辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 若直线 l 的一个方向向量 a=1,1,−1 ，平面 α 的一个法向量 b=−2,−2,2 ，则()
A. l⊥α B. l//α C. l⊂α D. 以上都有可能
2. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦距长为 8,且渐近线方程为 y=±3x ,则双曲线方程为( )
A. x24−y212=1 B. x212−y24=1 C. x216−y248=1 D. x248−y216=1
3. 1+1x31+x7 展开式中 x3 的系数为( )
A. 56 B. 42 C. 84 D. 120
4. 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点， PF2⊥x 轴， ∠F1PF2=π3 ，则椭圆 C 的离心率为( )
A. 34 B. 33 C. 12 D. 32 .
5. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘ , AB=1,AD=AA1=2 . 求直线 BD1 与 A1D 所成角的余弦值()
A. 0 B. 33 C. 56 D. 233
6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 M1,0,N0,3 ,点 P 为圆 C:x+12+y2=r2r>0 上一点,若存在点 P 使得 ∠MPN=π2 ,则 r 的可能取值为 ( )
A. 12 B. 2 C. 3 D. 3
7. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成, 若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目, 则不同的节目安排方法有 ( ) 种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
8. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 F1,0 ,过 F 的直线与抛物线交于 M,N 两点.准线与 x 轴的交点为 P . 当 PM⊥PN 时，直线 MN 的方程为( )
A. x−1=0 B. x−2=0
C. y=±x−1 D. y=±2x−1
二、多选题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.)
9. 在 2x−y6 的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A. 展开式的项数为 6
B. 二项式系数和为 64
C. 所有项的系数之和为 2
D. 展开式中第 3 项为 240x4y2
10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马. 现有阳马 P−ABCD 如下图所示,其中 PA⊥ 平面 ABCD,PA=AB=1,BC=2 ,点 E 在棱 PC 上运动. 下列说法正确的有( )

A. CD⊥ 平面 PBC
B. 直线 PC 与 AB 所成的角为 60∘
C. AE⊥BD
D. 当 PE=13PC 时，四棱锥 E−ABCD 的体积是四棱锥 P−ABCD 体积的 23
11. 已知点 A0,−5,B0,5 ,曲线 C:yy=4xx+4 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 曲线 C 上存在点 P ,使得 PB−PA=4
B. 直线 y=2x 与曲线 C 没有交点
C. 点 Q 是曲线 C 上在第三象限内的一点,过点 Q 向直线 y=2x 与直线 y=−2x 作垂线,垂足分别为 M,N ,则 QM⋅QN=45
D. 若过点 −2,0 的直线 l 与曲线 C 有三个不同的交点,则直线 l 的斜率的取值范围是 255,233
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.)
12. 已知直线 l1:ax+4y+2=0 与直线 l2:x+ay−1=0 平行，则 a 的值为_____.
13. 甲、乙、丙、丁等 6 名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配 2 人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有_____种. (用数字作答)
14. 在现代通信技术中, 信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内,两个信号基站 F1,F2 分别在双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点处,信号发射源 A 在双曲线 C 上,信号中转装置 B 被安置在以基站 F2 为圆心, F1F2 为半径的圆上. 若从基站 F1 到发射源 A 的信号传输路径与从发射源 A 到中转装置 B 的信号传输路径相互垂直，且 F2A=12F2B ，则双曲线 C 的离心率为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.)
15. 已知点 A−1,2,C−1,0 ,点 A 关于直线 x−y+1=0 的对称点为 B .
(1)求 △ABC 的外接圆的方程；
(2)直线 l 过抛物线 x2=12y 的焦点 F ，且与 △ABC 的外接圆相切，求直线 l 的方程.
16. 如图,在四棱锥 S−ABCD 中,底面 ABCD 满足 AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥ 底面 ABCD , 且 SA=AB=BC=1,AD=12 .

(1)求四棱锥 S−ABCD 的体积；
(2)若侧面 SAD 与侧面 SBC 的交线为 l ，求证: l⊥ 平面 SAB ；
(3)求平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值.
17. 已知离心率为 52 的双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 经过点 P−5,12 .
(1)求 C 的方程；
(2)已知 A,B 是 C 上关于原点对称的两点，直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 ，求证: k1⋅k2 为定值.
18. 如图,在三棱台 ABC−A1B1C1 中,平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC,E 为 CC1 的中点， CA=CB,AB=2AA1=2BB1=2A1B1=4 .

