辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年度下学期高二开学考试数学试卷含答案

这是一份辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年度下学期高二开学考试数学试卷含答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x2−y3=1 在 y 轴上的截距为( )
A. -3 B. 3
C. −13 D. 13
2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 A0,1,2,B−1,1,0 ,若点 A 关于 y 轴对称的点为 P , 点 B 关于平面 Oyz 对称的点为 Q ,则 PQ= ( )
A. 1,0,2 B. −1,0,−2 C. 1,2,−2 D. −1,−2,2
3. 为了研究物理成绩 y 与数学成绩 x 之间的关系,随机抽取 100 名学生的成绩,用最小二乘法得到 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.8x+12.5 ,则样本点 70,66 的残差为 ( )
A. 2.5 B. -3.5 C. 3.5 D. -2.5
4. 已知圆: x2+y−12=4 ,且圆上到直线 3x−4y+n=0 的距离为 1 的点恰有 3 个,则 n 的值为( )
A. -1 B. -1或 9 C. 1 或 9 D. 9
5. 若曲线 y=4−x2 与直线 y=kx−2+4 有两个交点，则实数 k 的取值范围为( )
A. −34,34 B. 34,+∞ C. 34,1 D. 34,1
6. 若 3−x8=a0+a12−x+a22−x2+⋯+a82−x8 ,则 a6= ( )
A. -56 B. -28 C. 28 D. 56
7. 已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F ,直线 l 与 C 交于 A,B 两点,且 AF=23AB ,则直线 l 倾斜角的正弦值为( )
A. 13 B. 23 C. 24 D. 223
8. 已知点 P 在双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上， P 到两渐近线的距离分别为 d1,d2,F 为双曲线的一个焦点,且 F 到双曲线渐近线的距离为 d3 ,若 d1d2≤13d3​2 恒成立,则双曲线 C 的离心率的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 直线 l 的一个方向向量为 d=−1,2 ,则直线 l 的斜率等于 -2
B. “ a=−1 ”是“直线 a2x−y+1=0 与直线 x−ay−2=0 互相垂直”的充要条件
C. 当点 P3,2 到直线 l:mx−y+1−2m=0 的距离最大时, m 的值为 -1
D. 已知直线 l 过定点 P1,0 且与以 A2,−3,B−3,−2 为端点的线段有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 −∞,−3∪12,+∞
10. 下列各式正确的是( )
A. 已知 C15x+2=C152x−5 ，则 x 的取值为 6 或 7
B. C32+C42+C52+⋯+C20252=C20263−1
C. 2−x1−x4 的展开式中 x3 的系数为 -14
D. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
11. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 棱长为 2,如图, M 为 CC1 上的动点, AM⊥ 平面 α . 下面说法正确的是( )

A. 直线 AB 与平面 α 所成角的正弦值范围为 33,22
B. 点 M 与点 C1 重合时,平面 α 截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C. 点 M 为 CC1 的中点时,若平面 α 经过点 B ,则平面 α 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 N 为 DD1 中点，当 AM+MN 的和最小时， M 为 CC1 的中点
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N5,σ2 ,若 PX>6=0.2 ,则 P4≤X≤5= _____.
13. 设 a∈Z ,且 0≤a≤13 ,若 512026+a 能被 13 整除,则 a 等于_____.
14. 已知点 F1,F2 是椭圆 C1 和双曲线 C2 的公共焦点, P 是它们在第一象限的一个公共点, 且 PF1⊥PF2 ,若 C1 和 C2 的离心率分别为 e1,e2 ,则 1e1+3e2 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与双曲线 y26−x22=1 的渐近线相同,且经过点 2,3 . (1)求双曲线 C 的方程；
(2)若斜率为 155 的直线 l 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于 P 、 Q 两点，求证:
OP⊥OQ .
16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查, 调查组随机调查了 200 名青年, 整理得到如下列联表:
单位:人
(1)依据小概率值 α=0.01 的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关?
(2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取 5 名青年进行合影留念, 并从这被抽取的 5 名青年中随机邀请 3 名青年参加某古典艺术歌曲音乐会, 记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
附:
χ2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d ,其中 n=a+b+c+d .
17. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为等腰梯形, AB=BC=CD=12AD=1

(1)求证: CD⊥ 平面 PAC ( 2 )若二面角 B−PC−D 的余弦值为 −105 ，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
18. 经观测,长江中某鱼类的产卵数 y 与温度 x 有关,现将收集到的温度 xi (单位: ​∘C ) 和产卵数 yii=1,2,⋯,10 的 10 组观测数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量表.
表中 ti=xi, zi=lnyi, z=110i=110zi .

