高中数学人教版第二册下A简单几何体表格教学设计

这是一份高中数学人教版第二册下A简单几何体表格教学设计，文件包含物理黑龙江省绥化新时代2025-2026学年高二上学期11月联考试卷B解析版docx、物理黑龙江省绥化新时代2025-2026学年高二上学期11月联考试卷B学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
学科
高中数学
年级
高一年级
学期
春季
课题
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
教科书
书 名：普通高中教科书数学必修第二册
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
课程目标：
1. 通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2. 会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积和体积；
3. 会用圆柱、圆锥、圆台、球表面积与体积公式解决实际问题；
4. 了解转化、化归思想和数学极限思想，以运动变化的观点挖掘柱体、锥体、台体之间的内在联系；
5. 了解“祖暅原理”，激发学生的爱国情怀，提高学生的文化素养．
学科素养：
直观想象：了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图形状；会用极限的思想“化曲为直”，简化公式的理解；
2. 逻辑推理：能挖掘柱体、锥体、台体的图形与表面积及体积之间的内在联系；
3. 数学运算：会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积，解决实际问题.
教学内容
教学重点：
1. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2. 了解转化、化归思想和数学极限思想，以运动变化的观点挖掘柱体、锥体、台体之间的内在联系．
教学难点：
1. 能用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式求相关组合体的体积和表面积；
2. 了解转化、化归思想和数学极限思想，以运动变化的观点挖掘柱体、锥体、台体之间的内在联系．
教学过程
（一）复习回顾，引入新课
梳理旧知 通过前面的学习，我们已经知道，
1.多面体中棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
2.多面积的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
引入新课 那么旋转体的表面积和体积是否可以用同样的方法解决？这是本节课我们要学习的内容．
合作探究，讲解新课
任务一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题1 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积之和，但是它们的侧面均不是平面图形，该怎么求侧面面积呢？
【师生活动】 在老师的引导下回顾多面体表面积的推导过程？我们能否利用转化的思想把曲面图形转化为平面图形来求面积呢？学生跟着老师的指引，发挥自己的空间想象能力，试图把曲面图形转化为平面图形．
【设计意图】回顾多面体表面积公式的求法，引导学生把立体图形平面化．从而达到简化问题的目的．
问题1-1 目前，我们只学过平面图形的面积求法．那么，你能把这些空间曲面图形转化为平面图形吗？
演示动画：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图

首先我们来探究圆柱的表面积．
问题2 已知底面半径为，高为的圆柱的表面积公式是多少？
【师生活动】给出圆柱的展开图，引导学生把圆柱的侧面积转化为长方形的面积公式来解答问题．
【设计意图】得出圆柱的表面积和体积公式
【教学预设】圆柱的侧面展开图是长方形，
则．于是，该圆柱的表面积是

接着，我们用类似的方法探究圆锥的表面积．
问题3 底面半径为，母线长为的圆锥的表面积是什么？
【师生活动】给出圆锥的展开图，引导学生把圆锥的侧面积转化为扇形的面积公式来解答问题．
【设计意图】得出圆锥的表面积和体积公式．
问题3-1 首先，我们来分析圆锥的侧面展开图是什么？（扇形）然后，可求得．
于是其表面积为．
问题4 在问题3中，要求得圆锥的侧面积，需要利用扇形的面积公式来求解．若一个扇形的半径为，弧长为，那么该扇形的面积公式是，请问：你是怎么来记忆这个公式的呢？
【师生活动】教师呈现扇形被分割的动画，引导学生观察扇形的底边变化情况，当扇形被分割的越来越多时，底面直观上会接近于一条直线．
【设计意图】用极限分割的思想把扇形的面积公式看作三角形面积公式来记忆，加深对扇形面积公式的印象，从而为下面学习圆台的面积公式提供方便．
【教学预设】
演示动画 观察等分后“小扇形”的底边变化
把扇形分成等分，当越大，每个分割成的“小扇形”的底边越平，“小扇形”就越近似等腰三角形，其高越近似于扇形的半径．
设这个“小扇形”的面积为，底边长为，

通过极限分割的思想“化曲为直”将扇形近似的看作“等腰三角形”，由此可以更直观地记忆扇形的面积公式．
带着这个研究我们继续来学习圆台的表面积公式．
问题5 上底面半径为，下底面半径为，母线长为的圆台的表面积公式是什么？
【师生活动】给出圆台的展开图，引导学生用类似扇形面积公式的学习方法，用极限的思想化曲为直来得出圆台的侧面积公式．
【设计意图】得出圆台的表面积和体积公式，并熟悉极限思想方法的应用．
r
r’
r’
【教学预设】圆台的侧面展开图是扇环．扇环是由一个大扇形减去一个小扇形得到的，同样的极限分割“化曲为直”，扇环可看作一个“大等腰三角形”减去一个“小等腰三角形”，即梯形．由此得出圆台的侧面积公式
r