(1)证明: AB1⊥A1C ；
(2)当三棱台 ABC−A1B1C1 的体积为 733 时，求直线 CC1 与平面 A1B1E 所成角的正弦值.
19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,且长轴长为 4,离心率为 32 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴同侧的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行，若直线 AF1 的斜率为
1,求 AF1+BF2 的长度;
(3)设直线 l 过点 D0,12 且与椭圆 C 相交于 M,N 两点，又点 P 是椭圆 C 的下顶点，当 △PMN 面积最大时,求直线 l 的方程.
1. A
因为 a=1,1,−1,b=−2,−2,2 ,
所以 b=−2a ,所以 b//a ,所以 l⊥α ,
故选: A
2. A
因为焦距长为 8,所以 2c=8 ,即 c=4 .
而渐近线方程为 y=±3x ,所以 ba=3⇒b=3a ,
又因为 c2=a2+b2 ,即 16=a2+3a2=4a2 ,
所以 a2=4,b2=3a2=12 ,
所以双曲线方程为 x24−y212=1 .
故选: A.
3. B
二项式 1+x7 展开式的通项公式为 Tr+1=C7rxr,r∈N,r≤7 ,
因此 1+1x31+x7 展开式中含 x3 的项为 1⋅C73x3+1x3⋅C76x6=42x3 ,
所以 1+1x31+x7 展开式中 x3 的系数为 42 .
故选: B
4. B
如图,由题可知, F1F2=2c ,又因为 ∠PF2F1=π2,∠F1PF2=π3 ,
故 PF2=2c3,PF1=4c3 . 又因为 PF1+PF2=6c3=2a ,
故 e=ca=33 ,
故选: B.

5. A
设 AB=a,AD=b,AA1=c ,则 a=1,b=c=2,a⋅b=a⋅c=1,b⋅c=2 ,
因为 BD1=BA+AA1+A1D1=−a+c+b,DA1=DA+AA1=−b+c ,
则 BD1⋅DA1=−a+c+b⋅−b+c=a⋅b−a⋅c+c2−b2=1−1+4−4=0 ,
则 BD1⊥DA1 ,故直线 BD1 与 A1D 所成角的余弦值为 0 .

故选: A
6. C
由题意知三角形 MNP 的外接圆半径 R=MN2=1 ,
如图,三角形 MNP 外接圆方程为 C1:x−122+y−322=1 ,

要使得点 P 满足 ∠MPN=π2 ，则圆 C:x+12+y2=r2 与圆 C1 有公共点(不含 MN 端点)， 故 CC1−1≤r≤CC1+1 ,且 r≠2 (若 r=2 ,此时 P 与 M,N 重合,不合题意),
解得 r∈3−1,2∪2,3+1 .
故选: C.
7. C
步骤 1: 先排 4 个歌舞节目: A44=24 ,排好后会产生 5 个空位 (包括两端);
步骤 2: 将 2 个机器人节目插入空位: A52=20 ;
步骤 3: 排除“前 3 个节目全是歌舞”的情况: 先从 4 个歌舞节目中选 3 个排在前 3 个位置, 有 A43=24 种方法,
剩下的 1 个歌舞节目和 2 个机器人节目排在后 3 个位置, 且机器人节目不相邻, 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列,
有 A22=2 种方法. 故不满足条件的情况有 A43⋅A22=48 .
故总数为: 24×20−48=432
故选: C
8. A
抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 p2,0 ,依题意可得 p2=1 ,解得 p=2 ,
所以抛物线的方程为 y2=4x ,则抛物线的准线为 x=−1 ,所以 P−1,0 ,
依题意直线 MN 的斜率不为 0,设过 F1,0 的直线 MN 的方程为 x=ty+1 ,
Mx1,y1,Nx2,y2,
联立方程组 x=ty+1y2=4x ,整理可得 y2−4ty−4=0 ,由 Δ=16t2+16>0 ,
所以 y1+y2=4t,y1y2=−4 ,
又因为 PM⊥PN ,所以 PM⋅PN=0 ,又 PM=x1+1,y1,PN=x2+1,y2
所以 x1+1x2+1+y1y2=0 ,
因为 1+x11+x2=2+ty12+ty2=4+2ty1+y2+t2y1y2 ,
所以 1+x11+x2+y1y2=1+t2y1y2+2ty1+y2+4
=1+t2×−4+2t×4t+4
=−4t2−4+8t2+4=4t2=0
即 t2=0 ,解得 t=0 ,所以直线 MN 的方程为 x−1=0 ,
故选: A.
9. BD
对于 A ,因为 n=6 ,所以展开后共有 7 项,故 A 错误;
对于 B ,由题意可知二项式系数和为 26=64 ,故 B 正确;
对于 C ,令 x=1,y=1 ,则所有项的系数和 16=1 ,故 C 错误;
对于 D ,因为 T3=C62⋅2x4⋅−y2=15×16x4y2=240x4y2 ,故 D 正确.
故选: BD.
10. BD
因为 PD=PA2+AD2=3,PB=2,AC=AB2+BC2=3=BD , PC=AP2+AC2=2,
且 △PBC 为等腰直角三角形,因为 CD//AB,AB 与 PB 不垂直,所以 CD 与 PB 不垂直,
所以 CD 不垂直于平面 PBC ,故 A 错误;
因为 AB//CD ，所以 ∠PCD (或其补角)是直线 PC 与 AB 所成的角，
所以 cs∠PCD=CD2+PC2−PD22CD⋅PC=1+4−32×1×2=12 ，所以 ∠PCD=60∘ ，故 B 正确；
由 PA⊥ 平面 ABCD 得 PA⊥BD ,假设 AE⊥BD 成立,则 BD⊥ 平面 PAC ,
所以 BD⊥AC ,与题意矛盾,故 C 错误;
因为 PE=13PC ,所以 CE=23PC ,故 VE−ABCD=23VP−ABCD ,所以 D 正确.
故选: BD
11. BCD
当 x≥0,y>0 时,曲线 C:y2=4x2+4 ,即 C:y24−x2=1 ;
当 x≥0,y1 ,所以 e=1+3 .
故答案为: 1+3 .