(1)根据散点图判断， y=a+bx ， y=n+mx 与 y=c1ec2x 哪一个适宜作为 y 与 x 之间的回归方程模型 (给出判断即可,不必说明理由),并求出 y 关于 x 的回归方程;
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有 5 个鱼卵，其中“死卵”有 2 个；第二批中共有 6 个鱼卵，其中“死卵”有 3 个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出 2 个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附:对于一组数据 u1,v1,u2,v2,…,un,vn ,其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β=i=1nui−uvi−vi=1nui−u2,α=v−βu .
19. 如图,已知点 T13,−5 和点 T2−5,21 在双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上,双曲线
C 的左顶点为 A ,过点 La2,0 且不与 x 轴重合的直线 l 与双曲线 C 交于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 与圆 O:x2+y2=a2 分别交于 M,N 两点.

(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)设直线 AP ， AQ 的斜率分别为 k1 ， k2 ，求 k1k2 的值；
(3)证明:直线 MN 过定点.
1. A
由截距的概念,令 x=0 ,可得 −y3=1 ,
即 y=−3 ,
故直线 x2−y3=1 在 y 轴上的截距为 -3,
故选: A
2. A
由题意可得 P0,1,−2,Q1,1,0 ,则 PQ=1,0,2 .
故选: A.
3. D
将 x=70 代入 y=0.8x+12.5 得 y=0.8×70+12.5=68.5 ,
则样本点 70,66 的残差为 66−68.5=−2.5 .
故选: D
4. B
由题意可知,圆的圆心 0,1 ,圆的半径 r=2 ,
∵ 圆上到直线 3x−4y+n=0 的距离为 1 的点恰有 3 个,如图所示,

∴ 圆心到直线的距离为 1,即 d=−4×1+n5=1,∴ 解得 n=9 或 n=−1 .
故选: B.
5. D
由题意得,直线 y=kx−2+4 可化为 y−4=kx−2 ,
可得直线过定点 D2,4 ,将曲线 y=4−x2 化为 x2+y2=4y≥0 ,
则曲线表示以原点为圆心,半径为 2,且位于 x 轴上方的半圆,
如图所示,当直线过点 C−2,0 时,
直线 l 与曲线有两个不同的交点,此时 kDC=0−4−2−2=1 ,

当直线 l 过点 D 且与半圆相切于 A 点时,
若直线与曲线只有一个交点,由 4−2k1+k2=2 ,解得 k=34 ,即 kDA=34 ,
若曲线 y=4−x2 与直线 y=kx−2+4 有两个交点,结合图形可得 k∈34,1 ,
则实数 k 的取值范围是 34,1 .
故选: D
6. C
令 2−x=t ,则原等式化为 1+t8=a0+a1t+a2t2+⋯+a8t8 , 所以 a6=C86=C82=28 .
故选: C
7. D
设 Ax1,y1,Bx2,y2 .
由抛物线方程 y2=x 可知其焦点坐标为 F14,0 .
由 AF=23AB 可知 A,B,F 三点共线,即直线 l 过抛物线的焦点 F ,
且直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的斜率为 k ,其倾斜角为 θ ,则 k=tanθ .
则直线 l 的方程为 y=kx−14 ,将其代入抛物线方程 y2=x ,
消去 y ,可得 k2x2−k22+1x+k216=0 ,则有 x1x2=116 .
又由 AF=23AB ,可得 14−x1=23x2−x1 ,即 x1+2x2=34 ,
联立 x1x2=116x1+2x2=34 ,因为 x=y2>0 ,所以解得 x1=12x2=18 ,或 x1=14x2=14 (舍去),所以 A12,±22,
所以直线 l 的斜率 k=kAF=±22−012−14=±22 .
所以 tan2θ=sin2θcs2θ=sin2θ1−sin2θ=8 ,解得 sin2θ=89 .
因为 θ∈[0,π) ,所以 sinθ=223 .
所以直线 l 的倾斜角的正弦值为 223 .
故选: D

8. B
设 Px0,y0 ,则双曲线的渐近线方程为 bx±ay=0 ,
因此 bx0−ay0cbx0+ay0c=d1d2 ,
故 d1d2=bx02−ay02c2 ,
由于 Px0,y0 在双曲线上,故 x02a2−y02b2=1 ,即 bx02−ay02=a2b2 ,
因此 d1d2=a2b2c2 ,
由于 d3=bca2+b2=b ,
由 d1d2≤13d3​2 可得 a2b2c2≤13b2 ,故 e2≥3⇒e≥3 ,故离心率的最小值为 3 ,
故选: B
9. ACD
对于 A ,因为直线 l 的一个方向向量为 d=−1,2 ,则直线 l 的斜率等于 k=2−1=−2 ,所以 A 正确;
对于 B ,由直线 a2x−y+1=0 与直线 x−ay−2=0 互相垂直,
可得 a2×1+−1×−a=0 ,即 a2+a=0 ,解得 a=−1 或 a=0 ,
所以 “ a=−1 ” 是 “直线 a2x−y+1=0 与 x−ay−2=0 互相垂直” 的充分不必要条件,所以 B 错误;
对于 C ,因为直线 l:mx−y+1−2m=0 ,可化为 mx−2−y−1=0 ,
由 x−2=0y−1=0 ,解得 x=2,y=1 ,即直线 l 恒过定点 Q2,1 ,
当直线 PQ 与直线 l 垂直时,点 P 到直线 l 的距离最大,
所以 kPQ⋅kl=1−22−3×m=−1 ,解得 m=−1 ,所以 C 正确;
对于 D ,因为 A2,−3,B−3,−2,P1,0 ,可得 kPA=−3−02−1=−3,kPB=−2−0−3−1=12 ,
如图所示,要使得过定点 P 的直线 l 与以线段 AB 有交点,
则满足 k≤−3 或 k≥12 ,所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 −∞,−3∪12,+∞ ,所以 D 正确.