所以
任务二 圆柱、圆锥、圆台的体积
初中的时候，我们已经学习过圆柱、圆锥的体积公式，


问题6 圆柱的体积公式就是棱柱的体积公式，圆锥的的体积公式就是棱锥的体积公式，那么是否可以大胆猜想：棱台的体积公式是不是就是圆台的体积公式呢？即．
接下去我们来证明这个猜想，先看一个视频．
动画演示 棱台逼近圆台
【师生活动】教师出示棱台逼近圆台的视频，请同学们观察棱台底面边数逐渐增加时，棱台可近似的看作什么几何图形．从而得出圆台的体积公式就是圆台的体积公式，教师进一步引导学生总结出柱体、锥体、台体的体积公式．
【设计意图】从直观上得出圆台的体积公式，进一步体现极限思想的运用．
【教学预设】从视频中可以看到当正棱台的底面边数逐渐增加时，可以达到以直代曲的目的，棱台可直观的看作圆台．故．
那么，我们可以将它们统一成柱体、锥体、台体，它们的体积公式为:
(为底面积，为柱体高)；
(为底面积，为锥体高)；
(，分别为上下底面面积，为柱体高).
问题6-1 同学们，你还有什么别的方法来证明这个猜想吗？
【师生活动】因为圆台的定义，很多同学会想到用大圆锥减小圆锥的方法，肯定有这个想法的同学，并引导他们证明．
【设计意图】进一步求证圆台的体积公式，鼓励同学对课堂产生不同的声音．
【阅读拓展】
请大家阅读课本121页的“探究与发现”．
【师生活动】教师展示出祖暅定理，让学生更加肯定圆台的体积公式就是棱台的体积公式．学生从动画中可以观察到只要两几何体的截面面积相等，几何体的体积始终相等．
【设计意图】进一步证实猜想．引导学生增加学习的自信心，培养学生的爱国主义精神．
【教学预设】其实早在5世纪末，伟大的数学家祖暅就提出了证明这一猜想的方法——祖暅原理．
动画演示 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，现在语言描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果解得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
祖暅提出的这一原理比其他国家的数学家早一千多年．可见我国数学研究的领先之处，事实上，中国在包括数学在内的许多领域，都比其他国家更为先进、更具创造性．
问题7 从上面的这些公式结构特征来看，你能发现：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式之间有什么内在的联系吗？
【师生活动】教师给出圆柱、圆台、圆锥转化过程的视频，学生从动画中观察出圆柱和圆锥是圆台的特殊情况，从而找到圆柱、圆锥、圆台表面积公式和体积公式结构上之间的联系．
【设计意图】了解圆柱、圆锥、圆台的结构特征，从而找到圆柱、圆锥、圆台表面积公式和体积公式之间的内在联系，更加方便同学们记忆公式．
动画演示 圆柱、圆锥、圆台结构上的变化与联系．
归纳总结
任务三 球的表面积和体积
对于球的表面积公式我们不进行研究，直接给出（为球半径）,我们主要来研究球的体积公式．
问题8 接下来，我们推导半径为的球的体积公式，你能利用球的表面积求体积公式吗？为什么？
【师生活动】回忆分割扇形求面积公式的方法，引导学生从分割球的表面入手，利用球的表面积公式推导球的体积公式，教师出示动态分割视频，并引导学生注意观察分割后小锥体的底面变化情况．
【设计意图】通过极限分割的思想推导出球的体积公式．
【教学预设】在小学，我们学过圆的面积公式，大家还知道它是怎么推导的吗？你能用球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
动画演示 球体积分割
师： 较易发现，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”．同样的极限分割“化曲为直”，当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径．
设第一个“小锥体”的底面积为，依次设第个“小锥体”的底面积为，因此
．
学习完圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，下面我们一起来做题巩固：
例题讲解，巩固新课
问题9 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）
【师生活动】教师展示题目，学生阅读题目，找出题干，引导学生得出数学模型，即求球的表面积和圆柱的侧面积．
【设计意图】巩固表面积公式，体会这些公式在实际生产生活中的应用．
【教学预设】
一个浮标是由两个半球和一个圆柱组成的组合体，表面积为
，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料．
问题10 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
【师生活动】教师展示题目，学生阅读题目，梳理清：圆柱底面半径、高、球半径三者之间的关系．
【设计意图】巩固体积公式的应用．
【教学预设】 设球的半径为，则圆柱的底面半径也为，高为.
因为，
所以．
归纳总结，整合新课
下面我们一起来总结本节课的内容：本节课主要运用极限思想达到化曲为直，以直代曲的目的，还运用了转化化归的数学思想方法，把复杂问题简单化．
具体研究了旋转体的表面积和体积公式，并利用运动变化的观点发现圆柱和圆锥是圆台的两种特殊情况，从而找到圆柱、圆锥、圆台的表面积公式和体积公式的内在联系．

阅读探索，拓展新课
作业一 教材119页练习1-4、120页习题4；
作业二 请用大圆锥减小圆锥的方法推导出圆台的体积公式；
作业三 阅读教材121页探究与发现，结合互联网了解数学家祖暅及其除了“祖暅原理”之外的成就；你还知道哪位数学家，其在数学领域的主要成就是什么？