15. (1) x2+y−12=2
(2) x−y+3=0 或 x+y−3=0
(1)设点 Bx0,y0 由题意 y0−2x0+1=−1x0−12−y0+22+1=0 ，解得 x0=1y0=0 ，即 B1,0 ，
∴AC⊥BC,∴△ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆，
∵AB=22,AB 的中点为 0,1 ,
△ABC 的外接圆方程是 x2+y−12=2 ;

(2)由抛物线 x2=12y ,可得焦点 F0,3 ，
由( 1 )可知与 △ABC 的外接圆方程为 x2+y−12=2 ，所以圆心 M0,1 ，半径 r=2 .
当直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x=0 ,显然与圆不相切;
当直线 l 的斜率存在时,设切线方程为 y=kx+3 ,即 kx−y+3=0 ,
所以 k×0−1+3k2+−12=2 ,所以 2k2+1=2 ,解得 k=±1 ,
所以直线 l 的方程为 x−y+3=0 或 x+y−3=0y=x+3或y=−x+3 .
16. (1)因为 SA⊥ 底面 ABCD ，则四棱锥 S−ABCD 的高 SA=1 ，则其体积为 V=13×34×1=14
(2)由底面 ABCD 上 AB⊥AD,AB⊥BC ，则 AD//BC ，
由 AD⊄ 平面 SBC,BC⊂ 平面 SBC ,则 AD// 平面 SBC ,
平面 SAD∩ 平面 SBC=l,AD⊂ 平面 SAD ,则 AD//1 ,
又 SA⊥ 底面 ABCD,AD⊂ 底面 ABCD ,所以 SA⊥AD ,
由题知 AB⊥AD ,又 SA∩AB=A,SA,AB⊂ 平面 SAB ,
所以 AD⊥ 平面 SAB ,故 l⊥ 平面 SAB ;
(3)由上易知 AD,AB,AS 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则 A0,0,0,B0,1,0,S0,0,1,D12,0,0,C1,1,0 ,
所以 DC=12,1,0,DS=−12,0,1 ,
由 AD⊥ 平面 SAB ,故平面 SAB 的法向量为 m=1,0,0 ,
设面 SCD 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅DC=12x+y=0n⋅DS=−12x+z=0 ,取 z=−1 ,则 n=−2,1,−1 ,
设平面 SCD 与平面 SAB 的夹角为 θ,csθ=m⋅nmn=63 ,
故平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值为 63 .
17.(1)由题意可得 a2+b2a=525a2−14b2=1 ,解得 a2=4b2=1 , 所以 C 的方程为 x24−y2=1 ;
(2)设 Ax1,y1 ， B−x1,−y1 ，
因为点 A 在双曲线 C 上,所以 x124−y12=1 ,即 y12=x124−1 ,
所以 k1⋅k2=12−y1−5−x1⋅12+y1−5+x1=14−y125−x12=14−x124−15−x12=145−x125−x12=14 ,
所以 k1⋅k2 为定值.
18.( 1 )证明:取 AB 中点 O ，连接 OC,OA1,AB1 .
由 CA=CB 得, OC⊥AB .
因为平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC ,平面 ABB1A1∩ 平面 ABC=AB,OC⊂ 平面 ABC ,
所以 OC⊥ 平面 ABB1A1 .
又因为 AB1⊂ 平面 ABB1A1 ,所以 OC⊥AB1 .
