=48 ， 求 ab+bc+ac的值．
②在①的条件下，若 a、 b、 c分别是 △ABC的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
5.学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知 Rt△EDF中， ∠D=90°，∠F=60° ． 请根据他们的叙述条件完成题目．
（1） 若 △ACB为等腰直角三角形，且 ∠C=90°，∠A=45°；
①甲同学：如图1， Rt△ACB和 Rt△EDF的直角边 DE，BC在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边 CF与 AB相交于点P，那么∠APF= ▲ 度；
②乙同学：如图2， Rt△ACB和 Rt△EDF直角顶点C，D互相重合于点P，斜边 AB与斜边 EF互相平行，求 ∠EPB的度数，并写出解答过程；
（2） 若 △ACB为等腰三角形，已知 AC=BC ．
丙同学：如图3，若 Rt△EDF直角顶点D恰好与 △ACB底边 AB的中点重合， Rt△EDF的斜边 EF经过 △ACB的顶点C，若 EF∥AB ， 设 ∠ACB=x ， 请用含x的式子表示 ∠EPB的度数，并写出解答过程．
六、阅读理解
1.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2.在学习乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式 x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵ (x+2)2≥0，∴当 x=−2时， (x+2)2的值最小，最小值是0，
∴ (x+2)2+1≥1，∴当 x=−2时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴ x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 填空： m2+8m+_=(m+4)2；
（2） 若 y=x2+2x−3 ， 当 x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3） 已知a、b、c是 △ABC的三边长，满足 a2+b2=12a+8b−52 ， 且c的值为代数式 −x2+6x−5的最大值，判断 △ABC的形状，并说明理由．
3.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．