10. ABC
对于 A,由题意得 x+2=2x−5 或 x+2+2x−5=15 ,解得 x=7 或 6 ; 故 A 正确对于 B ,由 Cnm−1+Cnm=Cn+1m ,
所以 C32+C42+C52+⋯+C20252=C33+C32+C42+C52+⋯+C20252−C33=C20263−1 ,故 B 正确;
对于 C,2−x1−x4 的展开式中 x3 的系数为 2×C43×−13+−1×C42×−12=−14 ,故 C 正确;
对于 D ,将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中,每个盒子至少放一个小球,采用隔板法 C73=35 , 故 D 错误.
11. AC
对于 A 选项,以点 D 为坐标原点, DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D−xyz ,则点 A2,0,0、B2,2,0 、设点 M0,2,a0≤a≤2 ,

∵AM⊥ 平面 α ,则 AM 为平面 α 的一个法向量,
且 AM=−2,2,a,AB=0,2,0 ,
cs=AB⋅AMAB⋅AM=42×a2+8=2a2+8∈33,22,
所以,直线 AB 与平面 α 所成角的正弦值范围为 33,22,A 选项正确;
对于 B 选项，当 M 与 CC1 重合时，连接 A1D 、 BD 、 A1B 、 AC ，
在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, CC1⊥ 平面 ABCD,∵BD⊂ 平面 ABCD,∴BD⊥CC1 ,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,则 BD⊥AC,∵CC1∩AC=C,∴BD⊥ 平面 ACC1 ,
∵AC1⊂ 平面 ACC1,∴AC1⊥BD ,同理可证 AC1⊥A1D ,
∵A1D∩BD=D,∴AC1⊥ 平面 A1BD ,
易知 △A1BD 是边长为 22 的等边三角形,其面积为 S△A1BD=34×222=23 ,周长为 22×3=62.
设 E、F、Q、N、G、H 分别为棱 A1D1、A1B1、BB1、BC、CD、DD1 的中点,

易知六边形 EFQNGH 是边长为 2 的正六边形,且平面 EFQNGH// 平面 A1BD ,
正六边形 EFQNGH 的周长为 62 ，面积为 6×34×22=33 ，
则 △A1BD 的面积小于正六边形 EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误；
对于 C 选项,设平面 α 交棱 A1D1 于点 Eb,0,2 ,点 M0,2,1,AM=−2,2,1 ,

∵AM⊥ 平面 α,DE⊂ 平面 α,∴AM⊥DE ,
即 AM⋅DE=−2b+2=0 ,得 b=1,∴E1,0,2 ,
所以,点 E 为棱 A1D1 的中点,同理可知,点 F 为棱 A1B1 的中点,则 F2,1,2,EF=1,1,0 , 而 DB=2,2,0,∴EF=12DB,∴EF//DB 且 EF≠DB ,
由空间中两点间的距离公式可得 DE=22+02+12=5 ,
BF=2−22+1−22+2−02=5,∴DE=BF ,
所以，四边形 BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于 D 选项，将矩形 ACC1A1 与矩形 CC1D1D 延展为一个平面，如下图所示:

若 AM+MN 最短,则 A、M、N 三点共线,
∵CC1//DD1,∴MCDN=ACAD=2222+2=2−2 ,
∵MC=2−2≠12CC1 ,所以,点 M 不是棱 CC1 的中点, D 选项错误.
故选: AC.
12. 0.3
因为随机变量 X 服从正态分布 N5,σ2 ,由 PX>6=0.2 ,可得 PXb>0,x2m2−y2n2=1m>0,n>0 , 所以 PF1+PF2=2aPF1−PF2=2m ,可得 PF1=a+mPF2=a−m ,
设椭圆 C1 的半焦距为 c ,因为 PF1⊥PF2 ,
所以 PF12+PF22=2c2 ,即 a+m2+a−m2=4c2 ,
化简得 a2+m2=2c2 ,即 a2c2+m2c2=2 ,即 1e12+1e22=2 ,
令 1e1=2csθ,1e2=2sinθ ,则 csθ>0,sinθ>0 ,取 θ∈0,π2 ,
因为 e1∈0,1,e2∈1,+∞ ,所以 2csθ>1,0