又 A1B1//AO,A1B1=A1A=AO=2 ,所以四边形 A1AOB1 是菱形,从而 AB1⊥A1O .
又 OC∩A1O=O ,所以 AB1⊥ 平面 A1OC .
又 A1C⊂ 平面 A1OC ,所以 AB1⊥A1C .
(2)取 A1B1 的中点 M ，连接 OM ，则 OM⊥AB ，
因为平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC ,平面 ABB1A1∩ 平面 ABC=AB,OM⊂ 平面 ABB1A1 , 所以 OM⊥ 平面 ABC .
所以三棱台 ABC−A1B1C1 的高 h=OM=A1A2−12AB−12A1B12=3 .
设 OC=a ,则 S△ABC=2a,S△A1B1C1=a2 ,
从而 V=13S△ABC+S△A1B1C1+S△ABC⋅S△A1B1C1h=332a+a2+2a⋅a2=733 ,解得 a=2 .
以 O 为原点，直线 OB,OC,OM 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 C0,2,0,C10,1,3,E0,32,32,A1−1,0,3,B11,0,3 ,
CC1=0,−1,3,A1B1=2,0,0,A1E=1,32,−32,
设平面 A1B1E 的法向量 n=x,y,z ,
则 n⋅A1B1=0,n⋅A1E=0, 即 2x=0,x+32y−32z=0, 令 z=3 ,则 y=1,n=0,1,3 ,
设直线 CC1 与平面 A1B1E 所成角为 θ ,
则 sinθ=csCC1,n=CC1nCC1n=−1+31+3⋅1+3=12 .
故直线 CC1 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 12 .

19. (1) x24+y2=1
(2) 85 (3) y=12
(1) 由椭圆的定义可得 2a=4 ,则 a=2 ,
设椭圆 C 的半焦距为 c ,因为 e=ca=32 ,所以 c=3 ,
则 b=a2−c2=1 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1 .
(2)如下图，延长 AF1 交椭圆 C 于点 Q ，由对称性可知，

所以 AF1+BF2=AF1+QF1=AQ ,
因为直线 AF1 的斜率为 1,且 F1−3,0 ,则直线 AQ 的方程为 y=x+3 ,
设 Ax1,y1,Qx2,y2 ,
联立 x24+y2=1y=x+3 ,消 y 得 5x2+83x+8=0 ,
所以 x1+x2=−835,x1x2=85 ,
所以 AQ=1+k2x1+x22−4x1x2=2×64×325−4×85=85 , 所以 AF1+BF2 的长度为 85 .
(3)由题意可知，直线 l 的斜率存在，又直线经过 D0,12 ，
设直线 l:y=kx+12,Mx3,y3,Nx4,y4 ,
如图,

联立 y=kx+12x24+y2=1 ,消 y 得 4k2+1x2+4kx−3=0 ,
Δ=16k2+124k2+1>0,
x3+x4=−4k4k2+1,x3x4=−34k2+1,
S△PMN=12PDx3−x4=34x3+x42−4x3x4=32×16k2+34k2+1 ,
令 16k2+3=mm≥3 ,
则 S△PMN=32×16k2+34k2+1=32×m4×m2−316+1=6mm2+1=6m+1m ,
又因为 y=m+1m 在 [3,+∞) 单调递增,
所以当 m=3 时， m+1m 取最小值 433 ， △PMN 面积取最大值 332 ，
此时, 16k2+3=3 ,即 k=0 ,
所以 △PMN 面积最大时，直线 l 的方程为 y=12 .